Как составить уравнение равновесия плоской системы

iSopromat.ru

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F₁-F₆, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.

Суммы моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

• в плоскости xOy:
  
• в плоскости xOz:
  
• в плоскости yOz:
  

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Уравнение равновесия плоской системы сил

Условия равновесия плоской системы сил. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно любого произвольно выбранного центра О равнялись нулю, т. е.

, (7.8)

. (7.9)

В векторной форме условие (7.8) применять для решения задач неудобно. Спроектировав уравнение (7.8) на оси координат, получим вместе с (7.9) три следующих скалярных равенства:

; ; . (7.10)

Систему (7.10) называют первой формой уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, которая формулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую координатную ось (х, у) и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки О, лежащей в плоскости действия сил, равнялись нулю.

Вторая форма уравнений равновесияформулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно двух произвольных точек А и В и алгебраическая сумма проекций всех сил на какую-либо ось х или у, не перпендикулярную прямой АВ, равнялись нулю, т. е.

; ; (7.11)

или ; ; (7.12)

Условие неперпендикулярности сил и прямой АВ также обязательно. В противном случае, одно из уравнений системы (7.11) или (7.12) не является независимым.

Третья форма уравнений равновесияформулируется так: для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно трех произвольных точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, равнялись нулю, т. е.

; ; . (7.13)

Если бы точки А, В и С лежали на одной прямой, то одно из уравнений не являлось бы независимым (его можно было получить из двух других путем тождественных преобразований). Решение задачи было бы равносильно решению системы двух уравнений с тремя неизвестными, что невыполнимо.

Все три формы уравнений равновесия совершенно равноправны. Отметим, что независимо от вида уравнений равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил статика позволяет составить только три уравнения.

Условия равновесия плоской системы параллельных сил.Если силы перпендикулярны какой-либо оси х, то уравнение превращается в тождество . Для определения неизвестных сил остается два уравнения равновесия, которые можно представить в двух формах.

Первая форма. Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма всех сил и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки О равнялись нулю, т. е.

; . (7.14)

Вторая форма. Для равновесия плоской системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех сил относительно двух произвольных точек А и В равнялись нулю, т.е.

; . (7.15)

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Уравнения равновесия плоской системы сил

Всякая система произвольно расположенных в плоско­сти сил может быть приведена к главному вектору и глав­ному моменту (см. — здесь).

Для равновесия системы сил, произвольно рас­положенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы.

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю.

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы глав­ный момент также был равен нулю.

Таким образом, имеем уравнения:

ΣP_x = 0 (сумма проекций всех сил на ось X равна 0);

ΣP_y = 0 (сумма проекций всех сил на ось Y равна 0);

ΣM_o =0 (сумма моментов относительно любой точки равна 0)

Данные уравнения являются уравнениями равно­весия тела, находящегося под воздействием системы сил, произвольно расположенных в плоскости.