Как составить уравнения знать точка

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

• x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
• f(x) — исходная функция;
• f'(x) — производная от функции;
• k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

• Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
• Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
• Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
• Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
• Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

• Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
• Запишем производную: g'(x) = 6x².
• Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
• Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
• Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
• В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

Как составить уравнения знать точка

Неверно введено число.

Точки должны быть разными.

Уравнение прямой по двум точкам

Введите координаты точек:

Количество знаков после разделителя дроби в числах:

Общее уравнение прямой:

Теория

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x₁,y₁) и (x₂,y₂), имеет вид:

или в общем виде

Т.е. получили общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Практика. Решение задач. Часть 1. Уравнения прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы изучили новые инструменты – координаты и действия с векторами в координатах, операцию скалярного умножения векторов. Этот урок мы посвятим решению задач и потренируемся применять эти новые инструменты на практике.