Как связаны уравнения и схемы

Принципы построения разностных схем
для уравнений в частных производных

Точное решение задач математической физики (в виде явных формул, рядов и т.п.) можно найти только в редких случаях. Среди приближенных методов, в результате применения которых получается приближенное (не точное) решение, представляемое таблицей чисел, наибольшее распространение получили разностные методы (методы сеток). Сущность разностных методов состоит в том, что исходная область изменения независимых переменных заменяется дискретным множеством точек — сеткой, а производные, входящие в уравнение, аппроксимируются на этой сетке разностными соотношениями. В результате исходная линейная задача заменяется системой конечного числа линейных алгебраических уравнений, называемой разностной схемой (задачей). Аналогично исходная нелинейная задача заменяется нелинейной разностной схемой. За приближенное решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. Точность приближения зависит от способа аппроксимации и от густоты сетки, т.е. от того, насколько плотно сетка заполняет исходную область.

Рассмотрим общую запись постановок линейных задач, описанных ранее. Пусть дана исходная (дифференциальная) задача в виде

где — искомая функция, определенная на множестве — область пространства независимых переменных с границей — заданная функция, — линейный дифференциальный оператор. Предполагается, что все производные, входящие в дифференциальное уравнение, перенесены в левую часть, а остальные функции образуют правую часть; дополнительные условия (начальные и краевые) также включены в оператор и правую часть . Например, начально-краевая задача для уравнения переноса (8.5) запишется в виде (8.9), если положить

Для численного решения задачи вводится сетка — конечное множество точек (узлов сетки), принадлежащих , плотность размещения которых характеризуется параметром — шагом сетки. В общем случае — вектор, компонентами которого являются шаги по всем независимым переменным решаемой задачи, с длиной . Обычно сетка задается так, что при множество стремится заполнить множество .

Для определенности далее рассматривается некоторая дифференциальная задача с двумя независимыми переменными и . Для простоты изложения будем предполагать, что множество представляет собой прямоугольник длины и высоты , ограниченный отрезками прямых, параллельных осям и (рис. 8.3), т.е. задана двумерная прямоугольная сетка , где — целые положительные числа; — величины шагов по пространству и времени (для простоты принимаются постоянными); . Такая сетка называется равномерной (регулярной). Здесь можно положить или . Узлы, принадлежащие промежуткам , называются граничными, а остальные -внутренними. Слоем называется множество всех узлов сетки, имеющих одну и ту же временную координату .

Функции, определенные в точках сетки , называются сеточными. Введем сеточную функцию , которая является сеточным представлением решения исходной (дифференциальной) задачи или точным решением дифференциальной задачи в узлах сетки. Как правило, вычислить uh не удается, поэтому находят другую сеточную функцию приближенно совпадающую с точным решением в узлах сетки. Она вычисляется как решение разностной схемы

в некотором смысле соответствующей задаче (8.9). Здесь — разностный оператор, аппроксимирующий линейный дифференциальный оператор (он формируется в результате аппроксимации частных производных, входящих в , соответствующими конечно-разностными соотношениями); — сеточная функция, возникающая в результате замены правой части уравнения (8.9) значениями в узлах сетки. Таким образом, под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные условия (начальные и краевые) — в граничных узлах. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть разностной задачей.

Обозначим линейное нормированное пространство, образованное совокупностью функций , определенных на , через , а пространство, образованное совокупностью функций , через . Пусть в этих пространствах введены нормы . Если при выполняется условие

то решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной, а разностная схема называется сходящейся. Если существуют такие постоянные 0,

C>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, не зависящие от , что выполняется неравенство , то схема имеет p-й порядок сходимости (порядок точности) .

Как указано выше, основной идеей разностных методов является преобразование дифференциальной задачи к разностной задаче для нахождения сеточного решения, в некотором смысле близкого к точному решению.

Функция в выражении , получающаяся в результате подстановки сеточного представления в разностную схему (8.10), называется погрешностью аппроксимации.

Разностная задача (8.10) аппроксимирует дифференциальную задачу (8.9) на решении , если при . Если существуют такие постоянные 0,\, M>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, не зависящие от , что выполняется неравенство

то разностная схема имеет k-й порядок аппроксимации.

Одновременное выполнение условия означает, что схема имеет p-й порядок аппроксимации по времени и q-й по пространству. В случае трех независимых переменных аналогичное условие имеет вид .

Разностная схема называется устойчивой, если существует постоянная 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADYAAAAQBAMAAACvnpHFAAAAG1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABp4cHsAAAACHRSTlMAwXMoRpnoEREgALwAAADMSURBVBjTfZA9D4IwEIZfvoQRB6NjLYQ41kHjiHHpKAOJI9FBVzdGUIz8bI9v6GAT8pJ70us9B/w7NuccOveV8qlmx/wEK/emaB/fqrBewDacIuOKQFBqb+jLurITHbMyOGfKNEHcVMxFd33mQksopftkXauohQ6xjPLiPVj/TtT8psS+lKtok0CBklhBDiWbFSPdddX20DAzh/5RmdP0JD27FANiozlJDxemzNL6pTSrvCsORgEZQpala9FXu8/71QX8Ot3isDMYvsAPPkMgcH/TCfgAAAAASUVORK5CYII=» />, не зависящая от , что при любых справедливы условия:

1) разностная схема (8.10) имеет единственное решение;

1. Свойство устойчивости какой-либо задачи означает, что при небольшом изменении исходных данных решение изменяется мало. Таким образом, для исследования устойчивости необходимо рассматривать уравнение, которому удовлетворяет погрешность, возникающая в результате возмущения исходных данных. Однако в случае линейного оператора структура уравнения для погрешности та же, что и исходного уравнения (8.9). Действительно, рассмотрим уравнение , отличающееся от (8.10) правой частью. Вычитая его из (8.10), получаем уравнение , описывающее изменение пофешности в силу наличия возмущения , правой части. Тогда если выполнено условие 2) определения устойчивости, то одновременно и, следовательно, при . Это означает, что задача устойчива.

2. Свойство устойчивости связано с понятием норм, вводимых в пространствах . Возможны случаи, когда условие 2) будет выполняться для одних норм и не выполняться для других. Если это условие не выполняется ни при каком разумном выборе норм, то схема неустойчива.

Разностные схемы, устойчивые при любом соотношении шагов и , называются абсолютно устойчивыми.

Разностные схемы, неустойчивые при любом соотношении шагов и , называются абсолютно неустойчивыми.

Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми.

Сходимость и устойчивость связаны теоремой, играющей основную роль при анализе разностных схем.

Теорема. Пусть дифференциальная задача (8.9) поставлена корректно, разностная схема (8.10) устойчива, аппроксимирует дифференциальную задачу (8.9) и имеет k-й порядок аппроксимации. Тогда решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Установить устойчивость разностной схемы с использованием определения на практике затруднительно. Поэтому предложен ряд методов, позволяющих получить необходимые (иногда необходимые и достаточные) условия устойчивости разностных схем: спектральный признак устойчивости, метод гармоник Фурье, принцип максимума, метод операторных неравенств. В данной книге эти методы не рассматриваются.

Схема называется явной, если оператор аппроксимируется с использованием известных значений функции на n-м слое, а аппроксимирующее уравнение содержит только одно неизвестное значение функции на следующем (n+1)-м слое, которое нетрудно выразить явно. Схема называется неявной, если оператор аппроксимируется с использованием нескольких неизвестных значений искомой функции на (n+1) -м слое. Узлы сетки , значения в которых используются при аппроксимации оператора , образуют шаблон. При изображении шаблона светлыми кружочками обозначаются узлы, соответствующие всем слоям с известными значениями функции, а зачерненными — узлы с неизвестными значениями функции, подлежащими определению. Шаблон, содержащий узлов, называется p-точечным.

Получим некоторые разностные формулы для аппроксимации частных производных первого и второго порядков, входящих в уравнения видов (8.3),(8.4) и в соответствующие дифференциальные задачи, рассмотренные далее.

Пусть имеется функция , имеющая непрерывные производные по всем переменным до (k+1)-го порядка включительно. Выберем узел (xhtn) сетки . Сначала рассмотрим разности в направлении . Применим формулу Тейлора разложения функции одной переменной в окрестности выбранного узла .

Индуктивно связанные электрические цепи

Содержание:

Индуктивно связанные электрические цепи:

При изменении магнитного поля, связанного с каким-либо витком, в последнем наводится э. д. с., которая в соответствии с законом электромагнитной индукции определяется скоростью изменения магнитного потока независимо от того, чем вызвано изменение потока. В катушке, состоящей из большого числа витков, наводится э. д. с., пропорциональная скорости изменения потокосцепления, т. е. скорости изменения суммы магнитных потоков, сцепленных с отдельными витками данной катушки. Если все витки катушки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то, как указывалось потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков.

При рассмотрении цепей синусоидального тока до сих пор учитывалось явление самоиндукции, т. е. наведение э. д. с. в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндукции, обусловленного током в этой цепи. Отношение потокосцепления самоиндукции к току характеризовалось скалярной величиной — индуктивностью L.

Теперь нам предстоит заняться рассмотрением явления взаимной индукции, т. е. наведения э. д. с. в электрической цепи при изменении потокосцепления взаимной индукции, обусловленного током в другой электрической цепи. Цепи, в которых наводятся э. д. с. взаимной индукции, называются индуктивно связанными цепями.

Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током в другой цепи, равная отношению потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, характеризуется взаимной индуктивностью M которая, так же как и индуктивность, представляет собой скалярную величину.

Если потокосцепление

Справедливость последнего равенства можно доказать, если выразить потоки взаимной индукции через соответствующие м. д. с. и магнитную проводимость путей, по которым замыкаются эти потоки

Отсюда также видно, что величина М пропорциональна произведению чисел витков катушек и магнитной проводимости пути общего потока, которая зависит от магнитной проницаемости среды и взаимного расположения катушек.

На основании сказанного формулируется свойство взаимности для индуктивно связанных цепей: если ток, проходящий в первой цепи, обусловливает во второй цепи потокосцепление взаимной индукции то такой же ток, проходящий во второй цепи, обусловит в первой цепи потокосцепление взаимной индукции той же величины.

Полярности индуктивно связанных катушек эдс взаимной индукции

Напомним, что положительные направления тока и создаваемого им магнитного потока согласуются всякий раз по правилу правоходового винта. Условимся положительные направления токов в двух индуктивно связанных катушках считать согласными, если положительные направления создаваемых ими магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции совпадают.

На рис. 8-1, а и б показаны индуктивно связанные катушки, насаженные на общий магнитопровод; здесь в зависимости от направления намотки витков выбраны такие положительные направления для токов при которых магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке совпадают. Таким образом, рис. 8-1, а и б иллюстрирует согласное направление токов.

Картина распределения мгновенных силовых трубок потоков не зависит от токовт. е. при любых токах она одинакова; поэтому проводимость для каждого из этих потоков одна и та же.

При согласном направлении токов в двух индуктивно связанных катушках выводы этих катушек, относительно которых токи направлены одинаково, называются одноименными или однополярными.

На рис. 8-1, а, где витки обеих катушек намотаны в одном направлении, одноименными выводами являются выводы, отмеченные точками (два других вывода на рис. 8-1, а составляют вторую пару одноименных выводов).

Аналогичным образом на рис. 8-1, б, где витки катушек намотаны в противоположных направлениях, одноименные выводы также отмечены точками.

Таким образом, одноименные выводы индуктивно связанных катушек характерны тем, что при одинаковом направлении токов относительно этих выводов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждой катушке складываются.

В связи с введением понятия об одноименных выводах при вычерчивании электрических схем нет необходимости показывать намотку витков индуктивно связанных катушек, а достаточно разметить на схеме их одноименные выводы. На рис. 8-2 показано схематическое изображение двух индуктивно связанных катушек с указанием одноименных выводов и выбранных положительных направлений токов Как это следует из сказанного выше, токи направлены согласно на рис. 8-2, а и встречно на рис’: 8-2, б.

Отмечалось, что положительное направление э. д. с. самоиндукции выбирается совпадающим с положительным направлением тока; поэтому положительные

направления магнитного потока и наводимой им э. д. с. самоиндукции связаны правилом правоходового винта. Точно так же и положительное направление э. д. с. взаимной индукции наводимой в катушке 1 током принимается совпадающим с положительным направлением тока Соответственно положительное направление э. д. с. взаимной индукции наводимой в катушке 2 током совпадает с положительным направлением При таких условиях и согласном направлении токов в формуле э. д. с. взаимной индукции имеется знак «минус», так же как в формуле э. д. с. самоиндукции (1-2), причем положительное направление магнитного потока и наводимой э. д. с. взаимной индукции связано правилом правоходового винта:

Рассмотрим случай, когда через катушку 1 проходит ток причем На основании (8-4) в катушке 2
наводится э. д. с. взаимной индукции

В этом случае потенциал вывода катушки 2, одноименный с тем, в который входит ток оказывается выше потенциала второго вывода катушки 2.

Отсюда можно заключить, что одноименные выводы двух индуктивно связанных катушек обладают той особенностью, что подведение к одной из них возрастающего тока вызывает повышение потенциала на одноименном выводе второй катушки.

На указанном свойстве основано экспериментальное нахождение одноименных выводов индуктивно связанных катушек. Одна из них включается в цепь источника постоянного напряжения, а к другой присоединяется вольтметр постоянного тока (рис. 8-3).

Если в момент замыкания цепи источника стрелка измерительного прибора отклоняется в сторону положительных показаний, то выводы индуктивно связанных катушек, подключенные к положительному полюсу источника электрической энергии и положительному выводу измерительного прибора, являются одноименными.

Теперь рассмотрим случай встречного направления токов схематически изображенный на рис. 8-2, б, где токинаправлены различно относительно одноименных выводов.

Ввиду того что положительные направления магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции в этом случае противоположны, э. д. с. взаимной индукции при встречном направлении токов вычисляются по формулам, содержащим знак плюс:

Рассмотрим последовательное соединение двух индуктивно связанных катушек (рис. 8-4, а и б).

При согласном направлении токов (рис. 8-4, а) э. д. с.

взаимной индукции совпадающие по направлению с токами, могут быть при обходе контура в том же направлении заменены падениями напряжения от взаимной индукции Поэтому суммарное напряжение на обеих катушках с учетом того, что равно:

Полученное выражение показывает, что две индуктивно связанные катушки, соединенные последовательно, при согласном направлении токов эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивление и индуктивность

Таким образом, как и следовало ожидать, наличие взаимной индукции при согласном направлении токов в катушках, соединенных последовательно, увеличивает индуктивность цепи.

При встречном направлении токов (рис. 8-4, б) падение напряжения от взаимной индукции при обходе контура в направлении тока получается со знаком минус:

Данное выражение показывает, что две индуктивно связанные катушки, соединенные последовательно, при

встречном направлении» токов эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивление и индуктивность

Следовательно, наличие взаимной индукции при ест речном направлении токов в катушках, соединенных последовательно, уменьшает индуктивность цепи.

На основании сказанного можно сделать следующий вывод: при согласном направлении токов падение напряжения от взаимной индукции имеет знак плюс, а при встречном — знак минус (обход цепи в обоих случаях совершается в положительном направлении тока).

Комплексная форма расчета цепи с взаимной индукцией

Представив ток в комплексной форме, получим выражение э. д. с. взаимной индукции для случая согласного направления токов в комплексной форме:

откуда комплексная действующая э. д. с. взаимной индукции

и соответственно падение напряжения от взаимной индукции

где — комплексное сопротивление взаимной индукции; в радиотехнике его называют сопротивлением связи.

Комплексные напряжения, соответствующие (8-6) и (8-7), запишутся так:

Отсюда, между прочим, вытекает следующий способ нахождения взаимной индуктивности М: если через обозначить индуктивное сопротивление цепи при согласном направлении токов последовательно соединенных элементов, а через — то же при встречном направлении, т. е. положить

то в результате вычитания второго равенства из первого получим:

На рис. 8-5 изображены векторные диаграммы для случаев согласного и встречного направлений токов двух индуктивно связанных катушек, соединенных последовательно. При построении векторных диаграмм принято, что При этом как при согласном, так и при встречном направлениях токов ток отстает по фазе-от результирующего напряжения О. Если принятьто. и в этом случае ток получится отстающим, так как всегда. Условия и одновременно существовать не могут.

Порядок расчета разветвленных электрических цепей при наличии взаимной индуктивности иллюстрирован ниже на примере схемы рис. 8-6. Предполагается, что элементы входящие в схему, связаны индуктивно.

Заданными являются э. д. с. и все параметры цепи. Искомыми являются токи

Если бы в каждом контуре был только один индуктивно связанный элемент, то запись уравнений для контурных токов не вызывала бы затруднений. В данном же случае

удобнее писать уравнения непосредственно для токов в ветвях, по первому и второму законам Кирхгофа. Совершая обход контуров по направлению токов , будем составлять уравнения напряжений по второму закону Кирхгофа с учетом падений напряжения в сопротивлениях взаимной индукции.

При согласном направлении токов падение напряжения в сопротивлении взаимной индукции входит со знаком плюс а при встречном —со знаком минус

здесь — напряжение между узлами схемы. Решение уравнений дает токи.

Отметим, что слагаемые с одинаковыми взаимными индуктивностями входят в уравнения с одинаковыми знаками, что может служить проверкой правильности записи уравнений.

Таким образом, расчет разветвленной электрической цепи при наличии взаимной индуктивности может быть приведен одним из описанных ранее методов с учетом падений .напряжений в сопротивлениях взаимной индукции.

Метод узловых напряжений в данном случае непосредственно неприменимтак как токи в ветвях зависят не только от напряжений между узлами, к которым присоединены эти ветви, но и от токов других ветвей, с которыми они связаны через взаимную индукцию.

В разобранном выше примере одноименные выводы всех трех индуктивно связанных элементов были обозначены одинаково (звездочкой), так как предполагалось, что эти элементы имеют общий неразветвленный магнитопровод.

В том случае, когда три или большее число элементов располагаются на сложном, разветвленном магнитопроводе, необходимо одноименные выводы каждой пары индуктивно связанных элементов обозначать разными условными знаками (см. пример 8-2).

Пример 8-1.

Определить комплексное сопротивление на входе электрической цепи, состоящей из двух параллельно соединенных катушек, связанных индуктивно при согласном направлении токов (рис. 8-7).

Для положительных направлений контурных токов, показанных на рис. 8-7, составляем контурные уравнения:

Обозначим:

тогда

Решив уравнения относительно найдем общий ток:
Искомое сопротивление всей цепи по отношению к выводам источника

При переключении концов одной из катушек получается параллельное соединение катушек со встречным направлением токов. В этом случае в уравнениях и конечном выражении для Z следует принять со знаком минус, что приведет к изменению знака при в знаменателе упомянутого выражения,

При отсутствии индуктивной связи конечное выражение совпадает с известной формулой для сопротивления двух параллельных ветвей.

Пример 8-2.

Составить уравнения контурных токов для электрической цепи, состоящей из источника э. д. с. Ё, емкости С и трех индуктивно связанных катушек, насаженных на трехстержневой магнито-провод (рис. 8-8, а). Взаимная индуктивность катушек Цепь рассматривается как линейная (М — const).

Рисунок 8-8, 6 изображает электрическую схему заданной цепи. Точками, кружками и квадратиками обозначены одноименные выводы, соответствующие каждой паре катушек.

Выбрав направления контурных токов, указанные на схеме рис, 8-8, б, составляем контурные уравнения:

Совместное решение уравнений дает токи.

Предлагается читателям приведенную выше систему контурных уравнений получить матричным методом. Указание, Матрица соединений для схемы рис, 8-8 имеет вид:

Матрица сопротивлений ветвей равна:

Коэффициент индуктивной связи. Индуктивность рассеяния

Рассмотрим картину магнитного поля индуктивно связанных катушек, схематически представленную на рис. 8-9 (для согласного направления токов).

Положим, что первая катушка состоит из витков, а вторая из витков, расположенных в каждой катушке настолько близко друг к другу, что магнитный поток охватывает целиком витки данной катушки.

В общем случае, когда по обеим катушкам проходят токи магнитные потоки могут быть представлены как результат наложения потоков, создаваемых каждым током в отдельности.

На рис. 8-9 приняты следующие обозначения магнитных потоков:

— весь поток, созданный током первой катушки;

— поток взаимной индукции первой катушки, пронизывающий витки второй катушки;

— поток рассеяния первой катушки, пронизывающий только витки этой катушки;

— аналогичные потоки, созданные током второй катушки;

— общий поток взаимной индукции, пронизывающий витки обеих катушек.

Из сказанного следует, что

Чем меньше потоки рассеяния тем больше приближается и соответственно

При изменении токов во времени изменяются также и потоки, создаваемые этими токами. Индуктивность каждой катушки, как известно, определяется отношением потокосцепления самоиндукции к току данной катушки;

Первые слагаемые этих выражений:

называются индуктивностями рассеяния катушек.

Магнитные потоки могут быть выражены через произведения м. д. с. на магнитные проводимости путей, по которым замыкаются эти потоки:

Таким образом, индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков и сумме магнитных проводимостей путей потоков рассеяния и взаимной индукции.

Магнитная проводимость в свою очередь зависит от формы и размеров катушек, их взаимного расположения и магнитной проницаемости среды На основании (8-1), (8-2), (8-9) и (8-10) индуктивности рассеяния можно выразить через и М следующими формулами:

Эти выражения нам понадобятся в следующем параграфе при рассмотрении схемы замещения трансформатора.

Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи k, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции ко всему потоку катушки, т. е.

Если выразить потоки через параметры и М по формулам (8-1), (8-2) и (8-9), то получим:

или

Из формулы (8-13) видно, что коэффициент связи всегда меньше единицы (так как Коэффициент связи возрастает с уменьшением потоков рассеяния

С учетом (8-3) и (8-11) коэффициент связи может быть выражен через магнитные проводимости:

Повышение коэффициента связи достигается бифиляр-ным способом намотки катушек (рис. 8-10, а) и применением магнитопровода, так как с увеличением магнитной проницаемости и соответственно магнитной проводимости магнитопровода доля потоков рассеяния снижается.

При перпендикулярном расположении осей катушки (рис. 8-10, б) коэффициент связи обращается в нуль. Поэтому, перемещая одну катушку относительно другой, можно плавно изменять коэффициент связи в широких пределах, а при последовательном соединении этих катушек плавно изменять их результирующую индуктивность. Такое устройство называется вариометром.

При наличии магнитопровода цепь теряет свойство линейности. Однако в тех случаях, когда по условиям работы магнитная индукция в магнитопроводе не выходит за пределы прямолинейного участка кривой намагничивания и его магнитная проницаемость может быть принята постоянной, данная цепь рассматривается как линейная и изложенная выше теория сохраняет силу.

Как уже указывалось, схематическая картина магнитного поля на рис. 8-9 соответствует согласному направлению токов. Если изменить на рис. 8-9 положительное направление тока то изменится направление магнитных потоков и что будет соответствовать встречному направлению токов.

В этом случае в уравнениях, приведенных» выше, должен быть изменен знак перед и При этом, как видно из предыдущих формул, величины сохраняются неизменными.

В предыдущем параграфе было показано, что при встречном направлении токов в двух катушках, соединенных последовательно, результирующая индуктивность равна

Докажем теперь, что величина всегда положительна. Для этого воспользуемся двумя неравенствами:

Заменив в первом неравенстве меньшей величиной М, получим:

Пример 8-3.

Индуктивная катушка имеет w витков, соединенных последовательно-согласно. Индуктивность каждого витка равна L. Приняв коэффициент связи витков равным единице, определить результирующую индуктивность катушки.

При отсутствии рассеяния взаимная индуктивность каждой пары витков равна L, По аналогии с (8-6) результирующая индуктивность

катушки определится суммой индуктивностей всех витков и взаимной индуктивности, умноженной на число размещений из со витков по два:

Как и следовало ожидать, на основании выражений (8-11) результирующая индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа витков,

Уравнения и схемы замещения трансформатора без магнитопровода

Трансформатор представляет собой аппарат, передающий энергию из одной цепи в другую посредством электромагнитной индукции. Он применяется для различных целей, но чаще всего предназначается для преобразования переменных напряжений и токов х. Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно .связанных обмоток, насаженных на общий магнито-провод.

В настоящем параграфе рассматривается двухобмоточный трансформатор без Рис. 8-11. Трансформатор без маг-магнитопровода. Такой нитопровода, трансформатор может служить составной частью линейной электрической цепи в устройствах электроавтоматики, измерительной техники или связи.

Если пренебречь распределенными емкостями, существующими как между витками каждой из обмоток трансформатора, так и между самими обмотками и обмотками и землей, то трансформатор может быть представлен схемой рис. 8-11, в которой активные сопротивления обмоток условно вынесены и изображены отдельно.

1 Отсюда происходит само название «трансформатор», т. е. преобразователь.

Обмотка трансформатора, присоединяемая к источнику питания, называется первичной, а обмотка, к которой подключается нагрузка, — вторичной. Соответственно напряжения и токи на выводах этих обмоток называются первичными и вторичными. Следует заметить, что такие наименования в некоторых случаях являются условными, если в зависимости от режима энергия может передаваться, как в одну, так и в другую стороны..

При заданной полярности выводов обмоток трансформатора на схеме рис. 8-11 токи направлены встречно (что в данном случае не имеет принципиального значения).

Уравнения трансформатора в дифференциальной форме при встречном направлении токов имеют вид:

Если напряжения и токи синусоидальны, то уравнения трансформатора в комплексной форме запишутся следующим образом:
Эти уравнения равносильны следующим:

Эти уравнения равносильны следующим:

Последние уравнения являются контурными уравнениями, которые соответствуют схеме рис. 8-12.

Следовательно, эта схема может рассматриваться в качестве схемы замещения трансформатора без магнитопро-вода. В отличие от рис. 8-11 в схеме замещения первичная и вторичная цепи трансформатора связаны не индуктивно, а гальванически

Если так как коэффициент связи При неравных знакоффициент связи может оказаться отрицательной. Например, еслито на основании (8-12) В этом случае

схема замещения рис. 8-12 может быть практически осуществлена только при фиксированной частоте, когда отрицательная индуктивность может быть замещена емкостным элементом; в общем же случае схема с линейным элементом, имеющим отрицательную индуктивность, практически нереализуема.

Такая схема замещения дает возможность, например, применить метод узловых напряжений в цепи со взаимной индукцией.

Входящие в схему рис. 8-12 разности — М имеют физический смысл только при одинаковом числе витков первичной и вторичной обмоток в этом случае, как видно из (8-12), они представляют собой индуктивности рассеяния первичной и вторичной обмоток трансформатора.

При неодинаковых числах витков первичной и вторичной обмотокна практике часто пользуются так называемой приведенной схемой замещения трансформатора, показанной на рис. 8-13. Приведение заключается в том, что напряжение и ток заменяются величинами, приведенными к первичной обмотке: напряжение умножается на n, а ток делится на n. Здесь n = — отношение чисел витков, которое называется коэффициентом трансформации.

Придав уравнениям (8-15) следующий вид:

можно преобразовать их таким образом:

Полученные уравнения являются контурными уравнениями для приведенной схемы замещения трансформатора (рис. 8-13).

Схема замещения трансформатора, приведенная к первичной обмотке, содержит: сопротивление и индуктивность рассеяния первичной обмотки трансформатора;

индуктивность в поперечной ветви (эта ветвь называется ветвью намагничивания); сопротивление и индуктивность рассеяния вторичной обмотки, приведенные к первичной обмотке трансформатора, т. е. умноженные на (квадрат отношения чисел витков).

Индуктивные сопротивления представляют собой сопротивления рассеяния первичной и вторичной обмоток трансформатора, а индуктивное сопротивление — сопротивление ветви намагничивания. Магнитодвижущая сила, определяющая общий магнитный поток, который пронизывает первичную и вторичную обмотки,

при встречном направлении токов равна Токи соответствующии ему комплексный ток /2—р-, который в схеме замещения трансформатора, приведенной к первичной обмотке, проходит через ветвь намагничивания, принято называть намагничивающим током трансформатора.

Схеме рис. 8-13 соответствует векторная диаграмма, показанная на рис. 8-14. При построении векторной диаграммы в качестве исходных могут быть приняты приведенные вторичные напряжение и ток.

Падения напряжения от приведенного вторичного токав приведенных активном сопротивлении и индуктивном сопротивлении рассеяния вторичной обмотки геометрически складываются с приведенным вторичным напряжением Полученное напряжение равно падению напряжения от намагничивающего тока в индуктивном сопротивлении ветви намагничивания причем намагничивающий ток отстает от полученного напряжения на 90°. Первичный ток находится как геометрическая сумма намагничивающего тока и приведенного вторичного тока:

Падение напряжения от тока в активном сопротивлении и индуктивном сопротивлении рассеяния первичной обмотки геометрически складывается с напряжением на ветви намагничивания, образуя первичное напряжение.

Ввиду того что вторичные электрические величины — напряжение и ток — в схеме рис. 8-13 приведены к первичной обмотке, т. е. изменены пропорционально отношению числа витков, данная схема приведенного трансформатора не эквивалентна исходной схеме трансформатора. Для того чтобы схема замещения стала эквивалентной заданной схеме трансформатора, можно воспользоваться так называемым идеальным трансформатором, которому будем приписывать следующие свойства: при любых условия отношение первичного напряжения к вторичному на выводах идеального трансформатора равно отношению вторичного тока к первичному и определяется коэффициентом трансформации n. идеальный трансформатор не имеет потерь энергии и при разомкнутой вторичной обмотке через его первичную обмотку ток не проходит. В действительности такого трансформатора не существует, однако по своим свойствам к нему приближается трансформатор с коэффициентом связи, близким к единице, и столь большим числом витков, что сопротивление его ветви намагничивания практически равно бесконечности.

Дополнив схему рис. 8-13 идеальным трансформатором с коэффициентом трансформации n, получим эквивалентную схему трансформатора (рис. 8-15).

Рисунки 8-12—8-15 соответствуют встречному направлению токов, принятому в исходной схеме рис. 8-11.
Схема замещения с измененным положительным направлением вторичного тока соответствовала бы согласному направлению токов в исходной схеме.

Пример 8-4.

Решить пример 8-1 с помощью схемы замещения трансформатора (см. рис. 8-12).

Рассматривая индуктивно связанные элементы схемы рис. 8-16, а в качестве трансформатора с попарно соединенными первичными и вторичными выводами и пользуясь схемой замещения рис. 8-12 (с изменением направления тока , получаем эквивалентную схему рис, 8-16, б без индуктивных связей.

Комплексное сопротивление всей цепи равно:

Применяя сокращенную запись

находим:

Энергия индуктивно связанных обмоток

Рассмотрим вопрос об энергии индуктивно связанных обмоток. Дифференциальные уравнения двух индуктивно связанных обмоток при встречном направлении токов (см, рис, 8-11) имеют вид:

Умножив первое уравнение на а второе на сложив и сгруппировав Слагаемые, получим:

где — энергия магнитного поля:

Как и следовало ожидать, мгновенная мощность,подводимая к трансформатору через первичные выводы, равна сумме мгновенных значений мощностей, расходуемых на нагрев обмоток, скорости изменения энергии накопленной в магнитном поле, и мощности, передаваемой нагрузке.

Первое слагаемое энергии магнитного поля равно энергии поля первой обмотки привторое слагаемое равно энергии поля второй обмотки при ; третье слагаемое представляет собой энергию, связанную с взаимным расположением обеих обмоток.

При согласном направлении токов третье слагаемое в выражении энергии будет иметь знак плюс.

Первое и второе слагаемые положительны, третье же в зависимости от знаков мгновенных токов может иметь положительный или отрицательный знак. Поэтому энергия системы, состоящей из двух индуктивно связанных обмоток, может быть больше или меньше суммы энергий обеих обмоток, взятых отдельно.

Пример 8-5.

Две индуктивно связанные катушки имеют индуктивности ; коэффициент связи k = 0,5.

Определить энергию поля, создаваемую этими катушками при токах

Взаимная индуктивность катушек

Энергия каждой катушки, взятой отдельно, составляет:

Энергия взаимного расположения

Энергия поля всей системы при согласном направлении токов

а при встречном направлении токов

Входное сопротивление трансформатора

Если нагрузка присоединена к источнику электроэнергии не непосредственно, а через трансформатор (рис. 8-17), то согласно (8-15):

Следовательно, откyда сопротивление на входных выводах трансформатора

Третье слагаемое в правой части выражения (8-16) представляет собой комплексное сопротивление, вносимое из вторичной цепи в первичную; схема рис. 8-18 эквивалентна схеме рис. 8-17. В зависимости от характера мнимая часть вносимого сопротивления может быть положительной или отрицательной.

Допустим теперь, что нагрузка присоединена к идеальному трансформатору. Учитывая условия которыми характеризуется идеальный трансформатор, получим входное сопротивление

Следовательно, идеальный трансформатор, включенный между нагрузкой и источником электроэнергии, изменяет сопротивление нагрузки пропорционально квадрату коэффициента трансформации без изменения его угла.

Это свойство практически используется в различных областях электротехники, проводной связи, радио, приборостроения, автоматики для уравнивания сопротивлений источника и нагрузки (с целью повышения отдаваемой источником мощности).

Поэтому в том случае, когда требуется изменить сопротивление какой-либо нагрузки без изменения самой нагрузки, включается промежуточный трансформатор, по свойствам приближающийся к идеальному трансформатору с коэффициентом трансформации, определяемым на основании (8-17):

где — требуемое сопротивление.

Формула (8-17) непосредственно вытекает также из приведенной схемы замещения трансформатора (см. рис. 8-13), поскольку идеальный трансформатор не имеет активных сопротивлений и индуктивностей рассеяния и его взаимная индуктивность равна бесконечности.

Входное сопротивление идеального трансформатора при замкнутых выходных выводах равно нулю, а при разомкнутых — бесконечности.

Пример 8-6.

Определить входное сопротивление цепи, показанной на рис. 8-19, а.

Пользуясь схемой замещения, представленной на рис. 8-19, б, находим:

Пример 8-7.

Определить входное сопротивление цепи, состоящей из двух трансформаторов, включенных каскадно с нагрузкой на выходе (рис. 8-20, а). Активные сопротивления обмоток трансформаторов не учитываются.

В соответствии с (8-16) входное сопротивление второго трансформатора будет:

Рассматривая в качестве нагрузки первого трансформатора, определяем входное сопротивление цепи по той -же формуле (8-16):

После преобразования находим:

К тому же результату можно прийти на основе схемы замещения, показанной на рис. 8-20, б.

Автотрансформатор

Автотрансформатор отличается от трансформатора тем, что его обмотка низшего напряжения является частью обмотки высшего напряжения (рис. 8-21, а). Так же как и трансформатор, он может быть понижающим или повышающим.

Уравнения автотрансформатора в комплексной форме для указанных на рис. 8-21, а положительных направлений токов и напряжений записываются так:

Эти уравнения соответствуют схеме замещения, показанной на рис. 8-21, б. Правая ветвь схемы состоит из практически неосуществимого линейного элемента — отрицательной индуктивности (—М). Поэтому полученная схема замещения рис. 8-21, б может быть использована только для расчета. Практически осуществить ее можно только для фиксированной частоты, когда элемент — М

замещается емкостью. Однако если индуктивность нагрузки, подключенной к выходным выводам, компенсирует отрицательную индуктивность, то схема замещения автотрансформатора в сочетании с нагрузкой практически осуществима.

Итак, схема замещения автотрансформатора представляет собой трехлучевую звезду. Сопротивления лучей этой звезды могут быть найдены и другим способом, если поочередно приравнять суммы сопротивлений двух лучей сопротивлениям между соответствующими выводами автотрансформатора (при разомкнутом трётьем выводе).

Обозначим: индуктивность каждого витка L, общее число витков , число витков обмотки низшего напряжения приняв коэффициент связи равным единице, т. е. пренебрегая рассеянием, получим в этом случае схему замещения автотрансформатора, показанную на рис. 8-21, в.

В режиме холостого хода автотрансформатора (т. е. при разомкнутых выходных выводах), если не учитывать рассеяния, отношение первичного напряжения к вторичному равно отношению суммарного числа витков обмотки к числу витков обмотки низшего напряжения:

n — коэффициент трансформации автотрансформатора.

При нагрузке подводимая к автотрансформатору мощность передается на вторичную сторону как посредством электромагнитной индукции (через магнитное поле), так и непосредственно через электрическую связь.

Применение автотрансформатора вместо обычного трансформатора той же мощности и с таким же коэффициентом трансформации дает экономию в меди, затрачиваемой на обмотку. Экономия достигается за счет сокращения общего числа витков и уменьшения толщины провода обмотки, через которую проходит ток, равный разности первичного и вторичного токов.

Экономия в меди тем больше, чем ближе к единице коэффициент трансформации, так как при этом уменьшается разность токов

Индуктивно связанные колебательные контуры

В радиотехнике широко распространены двухконтурные колебательные системы, в которых связь между контурами осуществляется при помощи взаимной индукции.

На рис. 8-22, а показаны колебательные контуры с индуктивной (трансформаторной) связью. Обозначим собственные сопротивления контуров через и На основании сопротивление, вносимое из вторичной цепи в первичную, равно:

На рис. 8-22, б изображена схема замещения для первичного контура. Первичный ток равен:

а вторичный ток

Следует заметить, что напряжение на сопротивлении, вносимом из вторичного контура в первичный, равно —

Подставив (8-18) в (8-19) и умножив числитель и знаменатель на получим:

Выражение (8-20) могло быть выведено и по теореме об эквивалентном источнике.

Числитель полученной дроби равен э. д. с., наводимой во вторичном контуре, когда он разомкнут, а знаменатель представляет собой эквивалентное сопротивление вторичного контура, в котором влияние первичного контура учтено сопротивлением вносимым из первичного контура во вторичный.

Схема замещения для вторичного контура показана на рис. 8-22, в; здесь

Активные составляющие вносимых сопротивлений всегда положительны, а знаки реактивных составляющих и противоположны знакам реактивных сопротивлений соответственно.

Как так и зависят от частоты. По мере приближения частоты источника к резонансной частоте вторичного контура возрастает, стремясь к максимальному значению а стремится к нулю, В свою очередь если частота приближается к резонансной частоте первичного контура, то растет, стремясь к стремится к нулю.

Настройка связанных контуров

На практике часто добиваются получения максимального тока (или максимальной мощности Р2) во вторичном контуре. Это достигается соответствующей настройкой связанных контуров. Существуют различные способы настройки, а именно:

1. изменением параметров первичного контура, например емкости , резонанс, который при этом возникает, называется первым частным резона н-с о м;
2. изменением параметров вторичного контура, например емкости ; в этом случае возникает второй частный резонанс;
3. изменением параметров одного из контуров и сопротивления связи; резонанс в этом случае называется сложным;
4. изменением параметров обоих контуров и сопротивления связи; в этом случае резонанс называется полным.

Первый частный резонанс:

Согласно (8-19) вторичный ток прямо пропорционален первичному. Поэтому максимуму тока соответствует и максимум

Первый частный резонанс наступает при

В этом случае:
Второй частный резонанс наступает при

При этом

Сложный резонанс:

При настройке первичного контура оптимальное сопротивление связи найдем, приравняв нулю первую производную

Отсюда

Следовательно, оптимальное сопротивление связи

‘ В этом случае получается максимум максиморум вторичного тока:

Условия (8-21) и (8-23), которые при этом выполняются, означают, что собственное сопротивление первичного контура равно сопротивлению, комплексно сопряженному с сопротивлением, вносимым из вторичного контура в первичный, т. е.
Из [формулы (3-17)] известно, что это и есть условие передачи максимума активной мощности от источника к приемнику.

Аналогично при настройке вторичного контура оптимальное сопротивление связи равно:

причем условия (8-22) и (8-24) в совокупности означают,
что
т. е. и в этом случае выполняется условие передачи максимума активной мощности от источника к приемнику. При этом

Следовательно, при сложном резонансе максимум максиморум вторичного тока не зависит от того, какой из контуров настраивается на резонанс.

Полный резонанс:

При настройке на полный резонанс сначала настраивают первичный контур при разомкнутом вторичном, т. е. добиваются условия = 0. Затем настраивают вторичный контур, добиваясь условия = 0. Наконец, подбирают оптимальное сопротивление связи. При

Оптимальное сопротивление связи находится из условия

При этом вторичный ток равен:

Хотя максимум максиморум вторичного тока при настройке на полный резонанс и получается таким же, как при настройке на сложный резонанс, настройка на полный резонанс имеет то преимущество, что сопротивление связи меньше, чем при сложном резонансе, оно как и активные сопротивления исчисляется единицами ом.

Эффективность передачи энергии из первичного контура во вторичный оценивается коэффициентом полезного действия двухконтурной системы, равным отношению мощности, поглощаемой сопротивлением , к сумме мощностей, поглощаемых сопротивлениями

Очевидно, Поэтому

Когда вторичный контур настроен на частоту источника,

При настройке на полный резонанс и = 0,5.

Если колебательные контуры идентичны и частота близка к резонансной, то оптимальный коэффициент связи при настройке на полный резонанс с учетом (8-25) примерно равен затуханию контура:

Например, для радиотехнических контуров с добротностью Q = 100 оптимальный коэффициент связи составит

Резонансные кривые и полоса пропускания связанных контуров

Ограничимся рассмотрением случая, когда связанные колебательные контуры имеют одинаковые резонансную частоту и добротность Q.

Для построения резонансных кривых вторичного тока воспользуемся выражением (8-20), приняв При рассмотрении последовательного колебательного контура встречалось выражение
Величинаназывается обобщенной расстройкой контура.

При частотах, близких к резонансной, Поэтому

откуда

Отнеся вторичный ток к току получим:

Если контуры настроены на частоту источника, то = 0 и

Выясним, каким значениям соответствуют максимумы резонансной кривой Приравняв нулю производную по от подкоренного выражения (8-26), получим три корня:

При Qk 1 резонансная кривая получается двугорбой, причем впадина двугорбой кривой соответствует значению = 0, а . 1 соответствует

Сказанное иллюстрируется рис. 8-23.

Легко показать, что при , когда максимумы вторичного тока соответствуют частотам

Коэффициент связи k = 1/Q = d, при котором получается предельная одногорбая резонансная кривая, называется критическим. Он совпадает с оптимальным коэффициентом связи двух идентичных контуров, настроенных на полный резонанс.

Полосой пропускания связанных колебательных контуров, как и в случае одиночного колебательного контура, условно считается область частот, на границах которой резонансная кривая снижается не более чем в раз по сравнению с максимумом.

Так как

то приняв вблизи резонансной частоты
можно считать, что определяет полосу пропускания связанных контуров при (здесь — относительная расстройка частоты). Решением уравнения

служит

Это выражение справедливо до тех пор, пока впадина резонансной кривой находится выше или совпадает c В предельном случае откуда Qk = 2,41.

Подставив это значение Qk в (8-28), найдем:

т. е. при Qk = 2,41 полоса пропускания в 3,1 раза больше, чем у одиночного колебательного контура.

Если Qk = 1, то , т. е. полоса пропускания в 1,41 раз больше, чем у одиночного контура.

При Qk = 0,68 полоса пропускания связанных контуров равна полосе пропускания одиночного контура, а при она меньше полосы пропускания одиночного контура.

Величина Qk в радиотехнической литературе носит название параметра связи.
(8-28)

• Фильтры и топологические методы анализа линейных электрических цепей
• Электрическое поле и его расчёт
• Расчет неразветвленной однородной магнитной цепи
• Энергия магнитного поля
• Теорема об эквивалентном источнике
• Применение матриц к расчету электрических цепей
• Дуальные цепи
• Электромеханические аналогии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как связаны уравнения и схемы

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

;

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

.

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

и .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

и .

Для известных значений и из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.