Как связаны функции и уравнения

ru.natapa.org

Разница между уравнениями и функциями — Разница Между

Содержание:

В математике уравнение используется для обозначения равенства между двумя выражениями. По сути, уравнение записывается как выражение, равное другому выражению. Например: x + 2 = 5. Это означает, что все, что есть x, если вы добавите 2 к нему, будет равно 5. Следовательно, мы можем решить уравнение для x, которое равно 3, как 3 + 2 = 5.

Уравнения могут быть более сложными и могут включать более одной переменной, такой как x, y, z и т. Д. В одном уравнении. Например: 3x + 2y — z = 4. Однако каждому алфавиту будет соответствовать одно число. В этом случае x = 1, y = 2 и z = 3.

3x + 2y — z = 4 становится

3 (1) + 2 (2) — 3 = 4, что

3 + 4 — 3 = 4 по существу

Функция, с другой стороны, намного сложнее, чем уравнение. Функция используется для обозначения отношения между набором входов и набором соответствующих выходов. По сути, вход должен дать один выход. Функция — это отношение между двумя переменными. Например: f (x) = x + 2. В соответствии с этой функцией, какой бы ни был вход, он даст вам один выход, который будет входом плюс 2. Давайте решим эту функцию:

Уравнения и функции 2022

Уравнения против функций

Когда ученики сталкиваются с алгеброй в старшей школе, различия между уравнением и функцией становятся размытыми. Это связано с тем, что оба используют выражения при решении значения для переменной. Опять же, различия между этими двумя элементами выводятся по их выходам. Уравнения могут иметь одно или два значения для используемых переменных в зависимости от значения, приравненного к выражению. С другой стороны, функции могут иметь решения, основанные на вводе значений переменных.

Когда решается для значения «X» в уравнении 3x-1 = 11, значение «X» можно получить путем транспонирования коэффициентов. Это дает 12 в качестве решения уравнения. С другой стороны, функция f (x) = 3x-1 может иметь различные решения в зависимости от заданного значения для x. В f (2) функция может иметь значение 5, в то время как f (4) может выдавать значение функции 11. Проще говоря, значение уравнения определяется значением, приравниваемым выражениям, а значение функции зависит от значения «X».

Чтобы сделать это более ясным, ученики должны понимать, что функция дает значение и определяет отношения между двумя или более переменными. Для каждого назначенного значения «X» учащиеся могут получить значение, которое может описывать отображение «X» и ввода функции. С другой стороны, уравнения показывают взаимосвязь между их двумя сторонами. Правая часть, равная значению или выражению в левой части уравнения, просто означает, что значение обеих сторон равно. Существует определенное значение, которое удовлетворяет уравнению.

Графики уравнений и функций также различаются. Для уравнений X-координата или абсцисса могут принимать разные Y-координаты или различные ординаты. Значение «Y» в уравнении может меняться при изменении значений «X», но бывают случаи, когда одно значение «X» может приводить к нескольким и различным значениям «Y». С другой стороны, абсцисса функции может иметь только одну ординату при назначении значений.

Различные тесты также применяются в точных оценках графиков уравнений и функций. График уравнения, проведенного с использованием одной линии для линейной и параболы для уравнений высшей степени, должен пересекаться только в одной точке с вертикальной линией, нарисованной на графике. График функции, однако, пересечет вертикальную линию в двух или более точках. Уравнения всегда можно графовать из-за определенных значений «Х», решаемых посредством транспозиции, элиминации и замещений. Пока ученики имеют значения для всех переменных, им было бы легко нарисовать уравнение в картезианской плоскости. С другой стороны, функции вообще не имеют графика. Например, производные операторы могут иметь значения, которые не являются действительными числами, и поэтому их нельзя графовать.

Говоря это, логично сделать вывод, что все функции являются уравнениями, но не все уравнения являются функциями. Затем функции становятся подмножеством уравнений, которые включают выражения. Они описываются уравнениями. Таким образом, ставя две или более функции с математической операцией, можно сформировать такое уравнение, как в f (a) + f (b) = f (c).

1. В уравнениях и функциях используются выражения. 2. Значения переменных в уравнениях решаются на основе приравниваемого значения, а значения переменных в функциях назначаются. 3. В вертикальной линейной проверке графики уравнений пересекают вертикальную линию в одной или двух точках, а графики функций могут пересекать вертикальную линию в нескольких точках. 4.Выборы всегда имеют график, в то время как некоторые функции нельзя графовать. 5. Функции — подмножества уравнений.

Применение свойств функций для решения уравнений

В работе рассматриваются сособы решения уравнений с использованием свойств и характеристик функций: монотонности, ограниченности, области определенийи области значений функции.

Просмотр содержимого документа
«Применение свойств функций для решения уравнений»

II. Применение свойств функций для решения уравнений

Использование ОДЗ для решения уравнений .………….. 2стр

Монотонность функции и наличие корней уравнении…. 3стр

Используемая литература………………………………………. 10 стр

Найти и освоить приемы решения уравнений способами, позволяющими значительно сократить время нахождения корней уравнений.

В ходе сбора и изучения информации по данной теме, были найдены и изучены рациональные приемы решения уравнений с применением свойств монотонности, ограниченности функций, а также области определения и значений функций, позволяющие эффективно (практически устно) решать некоторые виды уравнений, рассмотренных в качестве примеров в нашей работе.

В наших школьных учебниках алгебры в основном изучаются такие методы и приемы решения уравнений как возведение в степень, замена переменной, применение тождественных преобразований, Но использование этих способов при решении некоторых видов уравнений приводит к довольно долгим и сложным преобразованиям, особенно если уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу.

В ходе наших поисков мы познакомились с одним из эффективных способов решения уравнений вида f(x)=g(x), который и демонстрируем в нашей работе. Это способ решения уравнений с использованием свойств функций.

Начнем с уравнений, которые можно решить, используя область определения функции или область допустимых значений переменной. Напомним, что множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл называют областью допустимых значений уравнения или неравенства. Рассмотрим такие уравнения, которые можно решить просто найдя ОДЗ.

​​​ = 3−x

Пусть f(x) = . Тогда D (f) определяется неравенством 2х – 6≥ 0, т.е. x≥3, а E(f) = [0; +∞ )

Значит правая часть уравнения должна быть неотрицательной, т.е. должно выполнятся условие 3−x ≥ 0, тогда x ≤ 3. Определяется системой двух неравенств: x≥3 и x ≤ 3. Получаем, что ОДЗ уравнения: х=3.Легко видеть, что 3 будет корнем исходного уравнения.

Приведем еще один пример уравнения:

​​+​ ​​​= 27x−15

Решение: Найдем ОДЗ, решив систему неравенств

Решая неравенства этой системы получим А эта система имеет решение х=5. Таким образом, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Подставив x=5 в уравнение, убеждаемся, что получаем верное равенство. Значит 5 – корень данного уравнения.

Монотонность функции и наличие корней уравнения.

Рассмотрим как применяются такое свойство функции как монотонность. Для успешного решения уравнения этим способом необходимо знать следующие утверждения: 1) если функция f (х) на некотором промежутке возрастает, а функция g(х) убывает на этом же промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня; 2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)). Применение свойства продемонстрируем на следующих примерах:

1) x 1991 +1 =

1) В левой части этого уравнения стоит возрастающая функция на на R
в правой – убывающая на (-∞;5].
Если уравнение и будет иметь корень, то только на промежутке (-∞;5]. Легко заметить, что этот корень 1, и он, согласно теореме, единственный.

2) 5x 19 + 4x 3 +3х=12. Функция, стоящая в левой части уравнения является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

3) +=2. Областью определения функции, стоящей в левой части, является промежуток [-1; ∞). На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, корень, равный -1 – единственный.

4) 2 x 15 + 3x=5/х. Функция f(x) = 5/х на каждом из промежутков (-∞;0) и (0:∞) убывает, а функция g (х) = 2 x 15 + 3x возрастает на каждом из них, поэтому наше уравнение на каждом из этих промежутков имеет не более одного корня. Убеждаемся, что это числа 1 и -1.

5) 2= 9/х – 1.Функция f(x)= 2 на промежутке [ 2; ∞) возрастает, а функция g (х) = 9/х – 1 на этом же промежутке убывает, значит уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке. И этот корень равен 3.

6) найти положительные корни уравнения

Функция возрастает на R. g (х)=
Убывает на промежутке [ 0; ∞). Следовательно, на промежутке [ 0; ∞) уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим что х =1.

Функция возрастает на(0; ∞) . а функция g (х)= на этом промежутке убывает. Значит, уравнение будет иметь корни только на промежутке (0; ∞). Подбором находим корень уравнения –это число 2.

Рассмотрим, как можно применить к решению уравнений такое свойство функции как ограниченность. Метод, с помощью которого решаются уравнения с применением ограниченности функции, получил название метода мажорант. Ну, а само название метода происходит от французского слова majorer — объявлять большим. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р. Основная идея метода состоит в следующем: Пусть имеется уравнение f(х) = g(х) и существует такое такое число М, что для любого х из области определения f(х) и g(х) имеем f(х) ≤ М и g(х) ≥ М. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе Метод применим к уравнениям, в которых используются ограниченные фукции, т. е. функции, множество значений которых ограниченно. Вот некоторые из них:

1. -1≤sinx≤1 или ≤1

2. -1≤cosx≤1 или ≤1

3.

4.

5.

6.

Применение метода рассмотрим на следующих примерах.

1) Решим уравнение: + =0.

4и 10 степени – это четные числа, значит и при любом значении x. Тогда наше уравнение будет равносильно системе уравненийПервое уравнение имеет единственный корень – это число3, значит, если система и будет иметь решение, то не более одного. Проверкой убеждаемся, что3 является корнем и второго уравнения системы, а следовательно и исходного уравнения.

Заменим левую часть уравнения логарифмом, используя свойство разности логарифмов:

Представим дробь в виде , и используя неравенство Коши оценим подлогарифмическое выражение. Получаем (x + ) ≥ 4, а значит

log₂ (x + ) ≥ 2. Таким образом, левая часть уравнения не меньше 2.

Рассмотрим правую часть уравнения. В правой части содержится квадратный трехчлен, поэтому выделив из него квадрат двучлена приходим к выводу, что данное выражение принимает значения не больше 2:

4 x – x 2 – 2 = – x 2 + 4 x – 2 = – ( – 4 x + 4 – 2) = – (x — 2) 2 + 2 = 2 – ( x — 2) 2

Получили, что правая часть уравнения не больше 2, т.к. (x — 2) 2 ≥ 0 при любых х. Значит, равенство левой и правой частей уравнения достигается, если они одновременно равны 2.

Из первого уравнения системы находим корень х = 2. Убеждаемся, что этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы. Следовательно, решением исходного уравнения будет х = 2.

3) Решить уравнение:

В левой части уравнения стоит тригонометрическая функция, а в правой – сумма показательных. Формул, позволяющих находить корни в таких случаях, не существует. Оценим каждую из частей уравнения. Очевидно, что левая часть уравнения не больше 2. И так как

Поскольку 0, то причем равенство достигается только при x = 0. В данном случае

Получили, что левая часть уравнения не больше двух, а правая часть – больше или равняется двум. Таким образом, уравнение имеет решение, только если имеет решение система уравнений:

Проверкой убеждаемся, что x=0 – корень уравнения: . Значит число 0 – корень исходного уравнения. Получили ответ: x = 0.

Рассмотрим решение еще одного уравнения:

Рассмотрим две функции

Уравнение имеет решение, если наибольшее значение функции f(х) равно наименьшему значению функции g(х). Таким образом, уравнение имеет решение, только если обе части равны 2. И наше уравнение равносильно системе:

Решим первое уравнение системы:

Подставив данный корень во второе уравнение системы, получим верное равенство. Значит, решением исходного уравнения будут числа вида .

Функция y= (квадратичная функция) имеет наименьшее значение при , равное y(2)=4

Функция у= является возрастающей и, следовательно, принимает наименьшее значение при x=2

Правая часть уравнения, в силу ограниченности функции принимает значения не больше 2, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Так как 2-корень первого уравнения, то убедимся, что число 2-корень второго уравнения. Получаем:

Таким образом, 2-корень исходного уравнения.

Рассмотренные нами примеры могли быть решены и другими методами, но традиционные методы в данных конкретных примерах достаточно трудоемки. В нашей работе мы постарались продемонстрировать применение некоторых нестандартных приемов решения уравнений, основанных на свойствах и характеристиках функций. Планируем продолжить изучение нетрадиционных и эффективных приемов решения уравнений.