Как составлять уравнения момента в статике

iSopromat.ru

Правила знаков для моментов и проекций сил на оси координат:

Правило знаков проекций сил

То есть, для уравнений сумм проекций сил на оси:
Проекции сил и нагрузок на координатную ось имеющие одинаковое направление принимаются положительными, а проекции усилий противоположного направления – отрицательными.

Например, для такой схемы нагружения:

уравнение суммы сил имеет вид

А так как суммы проекций разнонаправленных сил равны, то данное уравнение можно записать и так:

Здесь F(q) – равнодействующая от распределенной нагрузки, определяемая произведением интенсивности нагрузки на ее длину.

Правило знаков для моментов

Сосредоточенные моменты и моменты сил стремящиеся повернуть систему относительно рассматриваемой точки по ходу часовой стрелки записываются в уравнения с одним знаком, и соответственно моменты, имеющие обратное направление с противоположным знаком.

Например, для суммы моментов относительно точки A

или, что одно и то же

Здесь m(F) – моменты сил F относительно точки A.
M(q) – моменты распределенных нагрузок q относительно рассматриваемой точки.

При составлении уравнений статики для систем находящихся в равновесии (например при определении опорных реакций) правила знаков могут быть упрощены до следующего вида:
Нагрузки направленные в одну сторону принимаются положительными, а соответственно, нагрузки обратного направления записываются со знаком минус.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Формулы момента силы для статики и динамики. Работа момента силы

В общем курсе физики изучают два наиболее простых типа перемещения объектов в пространстве — это поступательное движение и вращение. Если динамика поступательного движения основана на использовании таких величин, как силы и массы, то для количественного описания вращения тел используют понятия моментов. В данной статье рассмотрим, по какой формуле момент силы вычисляют, и для решения каких задач пользуются этой величиной.

Момент силы

Вам будет интересно: Герой Российской Федерации Петров Дмитрий Владимирович, гвардии старший лейтенант: биография, подвиг

Представим себе простую систему, которая состоит из материальной точки, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее. Если к этой точке приложить касательную силу F, которая будет перпендикулярна оси вращения, то она приведет к появлению углового ускорения точки. Способность силы приводить к вращательному движению систему называется крутящим моментом или моментом силы. Вычисляют по формуле следующей его:

В квадратных скобках стоит векторное произведение радиус-вектора на силу. Радиус-вектор r¯ является направленным отрезком от оси вращения к точке приложения вектора F¯. Учитывая свойство векторного произведения, для значения модуля момента формула в физике запишется в таком виде:

M = r*F*sin(φ) = F*d, где d = r*sin(φ).

Здесь угол между векторами r¯ и F¯ обозначен греческой буквой φ. Величина d называется плечом силы. Чем оно больше, тем больший крутящий момент может создать сила. Например, если открывать дверь, надавливая на нее вблизи петель, то плечо d будет маленьким, поэтому необходимо приложить большую силу, чтобы повернуть дверь на петлях.

Как видно из формулы момента, величина M¯ — это вектор. Направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора r¯ и F¯. Направление M¯ определить легко с использованием правила руки правой. Чтобы им воспользоваться, необходимо четыре пальца руки правой направить вдоль вектора r¯ по направлению действия силы F¯. Тогда отогнутый большой палец покажет направление момента силы.

Момент силы в статике

Рассмотренная величина является очень важной при вычислении условий равновесия системы тел, имеющих ось вращения. Таких условий в статике всего два:

• равенство нулю всех внешних сил, которые оказывают на систему то или иное воздействие;
• равенство нулю моментов сил, связанных с внешними силами.

Оба условия равновесия математически можно записать так:

Как видно, вычислять необходимо именно векторную сумму величин. Что касается момента силы, то принято считать за его положительное направление, если сила совершает поворот против хода стрелки часов. В противном случае перед формулой определения момента следует использовать знак минус.

Отметим, если в системе ось вращения расположена на некоторой опоре, то соответствующая сила реакции момента не создает, поскольку ее плечо равно нулю.

Момент силы в динамике

Динамика движения вращения вокруг оси имеет так же, как и динамика поступательного перемещения, основное уравнение, на основе которого решаются многие практические задачи. Оно называется уравнением моментов. Формула соответствующая записывается в виде:

По сути, это выражение является вторым законом Ньютона, если момент силы заменить на силу, момент инерции I — на массу, а угловое ускорение α — на аналогичную линейную характеристику. Чтобы лучше понимать это уравнение, отметим, что момент инерции выполняет ту же самую роль, что обычная масса при поступательном движении. Момент инерции зависит от распределения массы в системе относительно оси вращения. Чем больше расстояние тела до оси, тем больше величина I.

Угловое ускорение α вычисляется в радианах в секунду в квадрате. Оно характеризует быстроту изменения вращения.

Если момент силы равен нулю, тогда система не получает никакого ускорения, что свидетельствует о сохранении ее момента импульса.

Работа момента силы

Поскольку изучаемая величина измеряется в ньютонах на метр (Н*м), то многие могут подумать, что ее можно заменить джоулем (Дж). Однако этого не делают потому, что в джоулях измеряется некоторая энергетическая величина, момент силы же — это силовая характеристика.

Так же как сила, момент M тоже может совершать работу. Вычисляется она по такой формуле:

Где греческой буквой θ обозначен угол поворота в радианах, на который повернулась система в результате действия момента M. Заметим, что в результате умножения момента силы на угол θ, единицы измерения сохраняются, однако, уже используют именно единицы работы, то есть, Джоули.

Момент силы и правило моментов

теория по физике 🧲 статика

Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.

Виды равновесия

Устойчивое равновесие

Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (E_{p min}).

Неустойчивое равновесие

Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (E_{p max}).

Безразличное равновесие

При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает.

Момент силы

Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:

M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).

Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.

Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?

Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:

Момент силы может быть положительным и отрицательным.

Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:

Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:

Правило моментов

Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

Иначе правило моментов можно сформулировать так:

Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.

∑ M п о ч а с . с т р . = ∑ M п р . ч а с . с т р .

Условия равновесия тел

∑ → F i = 0 ; → v o = 0

∑ → F i = 0 ; → v o = 0 и ∑ → F i = 0 ; → v o = 0

Простые механизмы

Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.

Наклонная плоскость

Тело не участвует в поступательном движении:
Тело не участвует во вращательном движении:
Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении)
	Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости: Рычаг
	Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой: F 1 F 2 . . = d 2 d 1 . . Неподвижный блок
	Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны: Подвижный блок
	Дает выигрыш в силе в 2 раза:
	Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина:

Золотое правило механики

При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.

Алгоритм решения

Решение

Известна лишь масса батона: m₁ = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:

Запишем правило моментов:

Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:

Отсюда масса рыбы равна:

m 2 = m 1 d 1 d 2 . . = 0 , 8 · 0 , 3 0 , 4 . . = 0 , 6 ( к г )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения F → тр «> F _тр относительно оси, проходящей через точку О₃ перпендикулярно плоскости чертежа, равно.

Алгоритм решения

1. Сформулировать определение плеча силы.
2. Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.

Решение

Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О₃В.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить