Упрощения алгебраических выражений
Что значит упростить алгебраическое выражение
Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).
Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.
Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.
Правила упрощения алгебраических выражений
Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:
- приведение подобных;
- разложение на множители;
- сокращение дроби;
- сложение и вычитание дробей;
- умножение и деление дробей.
В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:
- При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
- При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.
Приведение подобных
Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.
Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.
В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.
Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.
К примеру, приведем слагаемые:
2 a + 3 b — a + 8 b + 7 a = 8 a + 11 b
Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.
Рассмотрим выражение с квадратной степенью:
Здесь число 3 является коэффициентом.
Разложение на множители
Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2
В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.
Сокращение дроби
В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.
Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:
- разложение на множители числителя и знаменателя;
- при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.
Пример 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.
Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.
Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».
Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:
a b + c d = a · d + c · b b · d ;
a b — c d = a · d — c · b b · d
Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:
Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:
2 · 4 — 1 · 3 3 · 4 = 5 12
В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:
3 · 3 + 2 · 4 — 5 · 12 24 = — 43 24
В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:
3 4 7 — 1 2 3 = 25 · 3 7 — 5 · 7 3 = 75 — 35 21 = 40 21
Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:
- определить общий множитель;
- умножить каждую дробь на недостающий множитель;
- сложить или вычесть числители.
Здесь общий множитель равен 12. Тогда:
a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12
Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:
a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12
Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:
- разложение знаменателей на множители;
- определение одинаковых множителей;
- выделение всех общих множителей по одному разу;
- умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.
Пример 7
Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:
1 a b 2 + 1 a 2 b
Разложим знаменатели на множители:
a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b
Вычислим единые множители:
a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯
Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:
a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2
Общим знаменателем является a 2 b 2 . Умножим первую дробь на а, вторую — на b:
1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2
Умножение и деление дробей
Умножение и деление дробей выполняют таким образом:
a b · c d = a · c b · d ;
a b : c d = a · d b · c
Арифметические действия выполняют в следующем порядке:
- вычисление степени;
- умножение и деление;
- сложение и вычитание.
Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.
2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3
Используя правило умножения и деления дробей, получим:
2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = 2 + 9 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = — 5 2 1 — 8 5 3 3 = 25 · 1 — 8 5 3 3 = 25 · — 3 5 3 3 = 25 5 · — 3 5 3 3 = 5 · — 3 3 3 = 5 · — 1 3 = — 5 3 = — 125
Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.
Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.
Попробуем упростить выражение:
x y — y x · 5 x y x + y
Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:
x · x y — y · y x = x · x — y · y y x = x 2 — y 2 y x = x — y x + y y x
Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:
x y — y x · 5 x y x + y = x — y x + y y x · 5 x y x + y
x — y x + y y x · 5 x y x + y = x — y x + y · 5 x y y x x + y
x — y x + y · 5 x y y x x + y = 5 x — y
Пояснения на примерах
Требуется упростить выражения:
a — 2 b + 3 b + 6 a ;
a + a b — 3 a + 2 b a ;
a 2 b + a b 2 — a b + 2 a b 2 .
Приведем подобные и упростим выражения:
a ¯ — 2 b ¯ ¯ + 3 b ¯ ¯ + 6 a ¯ = 7 a + b
a ¯ + a b ¯ ¯ — 3 a ¯ + 2 b a ¯ ¯ = — 2 a + 3 a b
Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:
В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.
a 2 b + a b 2 ¯ — a b + 2 a b 2 ¯ = a 2 b + 3 ¯ a b 2 ¯ — a b .
Требуется упростить выражения:
a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2
a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4
Путем разложения на множители упростим данные выражения:
a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c
a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3 = a b 2 a 2 b 2 — 3 + 8 a b
4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2
a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4 = a + 3 y 2 — 2 2 = a + 3 y — 2 a + 3 y + 2
a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2
72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5
a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a
a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2 = a — b a + b a + b 2 = a — b a + b a + b a + b = a — b a + b
x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2
x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4
a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2
x 2 — 1 x — 1 = x 2 x = x
В первую очередь выполним разложение на множители:
x 2 — 1 x — 1 = x — 1 x + 1 x — 1 = x + 1
x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2 = x + y 2 : x + y x — y x + y : x + y = x + y x — y
x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4 = y x 2 — 4 x — 2 2 = y x — 2 x + 2 x — 2 2 = y x + 2 x — 2
a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2 = a — b a 2 + a b + b 2 a 2 + a b + b 2 = a — b .
Дано выражение, которое требуется упростить:
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2
В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y
Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:
y — 2 x = — 2 x — y
1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y = = 1 x y — 2 x — x — y — 2 x 2 x + y = 1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y
Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:
1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y = 2 x + y + x 2 x y — 2 x 2 x + y = x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2
Ответ: x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4
Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4
Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:
x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2
Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:
x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 — x x 2 + 2 x + 4 + + 1 · 2 — x x 2 + 2 x + 4 = x + 2 — x 2 — x x 2 + 2 x + 4 = 2 8 — x 3
Требуется упростить выражения:
3 a + 1 4 + 2 a — 3 10
2 x 2 — 5 3 + 3 x + 2 2 — 2 x 2 — 2 x — 1 4
5 a b — 3 · 2 a b 15 = 5 a b — 6 a b 15 = — a b 15
5 3 a + 1 + 2 2 a — 3 20 = 15 a + 5 + 4 a — 6 20 = 19 a — 1 20
4 2 x 2 — 5 + 6 3 x + 2 — 3 2 x 2 — 2 x — 1 12 = = 8 x 2 ¯ — 20 ¯ ¯ + 18 x ¯ ¯ ¯ + 12 ¯ ¯ — 6 x 2 ¯ + 6 x ¯ ¯ ¯ + 3 ¯ ¯ 12 = 2 x 2 — 5 + 24 x 12
Дано выражение, которое требуется упростить:
1 a 2 x 2 b 3 y — 1 a x 3 b 2 y 4
При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:
a во второй степени;
x в третьей степени;
b в третьей степени;
y в четвертой степени.
В результате получим:
1 · x · y 3 a 2 x 2 b 3 y — 1 · a · b a x 3 b 2 y 4 = x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4
Ответ: x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4
Нужно упростить выражение:
t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1
Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.
Выглядит этот алгоритм таким образом:
t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 ⏞ 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t ⏞ 2 + t 2 + 3 t + 1 ⏞ 3 .
t + 3 · t + 1 3 t — 1 + t + 3 · 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t + 3 t + 1 + t + 3 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t 2 + 3 t + t + 3 + 3 t 2 + 9 t — t — 3 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 =
4 t 2 + 12 t 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 : t t + 3 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = .
= 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 · 1 — 3 t t t + 3 + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 · 1 — 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 · t t + 3 + + t 2 + 3 t + 1 = — 4 t + 1 + t 2 + 3 t + 1 = — 4 + t 2 + 3 t + 1 = t 2 — 1 t + 1 = t — 1 t + 1 t + 1 = t — 1
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
ФСУ используются при упрощении алгебраических выражений (в том числе в работе с алгебраическими дробями ), решении уравнений и неравенств , при разложении на множители и т.д. Ниже мы рассмотрим наиболее популярные формулы и разберем как они получаются.
Квадрат суммы
Пусть у нас возводиться в квадрат сумма двух одночленов, вот так: \((a+b)^2\). Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть, \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Теперь мы можем просто раскрыть скобки, перемножив их как делали это здесь , и привести подобные слагаемые. Получаем:
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Если вы вдруг не поняли какие-то преобразования в двух последних примерах – повторите свойства степеней и тему приведения одночлена к стандартному виду .
Пример. Преобразуйте выражение \((1+5x)^2-12x-1 \) в многочлен стандартного вида.
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Если сразу подставить дробь в выражение – придется возводить ее в квадрат и вообще делать объемные вычисления. Попробуем сначала упростить выражение, воспользовавшись формулой выше и раскрыв скобки .
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Эта формула одна из наиболее часто применяемых при разложении на множители и работе с алгебраическими дробями .
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.
Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»
http://cos-cos.ru/math/140/
http://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-i-uproschenie-bolee-slozhnyh-vyrazheniy-s-kornyami