Как умножать обе части уравнения на выражение

Как умножать обе части уравнения на выражение

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х —2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х—2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х—2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х—2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /_С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /_С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /_С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Умножение на функцию при решении уравнений и неравенств с примерами решения

Умножение на функцию

Этот приём используют иногда в преобразованиях, например, с целью свести к известной формуле сокращённого умножения или избавиться от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение). Важно при этом анализировать, сохранится ли в результате такого домножения множество решений задачи, не допустить потери корней и отследить возникновение посторонних решений.

При решении неравенств обычно приходится следить за равносильностью преобразований неравенства на его ОДЗ, и поэтому можно умножать обе

части неравенства на функцию, принимающую на ОДЗ неравенства только значения одного знака, либо разбивать ОДЗ на промежутки, на которых функция знакопостоянна, и делать равносильные преобразования на этих промежутках.

Пример №370.

Решить уравнение

Решение:

Умножим обе части уравнения на :

Заметим, что при умножении уравнения на был приобретён посторонний корень (это показывает проверка, которую сделать необходимо). Ответ: уравнение не имеет решений.

Пример №371.

Решить уравнение

Решение:

ОДЗ: . Умножим обе части данного уравнения на выражение Получаем уравнение-следствие:

Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени. Решим его. Для этого разделим обе части уравнения на :

и сделаем замену

Тогда имеем совокупность уравнений

Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению, это посторонний корень. Ответ:

Рассмотрим некоторые из нестандартных методов, применяемых для решения математических задач. Именно знание этих методов и умение воспользоваться ими в подходящей ситуации отличает хорошо подготовленного абитуриента от абитуриента со стандартным базовым набором знаний классических и хорошо известных приёмов. Многие из методов, рассмотренных ниже, основаны на таких свойствах функций, как ограниченность, монотонность, обратимость

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института