Как составить уравнение параболы симметричной

Квадратичная функция. Построение параболы

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ: наглядно.

• Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

• Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
• Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

1. Если D 0,то график выглядит так:

1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

1. Координаты вершины параболы:

1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
   2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:

• построить y = x 2 ,
• умножить ординаты всех точек графика на 2,
• сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
• сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.

1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Практическая работа по высшей математике на тему: «Парабола. Решение задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Дисциплина – «Элементы высшей математики»

Тема: «Кривые второго порядка. Парабола»

Цель: формирование умений составлять уравнения параболы, исследовать форму и расположение параболы;

формирование общих компетенций, включающими в себя способность:

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

Парабола — геометрическое место точек , равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой , парабола является коническим сечением . Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом .

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

(или , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

где — дискриминант квадратного трёхчлена.

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.

Пример 1. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением .

Решение. Из данного канонического уравнения параболы следует, что , т.е. ,откуда .Значит, точка — фокус параболы, а — уравнение ее директрисы.

Пример 2. Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты .

Решение. Согласно условию, фокус параболы расположен на отрицательной полуоси , т.е. ее уравнение имеет вид: x 2 = — 2 py

Так как , то , откуда .Итак, уравнение параболы есть , а уравнение ее директрисы .

Пример 3. Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной оси Ох и проходящей через точку .

Решение. Из условия заключаем, что уравнение параболы следует искать в виде .

Так как точка принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: 36= — 2р*(-3); 2р=12.

Итак, уравнение параболы имеет вид .

Пример 4. Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку

A (4, -1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.

Решение. Так как парабола проходит через точку A (4, -1) с положительной абсциссой, а ее осью служит ось Ox , то уравнение параболы следует искать в виде y 2 = 2 px . Подставляя в это уравнение координаты точки A , будем иметь

искомым уравнением будет

Эскиз этой параболы показан на рисунке

Пример 5. Парабола y 2 = 2 px проходит через точку A (2, 4). Определить ее параметр p .

Решение. Подставляем в уравнение параболы вместо текущих координат координаты точки A (2, 4). Получаем

4 2 = 2 p *2; 16 = 4 p ; p = 4.

Пример 6. Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы

y = 2 x 2 + 4 x + 5 и найти координаты ее вершины.

Решение. Уравнение y = 2 x 2 + 4 x + 5 преобразуем, выделив в правой части полный квадрат:

пусть теперь x ₁ = x + 1, y ₁ = y — 3. Из сравнения с формулами

координаты нового начала: x ₀ = -1; y ₀ = 3. Уравнение параболы примет вид

Эскиз параболы показан на рисунке.

Пример 7. Упростить уравнение параболы y = x 2 — 7 x + 12, найти координаты ее вершины и начертить эскиз кривой.

Решение. Выделим в правой части уравнения y = x 2 — 7x + 12 полный квадрат по способу, указанному выше в задаче , и получим

Отсюда из сравнения с формулами

координаты нового начала, т. е. вершины параболы, будут . После переноса начала координат в точку уравнение параболы примет наиболее простой вид . Эскиз кривой представлен на рисунке.

Пример 8. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и . Точки пересечения и . Так как парабола проходит через точку и симметрична относительно оси , то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид . Так как парабола проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы: , ,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисы или , откуда

Ответ. ;

Пример 9. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен , а высота

Решение. В ыберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид , а концы хорды арки и . Подставив координаты одного из концов хорды (например, ) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно , получим

Ответ.

а) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением у 2 =16р .

б) Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением

а) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; -7).

б) Составить каноническое уравнение параболы и уравнение ее директрисы, если известно, что вершина параболы лежит в начале координат, а фокус имеет координаты (0; 4).

а) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (-2; — 4) . Начертить эскиз данной кривой.

б) Составить уравнение параболы, имеющей вершину в начале координат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку А (3; — 5) . Начертить эскиз данной кривой.

а) Парабола y 2 = 2 px проходит через точку A (4; 8). Определить ее параметр p .

б) Парабола y 2 = — 2 px проходит через точку A (-4; -8). Определить ее параметр p .

а) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 2 x 2 + 8 x + 5 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

б) Привести к каноническому (простейшему) виду уравнение параболы y = 4 x 2 + 16 x +10 и найти координаты ее вершины. Начертить эскиз данной кривой.

Задание 6. а) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 2х + 2у=0 и окружности х 2 +у 2 – 4х=0 и симметрична относительно оси Оу.

б) Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой 3х + 3у=0 и окружности 2х 2 + 2у 2 — 8х=0 и симметрична относительно оси Ох .

Задание 7. а) Арка здания имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 12 м, а высота 4 м.

б) Арка дома имеет форму параболы. Определить параметр р этой параболы, зная, что пролет арки равен 14 м, а высота 6 м.

Отчет о практической работе

Тема практической работы

Цель практической работы

В ходе выполнения практической работы я научился (закрепил умения) вычислять…

Я получил (совершенствовал) практические навыки…

В ходе практической работы я получил новые знания. Узнал, что …

Мне было сложно выполнять…, потому, что…

Мне было несложно выполнять…, потому, что…

Краткое описание документа:

Практическая работа по высшей математике на тему: «Парабола. Решение задач». В работе представлены краткие теоретические сведения и методические указания для выполнения практической работы. Работа предназначена студентам 2 курса СПО. Может быть использована для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы студентов 2 курса СПО.

2.5 Парабола

Парабола Есть геометрическое место точек на плоскости, равноотстоящих от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Выберем систему координат таким образом (рисунок 2.7): за ось ОХ примем прямую, проходящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, за положительное направление примем направление от директрисы к фокусу. За начало координат примем середину О отрезка от точки F до директрисы, длину которого обозначим через Р и будем называть параметром параболы. Пусть М(Х, У) произвольная точка, лежащая на параболе. Пусть точка N основание перпендикуляра, опущенного из М На директрису. По определению параболы MN = MF.

Из этого условия получаем Каноническое уравнение параболы в выбранной системе координат

Пусть P > 0, исследуем форму параболы.

Из канонического уравнения параболы видно, что Х не может принимать отрицательных значений, т. е. все точки параболы лежат справа от оси ОY. Уравнение содержит переменную У В квадрате, значит парабола симметрична относительно оси ОХ, эта ось называется Осью Параболы. Точка О пересечения параболы с ее осью симметрии называется Вершиной параболы.
Для параболы, заданной уравнением (2.11), вершина совпадает с началом координат, а ось симметрии – с осью ОХ. График параболы имеет вид, изображенный на рисунке 2.7. Уравнение директрисы записывается в виде .

Фокус параболы для параболы с осью симметрии – осью Х имеет вид F(,0), а для параболы с осью симметрии осью Y – F(0,).

Определяет параболу, область определения которой .

Имеет вершину в начале координат, фокус , директрису ; ветви параболы направлены в положительную сторону оси OY и ветви направлены в отрицательную сторону оси OY, если уравнение параболы Х2 = –2Py. Осью симметрии такой параболы является ось ОY, а вершиной – начало координат.

Пример 2.4. Составить уравнение параболы и ее директрисы, зная, что она симметрична относительно оси ОY, фокус находится в точке F(0; 2), вершина совпадает с началом координат.

Решение. Будем искать уравнение параболы в виде Х2 = 2Py, так как по условию она симметрична относительно оси OY.

По условию , а значит, P = 4. Итак, искомое уравнение имеет вид Х2 = 8У, уравнение ее директрисы у = –2.