Как упрощать уравнения в тригонометрии

Упрощение тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений различными методами (подготовка к ЕГЭ). 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Занятие 1

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Упрощение тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений. (2 часа)

Цели:

• Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением формул тригонометрии и решением простейших тригонометрических уравнений.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Тестирование на ноутбуках. Обсуждение результатов.
3. Упрощение тригонометрических выражений
4. Решение простейших тригонометрических уравнений
5. Самостоятельная работа.
6. Итог урока. Объяснение задания на дом.

1. Оргмомент. (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока, напоминает о том, что ранее было дано задание повторить формулы тригонометрии и настраивает учащихся на тестирование.

2. Тестирование. (15мин + 3мин. обсуждение)

Цель – проверить знание тригонометрических формул и умение их применять. У каждого ученика на парте ноутбук в котором вариант теста .

Вариантов может быть сколько угодно, приведу пример одного их них:

I вариант.

а) основные тригонометрические тождества

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

2.

б) формулы сложения

4.

в) преобразование произведения в сумму

г) формулы двойных углов

д) формулы половинных углов

е) формулы тройных углов

ж) универсальная подстановка

з) понижение степени

Учащиеся на ноутбуке напротив каждой формулы видят свои ответы.

Работу мгновенно проверяет компьютер. Результаты высвечиваются на большом экране ко всеобщему обозрению.

Также после окончания работы показываются на ноутбуках учащихся правильные ответы. Каждый ученик видит, где сделана ошибка, и какие формулы ему нужно повторить.

3. Упрощение тригонометрических выражений. (25 мин.)

Цель – повторить, отработать и закрепить применение основных формул тригонометрии. Решение задач В7 из ЕГЭ.

На данном этапе класс целесообразно разбить на группы сильных (работают самостоятельно с последующей проверкой) и слабых учеников, которые работают с учителем.

Задание для сильных учащихся (заранее подготовлены на печатной основе). Основной упор сделан на формулы приведения и двойного угла, согласно ЕГЭ 2011.

Упростить выражения (для сильных учащихся):

Параллельно учитель работает со слабыми учащимися, обсуждая и решая под диктовку учеников задания на экране.

4)

5) sin(270º — α) + cos (270º + α)

6)

Наступила очередь обсуждения результатов работы сильной группы.

На экране появляются ответы, а также, с помощью видеокамеры выводятся работы 5-ти разных учеников (по одному заданию у каждого).

Слабая группа видит условие и метод решения. Идет обсуждение и анализ. С использованием технических средств это происходит быстро.

4. Решение простейших тригонометрических уравнений. (30 мин.)

Цель – повторить, систематизировать и обобщить решение простейших тригонометрических уравнений, запись их корней. Решение задачи В3.

Любое тригонометрическое уравнение, каким бы способом мы его не решали, приводит к простейшему.

При выполнении задания следует обращать внимание учащихся на запись корней уравнений частных случаев и общего вида и на отбор корней в последнем уравнении.

В ответ записать наименьший положительный корень.

5. Самостоятельная работа (10 мин.)

Цель – проверка полученных навыков, выявление проблем , ошибок и путей их устранения.

Предлагается разноуравневая работа на выбор учащегося.

1) Найти значение выражения

2) Упростить выражение 1 — sin 2 3α — cos 2 3α

3) Решить уравнение

1) Найти значение выражения

2) Решить уравнение В ответе записать наименьший положительный корень.

1) Найти tgα, если

2) Найти корень уравнения В ответ запишите наименьший положительный корень.

6. Итог урока (5 мин.)

Учитель подводит итоги о том, что на уроке повторили и закрепили тригонометрические формулы, решение простейших тригонометрических уравнений.

Задается домашнее задание (подготовленное на печатной основе заранее) с выборочной проверкой на следующем уроке.

9) В ответе указать наименьший положительный корень.

10) В ответе указать наименьший положительный корень.

Занятие 2

Тема: 11 класс (подготовка к ЕГЭ)

Методы решений тригонометрических уравнений. Отбор корней. (2 часа)

Цели:

• Обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений различных типов.
• Содействовать развитию математического мышления учащихся, умению наблюдать, сравнивать, обобщать, классифицировать.
• Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности, к самоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование к уроку: КРМу, ноутбуки на каждого ученика.

Структура урока:

1. Оргмомент
2. Обсуждение д/з и самот. работы прошлого урока
3. Повторение методов решений тригонометрических уравнений.
4. Решение тригонометрических уравнений
5. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока. Домашнее задание.

1. Оргмомент (2 мин.)

Учитель приветствует аудиторию, объявляет тему урока и план работы.

2. а) Разбор домашнего задания (5 мин.)

Цель – проверить выполнение. Одна работа с помощью видео камеры выдается на экран, остальные выборочно собираются на проверку учителя.

б) Разбор самостоятельной работы (3 мин.)

Цель – разобрать ошибки , указать способы их преодоления.

На экране ответы и решения, у учащихся заранее выданные их работы. Быстро идет анализ.

3. Повторение методов решения тригонометрических уравнений (5 мин.)

Цель – вспомнить методы решения тригонометрических уравнений.

Спросить у учащихся, какие методы решений тригонометрических уравнений они знают. Акцентировать на том, что есть так называемые основные (часто используемые) методы:

• замена переменной,
• разложение на множители,
• однородые уравнения,

и есть прикладные методы:

• по формулам преобразования суммы в произведение и произведения в сумму,
• по формулам понижения степени,
• универсальная тригонометрическая подстановка
• введение вспомогательного угла,
• умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

Также нужно напомнить, что одно уравнение может решаться различными способами.

4. Решение тригонометрических уравнений (30 мин.)

Цель – обощить и закрепить знания и навыки по данной теме, подготовиться к решению С1 из ЕГЭ.

Считаю целесообразным прорешать вместе с учащимися уравнения на каждый метод.

Ученик диктует решение, учитель записывает на планшет, весь процесс отображается на экране. Это позволит быстро и эффективно восстановить в памяти ранее пройденный материал.

1) замена переменной 6cos 2 x + 5sinx — 7 = 0

2) разложение на множители 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) однородные уравнения sin 2 x + 3cos 2 x — 2sin2x = 0

4) преобразование суммы в произведение cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) преобразование произведения в сумму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) понижение степени sin2x — sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универсальная тригонометрическая подстановка sinx + 5cosx + 5 = 0.

Решая это уравнение, следует отметить, что использование данного метода ведет к сужению области определения, так как синус и косинус заменяется на tg(x/2). Поэтому, прежде чем выписывать ответ, нужно сделать проверку, являются ли числа из множества π + 2πn, n Z конями данного уравнения.

8) введение вспомогательного угла √3sinx + cosx — √2 = 0

9) умножение на некоторую тригонометрическую функцию cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Отбор корней тригонометрических уравнений (20 мин.)

Так как в условиях жесткой конкуренции при поступлении в ВУЗы решение одной первой части экзамена недостаточно, то следует большинству учащихся обращать внимание на задания второй части (С1,С2,С3).

Поэтому цель этого этапа занятия – вспомнить ранее изученный материал, подготовиться к решению задачи С1 из ЕГЭ 2011 года.

Существуют тригонометрические уравнения, в которых нужно производить отбор корней при выписке ответа. Это связано с некоторыми ограничениями, например: знаменатель дроби не равен нулю, выражение под корнем четной степени неотрицательно, выражение под знаком логарифма положительно и т.д.

Такие уравнения считаются уравнениями повышенной сложности и в варианте ЕГЭ находятся во второй части, а именно С1.

1)

Дробь равна нулю, если тогда с помощью единичной окружности произведем отбор корней (см. рисунок 1)

получим x = π + 2πn, n Z

Ответ: π + 2πn, n Z

На экране отбор корней показывается на окружности в цветном изображении.

2)

Произведение равно нулю когда хотя бы один из множителей равен нулю, а дугой, при этом, не теряет смысла. Тогда

С помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 2)

тогда ,

Ответ: .

3) (2cos 2 x + 5cosx + 2) log₅(tgx) = 0

Вспоминаем когда произведение равно нулю и переходим к системе:

отметим на единичной окружности корни уравнений и выберем из них те, которые удовлетворяют неравенствам (см. рисунок 3),

получим

Ответ:

4)

Вспоминаем когда дробь равна нулю и переходим к системе:

решив первое уравнение, получаем

с помощью единичной окружности выбираем корни (см. рисунок 4),

получаем x = π/6 + 2πn, n Z

Ответ: π/6 + 2πn, n Z.

5)

Переходим к системе:

В первом уравнении системы сделаем замену log₂(sinx) = y, получим уравнение тогда , вернемся к системе

с помощью единичной окружности отберем корни (см. рисунок 5),

6. Самостоятельная работа (15 мин.)

Цель – закрепить и проверить усвоение материала, выявить ошибки, наметить пути их исправления.

Работа предлагается в трех вариантах, заготовленных заранее на печатной основе, на выбор учащихся.

Решать уравнения можно любым способом.

1) 2sin 2 x + sinx — 1 = 0

1) cos2x = 11sinx — 5

2) (2sinx + √3)log₈(cosx) = 0

1) 2sinx — 3cosx = 2

2)

7. Итог урока, домашнее задание (5 мин.)

Учитель подводит итог урока, еще раз обращается внимание на то, что тригонометрическое уравнение можно решить несколькими способами. Самый лучший способ для достижения быстрого результата это тот, который лучше всего усвоен конкретным учеником.

При подготовке к экзамену нужно систематически повторять формулы и методы решения уравнений.

Домашнее задание (приготовлено заранее на печатной основе) раздается и комментируются способы решений некоторых уравнений.

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) — cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x — sin 2 3x — sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx — 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x — sinx)log₃(2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x — √3cosx)log₇(-tgx) = 0

11)

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9

Упрощение тригонометрических выражений. Задание 9.

При упрощении тригонометрических выражений полезно придерживаться такой последовательности действий:

1. С помощью формул приведения привести все тригонометрические функции к углам первой четверти.

2. Посмотреть, как соотносятся между собой полученные углы, чтобы определить, какие формулы использовать для преобразования выражения. В большинстве задач это формулы двойного аргумента или соотношение

Прежде чем читать дальше, очень рекомендую перечитать статью, как пользоваться формулами приведения и не заучивать их.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на упрощение тригонометрических выражений из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

1 . Задание B10 (№ 26756) Найдите значение выражения

Мы видим, что , поэтому либо разложим знаменатель по формуле косинуса двойного аргумента, либо, наоброт свернем числитель по той же формуле:

Ответ: -24.

2 . Задание B10 (№ 26757) Найдите значение выражения

Заметим, что

Воспользеумся фомулой приведения:

Ответ: 5.

3 . Задание B10(№ 26757) Найдите значение выражения

Преобразуем аргументы тригонометрических функций в знаменателе дроби:

Вспомним, что синус — нечетная функция, а косинус — четная:

С помощью тригонометрического круга определим значение

и :

Получим:

Ответ: — 16.

4 . Задание B10 (№ 26770) Найдите значение выражения

Воспользуемся формулой приведения:

Ответ: — 5.

5 . Задание B10 (№ 26774) Найдите значение выражения

Снова воспользуемся формулой приведения:

Ответ: 12.

6 . Задание B10 (№ 26776) Найдите , если и

По основному тригонометрическому тождеству:

Косинус в третьей четверти отрицателен, поэтому

Отсюда

Ответ: 5.

7 . Задание B10 (№ 26781) Найдите значение выражения

Как упрощать уравнения в тригонометрии

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму: