Как составить уравнение равновесия онлайн

iSopromat.ru

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F₁-F₆, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.

Суммы моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

• в плоскости xOy:
  
• в плоскости xOz:
  
• в плоскости yOz:
  

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Опорные реакции простой балки

Калькулятор вычисляет опорные реакции балки на двух опорах при действии вертикальных нагрузок.

Данный онлайн калькулятор предназначен для нахождения опорных реакций в простейшей балке, находящейся под воздействием поперечных сил. Простая балка — прямолинейный брус, закрепленная на двух опорах: одной — шарнирно-неподвижной (опора А), другой — шарнирно-подвижной (опора В). Калькулятор выводит опорные реакции V_A и V_B, уравнения равновесия в символьном виде и показывает модель нагрузок. Обратите внимание, что если требуется задать нагрузку действующую левее опоры A, то расстояние от опоры нужно задать со знаком минус. Теорию и формулы расчета можно найти ниже под калькулятором.

Опорные реакции простой балки

Нагрузка

 Расстояние от опоры A Нагрузка Значение Направление Направление момента Протяженность Изменение

Нагрузка

Импортировать данные Ошибка импорта

Реакции опор

Под воздействием нагрузок в опорах балки возникают уравновешивающие силы, называемые реакциями опор. Эти силы зависят от вида нагрузки и типа самих опор.

Шарнирно подвижная опора ( в нашей модели обозначена как «B») позволяет балке свободно перемещаться в горизонтальной плоскости и препятствует вертикальному перемещению, поэтому при любой нагрузке она имеет только вертикальную реакцию V_B.

Шарнирно неподвижная опора крепится к балке, что препятствует её горизонтальному и вертикальному перемещению. При наличии сил, действующих на балку в горизонтальной плоскости, эта опора дает еще и горизонтальную реакцию. Однако в нашей модели все силы действуют поперечно балке, поэтому горизонтальная реакция опоры A всегда будет равна нулю. Вертикальную реакцию опоры A обозначим V_A.

Уравнения равновесия

Как мы знаем из статики, все силы и моменты сил в неподвижной системе, уравновешены. Поэтому суммы сил и моментов в любой точке этой системы равны нулю.
Все силы при поперечной нагрузке на простую балку действуют параллельно оси Y, поэтому можно составить только два независимых уравнения равновесия для проекции сил и моментов на ось Y. Этого вполне достаточно для нахождения двух неизвестных реакций опор V_A и V_B.
При составлении уравнений у нас есть выбор:

• составить одно уравнение равновесия проекции сил и одно уравнение равновесия моментов в некоторой точке
• составить два уравнения равновесия моментов в двух точках.

Воспользуемся вторым способом, а первый оставим для проверки полученного результата.
Удобнее всего составлять уравнения для точек А и B, в которых находятся опоры:

Напомним, что моментом силы в определенной точке называется произведение силы F на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы (плечо) l:

Исходя из этого, уравнения равновесия моментов в точках А и B для системы поперечных сил F₁. F_n, действующих на балку приобретают вид:

Где F_i — модуль приложенной силы или реакции опоры в Ньютонах. l_iA и l_iB — длина рычага в метрах (кратчайшее расстояние от точки приложения силы i до опоры A и B соответственно). s_iA и s_iB — знак момента силы i в точке A и B соответственно.
Правило выбора знаков момента сил: знак положительный (+1) для момента, закручивающего балку вокруг выбранной точки по часовой стрелке ↻ и отрицательный (-1) для противоположного направления ↺. Можно выбрать и противоположные значения. Уравнения примут немного другой вид, но результат от этого не изменится.

Например, для системы сил, показанной на рисунке выше, уравнения равновесия можно записать следующим образом:

Вычисляя, получаем значения реакций опор: V_A = 15.42 и V_B = 14.58. Проверим, что сумма всех сил равна нулю (для сил действующих вниз — знак положительный, для действующих вверх — отрицательный):

Составляя уравнения, мы исходили из того, что реакции обеих опор направлены вверх. При расчетах может получиться так, что реакция опоры окажется отрицательной. Это означает, что реакция такой опоры направлена вниз (сумма моментов сил, действующих на балку, пытается оторвать её от опоры).

Распределенная нагрузка

В расчетах, иногда требуется задать нагрузку, которая распределена определенным образом по участку длины a. Для вычисления реакций опор такую нагрузку можно заменить её равнодействующей силой. Точкой приложения такой силы считается центр масс распределенной нагрузки, а модуль вычисляется как интеграл от функции распределения нагрузки на заданном участке. Для простых функций модуль легко выразить через заданную интенсивность нагрузки.

В таблице ниже представлены формулы для модуля сосредоточенной равнодействующей силы и точек её приложения для всех видов распределенных нагрузок, поддерживаемых калькулятором:

Нагрузка	Модуль	Точка приложения
Равномерная	1/2 a
Линейно убывающая	1/3 a
Линейно возрастающая	2/3 a

В формулах q — это интенсивность нагрузки в Н/м, a — диапазон действия распределенной нагрузки, точка приложения силы отсчитывается от начала диапазона действия распределенной нагрузки. Интенсивность для линейно распределенной нагрузки задается для участка максимума нагрузки ( полагаем, что в точке минимума, интенсивность = 0).
После вычисления модуля и плеча равнодействующей распределенной нагрузки их можно подставить в уравнения моментов, точно так же, как мы это делали с сосредоточенными силами.

Сосредоточенный момент

Еще один способ задания нагрузки в калькуляторе — при помощи момента в Нм, приложенного к некоторой точке. Значение сосредоточенного момента добавляется к уравнениям равновесия со знаком, определяемым направлением момента в соответствии с правилом знаков. Точка приложения сосредоточенного момента для вычисления реакций опор в простой балке значения не имеет.

SOPROMATGURU — облачный сервис для выполнения онлайн расчетов балок, рам, ферм и построения эпюр моментов, поперечных и продольных сил

SOPROMATGURU — облачный сервис для выполнения онлайн расчетов балок, рам, ферм и построения эпюр моментов, поперечных и продольных сил.

Расчет статически-определимых балок с подробным отчетом — примеры

Онлайн-сервис позволяет в автоматическом осуществлять расчет статически-определимых балок методом сечений с формированием подробного отчета о ходе решения. Существует возможность автоматического подбора сечения балки по критериям прочности (проверка по нормальным и касательным напряжениям, по третьей теории прочности) для статически-определимых балок.

Расчет статически-неопределимых балок, рам и ферм

Калькулятор расчета балок позволяет рассчитывать внутренние усилия также и в статически-неопределимых балках и рамах методом конечных элементов. Результат расчета конструкции методом конечных элементов не содержит подробного отчета о ходе нахождения внутренних усилий конструкции.

Расчет геометрических характеристик сечений — пример отчета

Конструктор сечений дает возможность конструировать пользовательские составные сечения как из прокатных профилей (двутавр, швеллер, тавр, квадратная труба и др.), выбранных из сортамента, так и выбрав произвольные параметрические сечения. Онлайн-сервис позволяет формировать подробный отчет о ходе расчета таких геометрических характеристики как: площадь сечения, координаты центра тяжести, статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления.

Расчет столбчатых и ленточных фундаментов — пример отчета

Модуль расчета фундаментов позволяет подбирать и проверять заданные габариты столбчатых и ленточных фундаментов с учетом расчетного сопротивления грунта основания, контактных напряжений, эксцентриситетов и деформации основания. Осуществляется конструирование фундаментов. Все расчеты выгружаются в подробный отчет.