Как убрать ровно в уравнение

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^<-x>=125 \Rightarrow 5^<-x>=5*5*5 \Rightarrow 5^<-x>=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^<4x>=81 \Rightarrow (3*3)^<4x>=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^<4x>=3^4 \Rightarrow 3^<8x>=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac<1><2>.$$

Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^<2x>=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\). Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение \(t\):

Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac<7><3>)^x\):

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):

И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Корни Ровн, Равн – что это такое, как они пишутся и как научиться сходу их различать – разбираем тему

Ровный – то есть «гладкий, прямой». Дорога ровная. А равный – значит одинаковый, «в правах равный».

В корнях «ровн», «равн» чередующаяся гласная о/а. То есть там может быть как «о», так и «а». Общее правило такое. «А» пишется тогда, когда имеется в виду «равенство», то есть одно «равно» другому. Равенство в правах, например, уравнение одного с другим и пр.

А буква «о» пишется в том случае, если перед нами что-то «ровное». Например, ровная дорога.

И все было бы хорошо, если бы не было исключений и слов с не совсем ясным значением. Давайте разбираться.

Читайте статью до конца, потому что ближе к заключению я буду рассказывать, как объяснять корни ровн/равн в школе, а также порекомендую полезные ресурсы для изучения русского.

Корни «ровн», «равн» нельзя проверять ударением

Запомните прямо вот сейчас, что если перед вами ровн/равн, то там чередующаяся гласная. То есть она зависит от каких-то определенных условий чередования. В нашем случае – от смысла слова.

И нельзя никогда эту гласную проверять ударением. Например, хотите вы сказать что-то вроде «мы не р…вны в правах». Гласная в корне безударная. Вы ее проверяете ударенем – через слово «ровный». И пишете «о». Это грубейшая ошибка, дамы и господа.

Каждый раз, когда вам попадаются «ровн» или «равн», надо думать о смысле выражения. О том, чего больше – равенства или «ровности».

Когда надо писать «равн»

Итак, корень «равн» мы пишем тогда, когда говорим о «равенстве». Вот примеры предложений с этим словом:

1. Все люди равны.
2. Уравняйте правую и левую часть.
3. Сравните два этих мешка = Узнайте, равны эти мешки или нет.
4. Этот треугольник равносторонний = Все стороны у этого треугольника равны.
5. Наступил момент равноденствия = День и ночь равны друг другу.

Уловили суть? Мы не говорим о том, что у треугольника «ровные» стороны. То есть что они без «изгибов». Мы говорим о том, что они «равны», то есть одинаковы. Например, каждая сторона по десять сантиметров.

И о том, что мешок «ровный» мы тоже не говорим. Нам надо сказать, что один мешок «равен» другому, то есть они, например, весят одинаково.

Написать корень «равн», значит поставить между двумя словами/понятиями знак равно.

Когда надо писать «ровн»

А вот этот корень мы пишем уже тогда, когда хотим сказать про какой-то «ровный» предмет. Например, вот у меня перед домом школа, у этой школы забор «ровный» – ровненькая такая линия, без изгибов.

А когда я пишу текст, я все время сижу неровно. Одно плечо ниже, другое выше. И когда кто-то заходит в комнату, я слышу: «Сядь ровно!».

Другие примеры с этим словом:

1. Надо сровнять эту кучу песка с землей. Сровнять – то есть чтобы было «ровно», чтобы кучи больше не было. Речь не о том, чтобы, например, уравнять в правах песок и землю.
2. Выровните строй, а то он неровный.
3. Подровняйте вот эти кустики, а то они некрасиво смотрятся.
4. Я посмотрел эскиз, какие-то у вас линии все неровные.
5. Разметка у вас неровная, как видите.

«Ровн» пишем тогда, когда говорим о чем-то прямом, ровном, без изгибов. Короче, когда смотришь, и глаз радуется.

Исключения

Есть несколько слов, которые вот этому общему правилу не совсем подчиняются. Давайте их разберем.

Равнение в армии и в жизни

В армии говорят: «Равняйсь! Смирно!» А еще говорят: «Равнение на середину!»

И пишется во всех этих словах «равн». Хотя суть равнения в том, чтобы строй стал ровным.

И сразу другой момент. Есть такое выражение «Равняться на кого-либо». Например: «Вам надо бы равняться на вашего друга». Это значит, брать пример с друга, стремиться быть таким же, как он.

Тут нет значения «ровный», но в то же время не совсем о «равенстве» речь.

Запомните все эти слова вместе. Потому что когда в армии звучит команда «Равняйсь!», солдаты «равняются» друг ну друга.

Поравняться

Вот ехали две машины. Одна отставала от другой. Потом та, что отставала, поддала газку и «поравнялась» с другой машиной. И стали они как бы «равными» на дороге – ни та не уступает, ни другая.

Пусть у вас в голове отложится эта коротенькая история и образ двух машин. И слово «поравняться» с буквой «а».

Уровень

Это многозначное слово, поэтому его правописание часто вызывает вопросы. Писать слово «уровень» надо с буквой «о», а запомнить можно следующим образом.

Вы наверняка видели у строителей такую штуку.

Ее кладут на какую-то поверхность, чтобы понять, ровная она или нет. Так вот эта штука как раз и называется «уровень».

Каждый раз, когда вам будет встречаться это слово, вспоминайте, что «уровень» нужен строителям для того, чтобы сделать забор/стену/навес и пр. «рОвными». УрОвень – рОвный.

Это правило относится абсолютно ко всем уровням в мире. Не важно, идет речь про уровень в игре, про социальный уровень, про уровни абстракции – без разницы. Везде «о».

Поровну

Вообще по логике, надо бы тут писать «а». Потому что мы равны и имеем право на равные доли чего-либо.

Однако пишется «о». Запоминайте эту букву так. «Положи мне рОвно столько, сколько себе положил! Понял?»

Представьте ситуацию какую-нибудь, где два человека, например, кашу кладут в тарелки. И пусть один из них скажет другому вот эти слова. И «поровну» у вас в голове «совпадет» со словом «ровно столько».

Равнина

Вот это абсолютный нонсенс. Равнина называется так потому, что она «ровная». Однако мы в ней пишем букву «а».

Чтобы запомнить, вам тоже нужна какая-то ассоциация. Ну, например, вот шли вы по холмам и горам, шли, шли, шли, вдруг поднялись на холм – и перед вами равнина.

Вы смотрите вокруг – и ни холмика. И вы невольно восклицаете: «Аааааах!» Запомните вот эти буквы «а», которые вы произносите, когда восторгаетесь равниной. И пишите это слово с «а».

Что делать с корнями «ровн», «равн» в школе

Смотрите, надо не просто их списывать и ставить правильные буквы, надо еще объяснять свою точку зрения. Давайте разберем, как это делать в тетради и при ответе у доски.

В тетради

Предположим, что у вас слово «выр…внять». Вы его записываете в свою тетрадочку с буквой «о». Ставите ударение, под «о» проводите черточку. Это показывает, что «о» – безударная гласная, в написании которой вы сомневаетесь.

Дальше необходимо выделить морфему, в которой она находится. То есть корень «ровн». А потом написать рядом в скобках любой синоним, который прояснит значение. Например «сделать ровным».

Обратите внимание, в этом синониме мы уже ничего не подчеркиваем и не выделяем. Потому что мы не ударением проверили «о», а «смыслом». Вполне достаточно того, что мы указали синоним и «прояснили» значение.

А если попадается «равнина» или «уровень»? Или любое другое слово-исключение? Тогда пишем в скобочках «запомнить». Потому что исключения надо только запоминать, проверить их невозможно.

У доски

Теперь представим, что вы стоите у доски. И вам досталось слово «подр…внять». Вы записываете его с «о» и говорите следующее:

1. Что? Безударная гласная «о».
2. Где? В корне «ровн».
3. Почему? Потому что значение «ровный».

А если вдруг вам достанется слово «Равняйсь!» (хоть и вряд ли), то вы скажете – «Исключение, надо запомнить».

Более подробно о такой схеме объяснения орфограмм я рассказываю в своем видео. Оно короткое, посмотрите обязательно. Если будете так работать со всеми орфограммами – вам репетиторы вообще будут не нужны.

Полезные материалы по теме

Наверняка у вас возникают и другие вопросы о правописании слов, на которые вы хотите найти ответ. Чтобы не искать ответы долго, рекомендую вам следующие полезные материалы.

Во-первых, несколько моих статей:

1. Как научиться писать грамотно. В этой статье я даю рекомендации, которые помогут вам выработать «автоматическое» грамотное письмо.
2. Что такое орфография и как ее учить. Статья поможет вам быстрее и легче усваивать орфографические правила, не делать ошибок при написании слов. В том числе с корнями ровн/равн и другими корнями с чередованиями.
3. Что такое пунктуация в русском языке. Это статья об основных правилах постановки знаков препинания.
4. Подборка курсов по русскому языку. Обязательно посмотрите, там каких только материалов нет. Есть достаточно дешевые и даже бесплатные.

Во-вторых – есть в интернете сайт Викиум, а на этом сайте есть онлайн-тренажеры для прокачки разных навыков. В основном, там мышление, память и все такое прочее. Но недавно появился еще русский язык. Все тренажеры по русскому собраны в одном блоке, он называется «Способность к работе с текстом». Очень вам его рекомендую. Тренажеры бесплатные, заниматься на них интересно, они помогают хорошо систематизировать знания. Пользоваться ими можно даже без регистрации на Викиуме.

Третье – у меня есть архив с электронными книгами по русскому языку, я могу вам его переслать. Чтобы получить архив, добавьте свой адрес вот сюда, материалы отправятся автоматически. В спам они вроде не уходят, но на всякий случай проверьте эту папку.

Четвертое. На том же Викиуме есть платный, но недорогой курс «Идеальный русский». В нем собраны основные правила русского языка, а для их закрепления созданы три специальных тренажера. Суммарно за теорию с практикой вам надо будет заплатить 890 рублей. Учитывая стоимость репетиторства, я думаю, это не дорого. Попробуйте.

Заключение

Мы разобрали правописание корней «ровн» и «равн». Дорогие друзья, все ли вам понятно в этом материале? Можете ли вы сейчас сходу перечислить все слова-исключения?

Дайте, пожалуйста, обратную связь по статье. Был ли этот материал вам полезен, пользовались ли вы дополнительными ресурсами, которые я рекомендовал?