Раскрытие скобок: правила и примеры
Раскрытие скобок и правила применения – это одна из основных тем математике, на базе которой решаются многие задания во всех последующих классах. Поэтому правила раскрытия скобок необходимо усвоить в обязательном порядке.
Итак, основная функция скобок – задать порядок вычислений, так как в зависимости от того, в какой последовательности будут решаться примеры и выражения, зависит ответ. Раскрыть скобки означает избавиться от них, не влияя на результат . При этом существуют правила, которые применяются при раскрытии скобок.
Раскрытие скобок: правила
Правило раскрытия скобок при сложении
Если перед скобками стоит плюс, то скобки просто опускаются.
Иными словами, скобки исчезнут, а то, что было в скобках, запишется без изменений.
Например, (a−b) = a−b.
В данном правиле следует учитывать, что в математике не принято писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа 2 и 3, то запишем 2+3, а не +2+3. Значит перед скобками, которые стоят в начале выражения, стоит плюс, который не пишут.
Пример 1: 8+(5−3) = 10. Ответ: 8+5–3 = 10.
Пример 2: 6+(−1+2) = 7. Ответ: 6–1+2 = 7.
Пример 3: 8a + (3b −6a). Ответ: 8a + 3b −6a = 2a + 3b.
Правило раскрытия скобок при вычитании
Если перед скобками стоит минус, то скобки опускаются, а каждое слагаемое внутри нее меняет свой знак на противоположный.
Например, −(a−b) = −a+b
Пример 1: 8–(5–3) = 6. Ответ: 8 – 5 + 3 = 6.
Пример 2: 6 − (−1 + 2) = 5. Ответ: 6 + 1 – 2 = 5.
Пример 3: 8a–(3b −6a). Ответ: 8a – 3b + 6a = 14a – 3b.
Пример 4: −(5b −2). Ответ: −5b +2.
Раскрытие скобок при умножении
Если перед скобками стоит знак умножения, то каждое число внутри скобок умножается на множитель, стоящий перед скобками.
При этом умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс дает минус.
Данное правило основано на распределительном законе умножения: a(b+c) = ab + ac.
Пример 1: 8×(5 − 3) = 16. Ответ: 8 ×5 − 8 ×3 = 16.
Пример 2: a×(7 +2). Ответ: a×7+a×2 = 7a + 2a = 9a.
Пример 3: 8×(3b −6a). Ответ: 8×3b – 8×6a = 24b–48a
Раскрытие скобок при делении
Если после скобок стоит знак деления, то каждое число, стоящее внутри скобок, делится на делитель, стоящий после скобок.
Пример 1: (25−15):5. Ответ: 25:5−15:5= 2.
Пример 2: (−14a +10):2. Ответ: −14a:2 +10:2 = −7a +5.
Пример 3: (36b + 6a):6. Ответ: 36b:6 + 6a:6 = 6b + a.
Раскрытие скобок при умножении двух скобок
При умножении скобки на скобку, каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Например, (c+d) × (a−b) = c×(a−b)+d×(a−b) = ca−cb+da−db
Пример. Раскрыть скобки: (2−a) × (3a−1).
Решение:
Шаг 1. Убираем первую скобку (каждое ее слагаемое умножаем на вторую скобку): 2 × (3a−1) − a × (3a−1).
Шаг 2. Раскрываем произведение скобок: (2×3a− 2×1) – (a×3a−a×1) = 2×3a− 2×1 – a×3a + a×1.
Шаг 3. Перемножаем и приводим подобные слагаемые: 6a–2–3a2+a = 7a–2–3a2
Раскрытие вложенных скобок
Иногда встречаются примеры со скобками, которые вложены в другие скобки. Чтобы решить такую задачу, нужно сначала раскрыть внутреннюю скобку (при этом остальное выражение оставить без изменений), а потом внешнюю скобку.
Пример 1. 7a + 2 × (5− (3a+b)).
Решение:
Шаг 1. Раскроем внутреннюю скобку (не трогая остальное): 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2 × (5 − 3a − b).
Шаг 2. Раскроем внешнюю скобку: 7a + 2 × (5 − (3a+b)) = 7a + 2×5 − 2×3a − 2×b.
Шаг 3. Упростим выражение: 7a + 10 − 6a − 2b = a+10-2b.
Раскрытие скобок в натуральной степени
Если стоит скобка в натуральной степени (n), то чтобы раскрыть скобки, нужно найти произведение скобок, перемноженных несколько раз (n раз).
Например, в примере (a+b)2 = (a+b)×(a+b) нужно перемножить скобки (a+b) два раза, далее раскрываем скобки, где каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй скобки.
Перемножение скобок
Вы будете перенаправлены на Автор24
При математических вычислениях операции над числами и переменными часто для удобства или наглядности группируют с помощью круглых скобок. Случаются и противоположные ситуации, когда выражение в скобках необходимо преобразовать к тождественному выражению, не содержащему скобок.
Одним из наиболее сложных случаев раскрытия скобок является перемножение двух или более заключенных в скобки выражений.
Для краткости вместо «перемножение выражений, заключенных в скобки» допустимо говорить «перемножение скобок».
Чтобы получать корректные результаты при перемножении скобок, необходимо придерживаться определенных математических алгоритмов.
Во-первых, следует помнить, когда при раскрытии скобок знак меняется:
- когда перед скобками стоит знак плюс, его можно опустить вместе со скобками;
- когда перед скобками стоит знак минус, его можно опустить вместе со скобками, однако все заключавшиеся в них слагаемые поменяют знак на противоположный.
Во-вторых, следует иметь в виду распределительный закон умножения: при умножении числа на сумму чисел следует это число умножить по отдельности на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить. Например:
$5 \cdot (3 + 4) \implies 5 \cdot 3+5 \cdot 4 \implies 35$.
Распределительный закон умножения является частным случаем математической дистрибутивности.
Умножение числа или переменной на выражение в скобках или выражения в скобках на число или переменную принято называть раскрытием скобок.
В общем случае раскрытие скобок выглядит как
$(a_1 ± a_2 ± … ± a_n) \cdot b = a_1 \cdot b ± a_2 \cdot b ± … ±a_n \cdot b$
Понятно, что выражение в скобках и множитель $b$ можно поменять местами, результат раскрытия будет такой же. Множитель при скобках (в данном случае $b$) называют общим множителем.
Готовые работы на аналогичную тему
Когда перед скобками отсутствуют числа или переменные, общим множителем являются $1$ или $−1$, в зависимости от знака перед скобками:
- в случае, если перед скобками находится плюс, общим множителем считается $1$;
- если перед скобками находится минус, то общий множитель равен $−1$.
Еще одним приемом, помогающим раскрывать скобки, является приведение подобных слагаемых, то есть таких, в которых участвуют однотипные переменные, например:
$-4 \cdot (2b + 1) — 2b + 3$
После раскрытия скобок окажется, что переменная $b$ дважды встречается в получившемся выражении, равно как и свободные члены:
$-4 \cdot (2b + 1) — 2b + 3 = -8b + (-4) + (-2b) + 3 = (-8 + (-2)) \cdot b + (-4 + 3)$
Таким образом, мы получили две группы подобных слагаемых, которые можно безопасно складывать и вычитать в рамках своих скобок. Применяя правило смены знака, получим
Переменные, возведенные в степень, рассматриваются как подобные слагаемые. Рассмотрим выражение
$3 \cdot x^2 \cdot \left( 1 — x + \frac<1>
После раскрытия скобок получаем:
$3 \cdot x^2 \cdot 1 — 3 \cdot x^2 \cdot x + 3 \cdot x^2 \cdot \frac<1>
При умножении скобки на скобку одно из выражений рассматривается как общий множитель. Рассмотрим произведение
$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2)$.
Обозначим выражение $(b_1 + b_2)$ переменной $b$, превратив его в общий множитель, после чего задачу можно свести к уже знакомому виду:
$(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) = (a_1 + a_2) \cdot b = (a_1 \cdot b + a_2 \cdot b) = a_1 \cdot b + a_2 \cdot b$.
Заменив везде $b$ на $(b_1 + b_2)$, повторно воспользуемся правилом умножения выражения на скобку:
$a_1 \cdot b + a_2 \cdot b=a_1 \cdot (b_1 + b_2) + a_2 \cdot (b_1 + b_2) = \\ (a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2) + (a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2) = \\ a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$.
В результате данного преобразования выражение из произведения двух скобок стало суммой произведений каждого слагаемого из первого выражения-скобки на каждое слагаемое второго.
Чтобы умножить одну сумму, представленную, как выражение в скобках, на другую, нужно каждое слагаемое первой умножить на каждое слагаемое второй, а затем сложить получившиеся произведения.
В виде формулы это можно записать так:
$(a_1 + a_2 + . + a_n) \cdot (b_1 + b_2 + . + b_n) = \\ + a_1 \cdot b_1 + a_1 \cdot b_2 + . + a_1 \cdot b_n + \\ + a_2 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + . + a_2 \cdot b_n + \\ + . + \\ + a_n \cdot b_1 + a_n \cdot b_2 + . + a_n \cdot b_n \\ $
Для иллюстрации этого правила раскрытия скобок при умножении, раскроем их в выражении
$(1 + x) \cdot (x^2 + x + 6)$.
Запишем сумму произведений первого слагаемого $1$ из первой части на каждое слагаемое $x^2$, $x$ и $6$ из второй, затем аналогично поступим со вторым слагаемым:
$(1 + x) \cdot (x^2 + x + 6) = \\ (1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 6) = \\ 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 6 + x \cdot x^2 + x \cdot x + x \cdot 6 $.
Если в скобках присутствуют отрицательные члены (со знаками минус), то прежде, чем применять этот способ следует преобразовать выражения в скобках в суммы. Например, избавимся от скобок в выражении
$(1 − x) \cdot (3 \cdot x \cdot y − 2 \cdot x \cdot y^3)$.
Представим его в виде сумм:
$(1 + (−x)) \cdot (3xy + (−2xy^3))$.
Теперь можно применять вышеприведенное правило перемножения слагаемых:
$(1 + (−x)) \cdot (3xy + (−2xy^3)) = (1 \cdot 3xy + 1 \cdot (−2xy^3) + (−x) \cdot 3xy + (−x) \cdot (−2xy^3)) $.
Раскроем оставшиеся скобки, помня правила перемножения положительных и отрицательных чисел:
$1 \cdot 3xy − 1 \cdot 2xy^3 − x \cdot 3 \cdot xy + x \cdot 2xy^3$.
В выражениях, в которых перемножаются три и больше выражений в скобках, проводится по тому же принципу последовательно: сначала обрабатываются два первых множителя, результат заключается в дополнительные скобки, внутри которых раскрытие производится по стандартному алгоритму. Например, раскроем скобки в выражении
$(2 + 4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
Оно представляет собой произведение трех множителей $(2 + 4)$, $3$ и $(5 + 7 \cdot 8)$. Первые два множителя для наглядности заключим в дополнительные скобки:
$(2+4) \cdot 3 \cdot (5 + 7 \cdot 8) = ((2+4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
Произведем умножение скобки на число:
$((2 + 4) \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = (2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8)$.
Перемножим выражения в скобках:
$(2 \cdot 3 + 4 \cdot 3) \cdot (5 + 7 \cdot 8) = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8 + 4 \cdot 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8$.
Вместо чисел внутри скобок могут присутствовать переменные, а также другие выражения.
Перемножить выражения в скобках $(x + 2) \cdot (2x — 1)$.
Преобразуем выражения в суммы:
$(x + 2) \cdot (2x — 1) = (x + 2) \cdot (2x + (-1))$
Последовательно перемножим слагаемые:
$x \cdot 2x + 2 \cdot 2x + x \cdot (-1) + 2 \cdot (-1)$
Упростим выражения в рамках каждого слагаемого, получим:
Ответ:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2021
6/2(1+2) =? (простой вопрос по школьной программе)
Это не юмор, а просто попытка увидеть рассуждения разных людей по такому элементарному вопросу.
Поэтому пожалуйста пишите небольшие коменты под вашим ответом.
- Вопрос задан более трёх лет назад
- 585013 просмотров
Оценить 6 комментариев
Приоритет операций:
скобки
умножение/деление (слева направо)
сложение/вычитание (слева направо)
Соответственно
6/2(1+2)
1. 6/2*3
2. 3*3
3. 9
6/2(1+2)=6/2*(1+2)=6/2*3=3*3=9
Рассказываю почему.
Вот картинка с двумя вариантами как кто видит формулу итоговую: 
Кто считает, что первый вариант верен — получите в итоге 9.
Кто считает, что верен второй вариант — получат в итоге 1.
Но по правилам, раз 6/2 не заключено в скобки, значит всё что после дроби — находится в знаменателе, значит верен второй вариант.
Прежде всего хочу напомнить, что в советской школе нас учили, что есть разница между умножением со знаком и без знака. А разница состоит в том, что при умножении без знака произведение рассматривается как цельная величина. На бытовом уровне, если 2а это литр жидкости, то 2×а это два пол-литра жидкости.
Рассмотрим пример:
2а:2а=1
при а=1+2
2(1+2):2(1+2)=6:2(1+2)=6:6=1
Для тех, кто не помнит этого правила, предлагаю решить пример на понимание:
Этот пример из «Сборника задач по алгебре», Часть I, для 6-7 классов. (П.А. Ларичев)
В интернете можно скачать его бесплатно и убедиться в моей правоте.
Исходя из вышесказанного 6:2(1+2)=1
И вот что я ещё нашёл недавно:
В пособии для математических факультетов педагогических институтов по курсу методики преподавания математики, по которому учили наших преподавателей алгебры в педагогических ВУЗах Советского Союза, однозначно сказано, что в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления. А тот факт, что в спорном примере знак умножения опущен, говорит о том, что спорный пример алгебраический.
По нижеприведённой ссылке Вы можете скачать:
Методика преподавания алгебры, Курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 г.
https://russianclassicalschool.ru/biblioteka/matem.
Приложенный мной текст на 43-й странице пособия.
Так что, для тех, кто хорошо учился в советской школе 6:2(1+2) = 1
EugeneOZ, что-то не могу понять как вы дробь горизонтально запишете в текстовом редакторе. Можете пример привезти?
Если принимать слеш как дробь, а двоеточие как деление, то вот пара примеров.
Вариант 1.
6/2(1+2)
Если же Принимать слеш как деление — то как обозначать дробь? Только добавлять скобки, увеличивая формулу в габаритах.
То есть 6/(2(1+2))
А когда имеешь дело с кучей скобок (это в этом примере всего одни вложенные — а когда их с десяток?) — легче ошибиться. Кто учился на инженера в ВУЗе меня поймёт.
А вот что в Маткаде получается
Поставлю точку что ли. Проблема вытекает из математической неточности при записи деления «в столбик» при использовании горизонтальной черты. Ведь если в примере переписать 6 в числителе, а всё остальное в знаменателе — сомнений ни у кого не возникнет. Ответ будет однозначно 1 и это будет правильный ответ.
Теперь, допустим, перед нами задача запихнуть наш пример в строку. Очевидно что для компутера не существует никаких вертикальных черт. Также допустим что мы не очень внимательны и просто тупо заменяем черту делением, т.е. «/» или «*» в зависимости от парсера. Считаем в любом калькуляторе и с некоторой вероятностью (в зависимости от ответа на вопрос топика разрабочиком калькулятора) получаем 9. И это тоже правильный ответ.
Получаем 2 разных правильных результата для, как мы уверены, идентичного выражения. И проблема собственно в том, выражения в этих случаях нифига не идентичны. Напоминаю про порядок операций: скобки, умножение(то же самое что и деление), сумма. И вот когда мы пишем дробь с вертикальной чертой, на числитель и знаменатель неявно накладываются скобки, а между ними ставится знак деления. И вот про знак деления почему-то все помнят, когда избавляются от черты, а про скобки забывают. Либо намеренно вкладывают в «слеш» смысл вертикальной черты. Но единого стандарта по слешу нет, кто-то интерпретирует его как знак деления, а кто-то как знак деления со скобками для числителя со знаменателем. Проблему ещё создает то, что иногда они взаимозаменяемы, но это не общий случай, о чем многие забывают.
Иными словами:
1) a/b != a:b
2) a/b == (a):(b)
Из чего кстати следует что 2*2+2 != (2)*(2+2).
Калькуляторы выдают разные результаты лишь по одной причине:
один калькулятор разбирает выражение «справа-налево», другой — «слева-направо».
Большинство общедоступных бытовых и инженерных калькуляторов (именно физических устройств, не ПК и не смартфон, а именно калькуляторов с кнопочками) разбирают выражения «справа-налево».
Всё остальное, что программируется современными прикладными программистами (калькулятор в Windows, смартфон, иные приложения) — разбирают выражения «слева-направо».
Чтобы понять почему выражение 6/2(1+2) в одном калькуляторе выдаёт 9, а в другом 1 — надо помнить об одном единственном правиле: для любого вычислительного устройства действие умножения и деления равнозначны (если, конечно, разработчик не заложил какую-то иную логику, что было бы нарушением правил математики?).
Вот и получается: при равнозначности действий умножения и деления, калькуляторы получают разные результаты потому и только лишь потому, что в случае «справа-налево» первым идет действие умножения, а в случае «слева-направо» — первым идёт действие деления.
http://spravochnick.ru/matematika/peremnozhenie_skobok/
http://qna.habr.com/q/32375