Как умножить уравнение на степень

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Действия с многочленами

Мы уже разобрали, что из себя представляют многочлены. В рамках данной статьи мы расскажем, как правильно вычитать, умножать, складывать и делить подобные выражения, а также как возводить их в натуральную степень, т.е. определим правила совершения данных действий с многочленами.

Правила сложения и вычитания многочленов

Складывать и вычитать многочлены достаточно просто. Оба эти действия рассматриваются вместе, поскольку осуществляются по одним и тем же принципам:

1. Начинаем с правильной записи суммы или разности исходных многочленов. Для этого их надо заключить в скобки и поместить между ними нужный знак.
2. Далее выполняем раскрытие скобок и получаем новый многочлен.
3. После этого нужно привести многочлен к стандартному виду (если это необходимо).

Поясним алгоритм примером.

Условие: выполните сложение и вычитание двух многочленов x · y − x 2 + 2 и 7 · x 2 − 1 .

Сначала выполним сложение. Записываем сумму:

( 7 · x 2 − 1 ) + ( x · y − x 2 + 2 )

Раскрываем скобки и получаем новый многочлен в следующей форме:

7 · x 2 − 1 + x · y − x 2 + 2

Нам осталось только привести результат к стандартному виду:

7 · x 2 − 1 + x · y − x 2 + 2 = 6 · x 2 + 1 + x · y

Далее проводим вычитание по аналогии со сложением:

( 7 · x 2 − 1 ) − ( x · y − x 2 + 2 ) = 7 · x 2 − 1 − x · y + x 2 − 2 = 8 · x 2 − 3 − x · y

Ответ: ( 7 · x 2 − 1 ) + ( x · y − x 2 + 2 ) = 6 · x 2 + 1 + x · y и ( 7 · x 2 − 1 ) − ( x · y − x 2 + 2 ) = 8 · x 2 − 3 − x · y .

Другие примеры вы можете найти в отдельной статье, посвященной сложению и вычитанию многочленов.

Правила умножения одного многочлена на другой

Перейдем к рассмотрению следующего действия – умножения. Основное правило его выполнения основано на распределительном свойстве умножения. С его помощью мы можем свести умножение многочленов к последовательному перемножению всех их членов друг на друга. Запишем правило:

Чтобы умножить один многочлен на другой, необходимо выполнить умножение каждого члена первого множителя на каждый член второго множителя, после чего провести сложение итоговых произведений.

Результатом умножения двух многочленов друг на друга будет новый многочлен.

Условие: выполните умножение двух многочленов a − b и − 3 · a + b .

Начнем с записи произведения.

( a − b ) · ( − 3 · a + b )

После этого нам нужно взять первый член первого многочлена (т.е. a ) и перемножить его с каждым членом второго многочлена. У нас получится a · ( − 3 · a ) и a · b . То же самое проделаем и со вторым членом. В итоге мы пришли к произведениям − b · ( − 3 · a ) и − b · b . Теперь складываем все, что у нас получилось:

a · ( − 3 · a ) + a · b − b · ( − 3 · a ) − b · b = − 3 · a 2 + 4 · a · b − b 2

Вот запись всего решения:

( a − b ) · ( − 3 · a + b ) = = a · ( − 3 · a ) + a · b − b · ( − 3 · a ) − b · b = = − 3 · a 2 + 4 · a · b − b 2

Ответ: ( a − b ) · ( − 3 · a + b ) = − 3 · a 2 + 4 · a · b − b 2 .

Мы также можем выполнить умножение многочлена на одночлен. Это можно рассматривать как частный случай умножения, приведенного выше. Советуем прочесть отдельную статью об умножении многочленов, где представлены более подробные теоретические положения и приведены более сложные примеры.

Правила возведения многочлена в степень

После того, как мы разобрались с правилами умножения многочленов, можем перейти к возведению в натуральную степень. Это действие может быть приравнено к умножению имеющегося многочлена на аналогичный столько раз, сколько написано в показателе. Так, возведению 3 · x + 1 в степень 4 мы можем поставить в соответствие произведение 4 -х многочленов: ( 3 · x + 1 ) · ( 3 · x + 1 ) · ( 3 · x + 1 ) · ( 3 · x + 1 ) .

Условие: выполните возведение многочлена 2 · a · b − b 3 в квадрат.

представим эту степень как произведение двух одинаковых множителей и вычислим нужный результат.

( 2 · a · b − b 3 ) 2 = = ( 2 · a · b − b 3 ) · ( 2 · a · b − b 3 ) = = 2 · a · b · ( 2 · a · b ) + 2 · a · b · ( − b 3 ) − b 3 · ( 2 · a · b ) − b 3 · ( − b 3 ) = = 4 · a 2 · b 2 − 4 · a · b 4 + b 6

Ответ: ( 2 · a · b − b 3 ) 2 = 4 · a 2 · b 2 − 4 · a · b 4 + b 6 .

Подводя итог этого пункта, отметим, что возведение в степень можно выполнять намного быстрее, если пользоваться формулами сокращенного умножения. Советуем вам изучить эту тему более подробно.

Правила деления многочлена на многочлен

Мы уже выяснили, что результатом всех рассмотренных действий является новый многочлен. Действие деления отличается от них тем, что чаще всего его результат не будет многочленом. Так, если мы разделим x · y − 1 на x 2 + y 2 , то в итоге у нас получится дробь x · y — 1 x 2 + y 2 .

Однако в принципе получить в результате многочлен можно, например, здесь: ( x 2 · y + x · y 2 − x + x · y + y 2 − 1 ) : ( x + 1 ) = x · y + y 2 − 1 . В таких случаях мы можем говорить о делимости одного многочлена на другой, так же, как мы отмечали это для целых чисел. Тогда при делении нам нужно представить делимый многочлен в виде произведения двух многочленов — делителя и частного от деления. Во взятом нами примере делимое x 2 · y + x · y 2 − x + x · y + y 2 − 1 рассматривается как произведение ( x + 1 ) · ( x · y + y 2 − 1 ) .

Если у обоих многочленов есть только одна переменная, то тогда речь идет о делении без остатка. Сформулируем правило для многочлена, включающего в себя одну действительную переменную x . Обозначим данный многочлен P ( x ) .

Деление многочлена P ( x ) на другой многочлен M ( x ) , без остатка происходит тогда, когда есть другой многочлен Q ( x ) , удовлетворяющий условию P ( x ) = M ( x ) · Q ( x ) .

Так, мы можем разделить x 3 + 2 · x 2 + 3 · x + 6 на x + 2 без остатка в силу существования многочлена x 2 + 3 . Тогда равенство x 3 + 2 · x 2 + 3 · x + 6 = ( x + 2 ) · ( x 2 + 3 ) будет справедливым.

А вот x 2 + 1 поделить на x 3 − 5 без остатка мы не сможем, поскольку нет такого Q ( x ) , которое подошло бы для равенства x 2 + 1 = ( x 3 − 5 ) · Q ( x ) .

Деление без остатка есть частный случай деления с остатком, ведь при нем мы также получаем остаток, равный 0 . В общем случае можно сказать, что когда мы делим многочлен P ( x ) степени n , которая будет больше единицы, на другой многочлен Q ( x ) степени k (причем 1 ≤ k ≤ n ), мы получаем в итоге новый многочлен M ( x ) степени n − k и остаток в виде многочлена R ( x ) , степень которого будет меньше, чем k . Представим данное утверждение как теорему.

Мы можем представить любой многочлен P ( x ) степени n ( n ≥ 1 ) как P ( x ) = M ( x ) · Q ( x ) + R ( x ) . Здесь Q ( x ) будет некоторым многочленом степени k ( 1 ≤ k ≤ n ) , M ( x ) – многочленом степени n − k и R ( x ) – многочленом степени, меньшей k . Это представление будет единственным.

Под Q ( x ) , M ( x ) и R ( x ) в данном случае понимается любой многочлен из множества тождественно равных многочленов.

Так, если мы делим 3 · x 4 + 2 · x 2 − 1 на x 2 + x , то у нас получится частное 3 · x 2 − 3 · x + 5 с остатком − 5 · x − 1 .

Это так, потому что равенство 3 · x 4 + 2 · x 2 − 1 = ( x 2 + x ) · ( 3 · x 2 − 3 · x + 5 ) − 5 · x − 1 является справедливым. Его справедливость легко проверить, выполнив все нужные действия с правой стороны.

Если мы делим P ( x ) на Q ( x ) , причем степень делимого будет больше степени делителя, то в итоге мы всегда получаем частное в виде нулевого многочлена и остаток, равный делимому. Так, разделив x 2 + 1 на x 3 + 2 · x 2 − 1 , мы получим нулевое частное и остаток x 2 + 1 .

Удобно производить деление, предварительно сделав запись уголком, так же, как мы делаем это для целых чисел. Подробнее это действие разобрано в статье, посвященной делению многочлена на многочлен.

Степенные или показательные уравнения.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n

3. a n • a m = a n + m

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .

Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10•4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .

4 х = (2 2 ) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :

2 2х+4 = 2 2х •2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2 :

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

3 х = 9
3 х = 3 2
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.