Как составлять матрицы их уравнения

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

.

Находим матрицу, обратную матрице B :

.

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

• Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
• Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
• Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
• Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
• Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
• Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

1. Делим единицу на определитель матрицы A.
2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Матрицы: примеры с решением и объяснением

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Размер матрицы определяется её порядками — количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы — элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов — порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.

Для любого элемента матрицы номер строчки, в которой он находится, записывается первым в индексе, а номер столбца — вторым, то есть запись $a_$ обозначает, что элемент стоит в $i$-ой строчке и в $j$-ом столбце.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_ + b_$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_ <11>+ b_<11>$,а весь результат целиком выглядит так:

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_ – b_$.

Готовые работы на аналогичную тему

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end$

$B=\begin 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_$ и $b_$ соответственно:

$A+B=\begin 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 — 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 — 3 \\ \end=\begin 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end$

$A-B=\begin 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end=\begin 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end$

Умножение матрицы на число

Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_=λ \cdot a_$.

Умножьте $A$ на $λ$, где $A=\begin 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end$, а $λ=5$:

$A \cdot λ = 5 \cdot \begin 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end = \begin 1 \cdot 5 & 0 \cdot 5 & 2 \cdot 5 \\ -1 \cdot 5 & 3 \cdot 5 & 0 \cdot 5 \\ 2 \cdot 5 & 1\cdot 5 & 3\cdot 5 \\ \end = \begin 5 & 0 & 10 \\ -5 & 15 & 0 \\ 10 & 5 & 15 \\ \end$.

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_<3 \times 2>$ и $B_<2 \times 3>$ — полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

$A \times B = ?$, если $A=\begin 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end$ и $B = \begin 3 & — 1 & 2 \\ -4 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ \end$.

$A \times B = \begin (1 \cdot 3 + 0 \cdot (-4) + 2 \cdot 1) & (1 \cdot(-1) + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2) \\ (-1) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot(-1) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 1) & (-1 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 0 \cdot 2) \\ (2 \cdot 3 + 1 \cdot (-4) + 3 \cdot 1) & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2) \\ \end $

$A \times B= \begin (3 + 0+ 2) & (-1 + 0 + 2) & (2 + 0 + 4) \\ (-3-12+0) & (1 + 0 + 0) & (-2+6+0) \\ (6-4+3) & (-2 + 0 + 3) & (4 + 2 + 6) \\ \end = \begin 5 & 1 & 6 \\ -15 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 12 \\ \end$.

Нахождение определителя матрицы

Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $\det$.

Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.

В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_<11>|= a_<11>$

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:

В случае если определитель матрицы задан размером $3 \times 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^<-1>$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Получить обратную матрицу.

Решение:

Пишем вместе $A$ и справа от неё соответствующего размера $E$:

$ \begin 1& 2 & 1& 0\\ 3 & 4& 0 & 1 \\ \end$

Получаем нуль в последней строчке на первой позиции:прибавляем к ней верхнюю, умноженную на $-3$:

$ \begin 1& 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end$

Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:

$ \begin 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & -2 & -3 & 1 \\ \end$

Делим вторую на $-2$:

$ \begin 1& 0 & -2 & 1\\ 0 & 1& 3/2 & -1/2 \\ \end$

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.

Транспонируйте матрицу $A$ и проверьте себя, найдя определитель $A$ и транспонированной матричной таблички.

$A=\begin 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ — 1 & -2 & -3\\ \end$

Решение:

Применим метод Саррюса для детерминанта:

$\det A= 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 2 \cdot 6 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 \cdot (-2) – 2 \cdot 4 \cdot (-3) – 1 \cdot 6 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 \cdot (-1) = -15 – 12 – 24+ 24 + 12 + 15 = 0$.

Мы получили вырожденную матрицу.

Теперь произведём транспонирование $A$, для этого повалим матрицу на её правый бок:

$A^T = \begin 1 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 3 & 6 & -3 \\ \end$

Найдём для $A^T$ определитель, используя то же правило:

$det A^T = 1 \cdot 5 \cdot (-3) + 4 \cdot (-2) \cdot 3 + (-1) \cdot 2 \cdot 6 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) – 1 \cdot (-2) \cdot 6 – (- 1) \cdot 5 \cdot 3 = — 15 -24 — 12+24+12+15 = 0$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 05 2021