Как упростить уравнение 10 класс

Как упростить уравнение 10 класс

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)

Важно В выражениях переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a, b, . z

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Как упростить алгебраическое выражение

Некоторые алгебраические примеры одним видом способны наводить ужас на школьников. Длинные выражения не только пугают, но и очень затрудняют вычисления. Пытаясь сходу понять, что и за чем следует, недолго запутаться. Именно по этой причине математики всегда стараются максимально упростить «жуткое» задание и только потом приступают к его решению. Как ни странно, такой трюк значительно ускоряет процесс работы.

Упрощение является одним из фундаментальных моментов в алгебре. Если в простых задачах без него ещё можно обойтись, то более трудные для вычисления примеры могут оказаться «не по зубам». Тут-то и пригодятся эти навыки! Тем более что сложных математических знаний не требуется: достаточно будет всего лишь запомнить и научиться применять на практике несколько базовых приёмов и формул.

Необходимые знания и умения

Вне зависимости от сложности вычислений при решении любого выражения важно соблюдать порядок выполнения операций с числами:

1. скобки;
2. возведение в степень;
3. умножение;
4. деление;
5. сложение;
6. вычитание.

Последние два пункта можно спокойно поменять местами и это никак не отразится на результате. Но складывать два соседних числа, когда рядом с одним из них стоит знак умножения категорически нельзя! Ответ если и получится, то неверный. Поэтому нужно запомнить последовательность.

Применение подобных

К таким элементам относятся числа с переменной одного порядка или одинаковой степени. Существуют и так называемые свободные члены, не имеющие рядом с собой буквенного обозначения неизвестного.

Суть заключается в том, что при отсутствии скобок можно упростить выражение, складывая или вычитая между собой подобные.

Несколько наглядных примеров:

• 8x 2 и 3x 2 — оба числа имеют одну и ту же переменную второго порядка, поэтому они подобны и при сложении упрощаются до (8+3)x 2 =11x 2 , тогда как при вычитании получается (8-3)x 2 =5x 2 ;
• 4x 3 и 6x — а тут «х» имеет разную степень;
• 2y 7 и 33x 7 — содержат различные переменные, поэтому, как и в предыдущем случае, не относятся к подобным.

Разложение числа на множители

Эта маленькая математическая хитрость, если научиться её правильно использовать, в будущем не раз поможет справиться с каверзной задачкой. Да и понять, как работает «система», несложно: разложением называют произведение нескольких элементов, вычисление которого даёт исходное значение. Таким образом, 20 можно представить как на 20×1, 2×10, 5×4, 2×5×2 или другим способом.

На заметку: множители всегда совпадают с делителями. Так что искать рабочую «пару» для разложения нужно среди чисел, на которые исходное делится без остатка.

Проделывать такую операцию можно как со свободными членами, так и с цифрами при переменной. Главное, не потерять последнюю во время вычислений — даже после разложения неизвестная не может взять и «уйти в никуда». Она остаётся при одном из множителей:

Простые числа, которые можно разделить лишь на себя или 1, никогда не раскладываются — в этом нет смысла.

Основные способы упрощения

Первое, за что цепляется взгляд:

Алгебраические примеры в школьной программе часто составляются с учётом того, что их можно красиво упростить.

Вычисления в скобках

Внимательно следите за знаком, стоящим перед скобками! Умножение или деление применяется к каждому элементу внутри, а минус — меняет имеющиеся знаки «+» или «-» на противоположные.

Скобки вычисляются по правилам либо по формулам сокращённого умножения, после чего приводятся подобные.

Сокращение дробей

Сокращать дроби тоже несложно. Они сами через раз «охотно убегают», стоит произвести операции с приведением подобных членов. Но упростить пример можно ещё до этого: обращайте внимание на числитель и знаменатель. Они нередко содержат явные или скрытые элементы, которые можно взаимно сократить. Правда, если в первом случае нужно всего лишь вычеркнуть лишнее, во втором придётся подумать, приводя часть выражения к виду для упрощения. Используемые методы:

• поиск и вынесение за скобки наибольшего общего делителя у числителя и знаменателя;
• деление каждого верхнего элемента на знаменатель.

Когда выражение или его часть находится под корнем, первостепенная задача упрощения практически аналогична случаю с дробями. Необходимо искать способы полностью от него избавиться или, если это невозможно, максимально сократить мешающий вычислениям знак. Например, до ненавязчивого √(3) или √(7).

Верный способ упростить подкоренное выражение — попытаться разложить его на множители, часть из которых выносится за пределы знака. Наглядный пример: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Другие маленькие хитрости и нюансы:

• эту операцию упрощения можно проводить с дробями, вынося её за знак как целиком, так и отдельно числитель или знаменатель;
• раскладывать и выносить за пределы корня часть суммы или разности нельзя;
• при работе с переменными обязательно учитывайте её степень, она должна быть равной или кратной корню для возможности вынесения: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√(x);
• иногда допускается избавление от подкоренной переменной путём возведения её в дробную степень: √(y 3 )=y 3/2 .

Упрощение степенного выражения

Если в случае простых вычислений на минус или плюс примеры упрощаются за счёт приведения подобных, то как быть при умножении или делении переменных с разными степенями? Их можно легко упростить, запомнив два основных момента:

1. Если между переменными стоит знак умножения — степени складываются.
2. Когда они делятся друг на друга — из степени числителя вычитается она же знаменателя.

Единственное условие для такого упрощения — одинаковое основание у обоих членов. Примеры для наглядности:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11 )=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2 ;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5 )=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5 )=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 =0.

Отмечаем, что операции с числовыми значениями, стоящими перед переменными, происходят по обычным математическим правилам. И если присмотреться, то становится понятно, что степенные элементы выражения «работают» аналогично:

• возведение члена в степень обозначает умножение его на самого себя определённое количество раз, т. е. x 2 =x×x;
• деление аналогично: если разложить степень числителя и знаменателя, то часть переменных сократится, тогда как оставшиеся «собираются», что равносильно вычитанию.

Как и в любом деле, при упрощении алгебраических выражений необходимо не только знание основ, но и практика. Уже через несколько занятий примеры, когда-то кажущиеся сложными, будут сокращаться без особого труда, превращаясь в короткие и легко решаемые.

Видео

Это видео поможет вам разобраться и запомнить, как упрощаются выражения.

Презентация по математике «Упрощение тригонометрических выражений» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тригонометрические формулы. 10 класс Упрощение тригонометрических выражений. УМК А. Г. Мордковича

Величие человека – в его способности мыслить. (Б. Паскаль)

Содержание 1. Формулы тригонометрии: Основные тригонометрические тождества (10) Формулы сложения (6) Формулы двойного угла (8) Формулы тройного угла (2) Формулы половинного аргумента (7) Формулы понижения степени (7) Преобразование сумм в произведения (9) Преобразование произведений в суммы (3) 2. Вычислить, упростить, решить уравнение (18)

Основные тригонометрические формулы 1. =>

Основные тригонометрические формулы

Формулы сложения 1. Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny 2. cos(x + y)= cosx·cosy — sinx·siny 3. sin(x – y)= sinx·cosy — cosx·siny 4. cos(x – y)= cosx·cosy + sinx·siny 5. 6.

Формулы двойного угла 1. sin2x = 2 sinx·cosx; 2. cos2x = cos²x — sin²x; 3. cos2x = 1 – 2sin²x; 4. cos2x = 2cos²x — 1; 5. 6.

Формулы двойного угла 7. 1 + sin2x = (cosx + sinx)² 8. 1 — sin2x = (cosx — sinx)²

Формулы тройного угла 1. sin 3x = 3 sinx – 4 sin³x 2. cos 3x = 4cos³x — 3cosx

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента

Формулы половинного аргумента

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени Sin³α = ¼(3sinα – sin3α) Cos³α = ¼(cos3α – 3 cosα) Sin⁴α = 1/8 (cos4α – 4cos2α+3) cos ⁴α = 1/8 (cos4α + 4cos2α+3)

Преобразование суммы в произведение

Преобразование суммы в произведение

Преобразование суммы в произведение Cosβ + sinβ = √2·cos(π/4 – β) Cosβ — sinβ = √2·sin(π/4 – β)

Преобразование произведения в сумму 1) Sinx · siny = ½(cos(x-y) – cos(x+y)) 2) Cosx · cosy = ½(cos(x-y) + cos(x+y)) 3) Sinx · cosy = ½(sin(x-y) + sin(x+y)) или 1) 2·Sinx · siny = cos(x-y) – cos(x+y) 2) 2·Cosx · cosy =cos(x-y) + cos(x+y) 3) 2·Sinx · cosy = sin(x-y) + sin(x+y)

Вычислить Sin 75° 2) cos 75° Решение. 1) Sin 75° = Sin (30°+45°)= = Sin 30°· cos 45°+ Sin 45°· cos 30°= =1/2·√2/2 + √2/2 ·√3/2 = √2/4+ √6/4= =(√2+√6)/4 2) Ответ: (√6 — √2)/4 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sin 4π/15 Решение. Sin4π/15 · cosπ/15 + cos4π/15 · sinπ/15= =sin(4π/15 + π/15) = = sin(π/3)= √3/2 Sin (x + y)= sinx·cosy + cosx·siny

Вычислить самостоятельно cos37° · cos8° — sin37°· sin8° Ответ: √2/2 sin44° · cos14° — cos44°· sin14° Ответ: 1/2

Вычислить tg75° Решение. tg75°= tg(30°+45°) =…. = (√3/3+1): (1- √3/3·1) =

Вычислить самостоятельно Решение.

Вычислить Cos²π/8 — sin²π/8 Решение. Cos²π/8 — sin²π/8 = Cos (2· π/8) = = Cos π/4 = … Ответ: √2/2 cos2x = cos²x — sin²x

Вычислить Sin π/12 · cos π/12 Решение. Sin π/12·cos π/12=Sin(2· π/12):2= = Sin(π/6):2=(1/2):2=… Ответ: 1/4 sin2x = 2 sinx·cosx

Упростить выражение Sin 43° + sin 17° Решение. Sin43°+sin17°=

Упростить выражение Cos π/8 + cos 3π/8 Решение. Cosπ/8+cos3π/8=

Упростить выражение 2sinxcosx(cos²x-sin²x) Решение. 2sinxcosx·(cos²x-sin²x)= sin2x·cos2x=

Решить уравнение Sin 5x + sin x = 0 Решение. 2· Sin3х·cos2x = 0 => т.к. 2≠0, то Sin3х=0 или cos2x=0 (дальше решаете сами)

Вычислить, не пользуясь таблицами а) 2sin37°30´·cos7°30´ б) sin52°30´·cos7°30´ в) cos37°30´·cos7°30´ г) sin52°30´·sin7°30´

Решение а) =sin(37°30´+7°30´)+ sin(37°30´-7°30´)= = sin45°+ sin30°=√2/2+1/2=… б) =0,5·(sin(52°30´-7°30´)+sin(52°30´+7°30´))= = 0,5·(sin(45°)+ sin(60°))= 0,5·(√2/2+√3/2)=… в) =0,5·(cos(37°30´-7°30´)+cos(37°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(30°)+cos(45°))= 0,5·(√3/2+ √2/2)=… г) =0,5·(cos(52°30´-7°30´)-cos (52°30´+7°30´))= = 0,5·(cos(45°)-cos(60°))= 0,5·(√2/2-1/2))=…

Вычислить Решение. (кто желает объяснить) Ответ: -2

Вычислить Решение. Ответ: 0,5 (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Решение. Ответ: да (кто желает объяснить)

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: нет

Могут ли одновременно выполняться равенства? Ответ: да

Используемые ресурсы Учебник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 Задачник А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс,- М., Мнемозина,2012 В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик, Математика, — М., Высшая школа, 1991 http://cbs-solncevo.ru/wp-content/uploads/2012/05/%D0%9C%D1%83%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%BA%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0-%D1%83%D1%87%D0%B8%D1%82-%D0%BD%D0%B0%D1%81-%D1%83%D0%BC%D1%831.jpg

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 357 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.

Глава 4. Преобразование тригонометрических выражений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 21.01.2016
• 1160
• 0

• 21.01.2016
• 478
• 0

• 21.01.2016
• 744
• 0

• 21.01.2016
• 1000
• 5

• 21.01.2016
• 556
• 0

• 21.01.2016
• 1233
• 3

• 21.01.2016
• 2594
• 52

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 21.01.2016 11208
• PPTX 997 кбайт
• 117 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Базарбаева Ольга Серикпаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 22738
• Всего материалов: 9

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Швеции запретят использовать мобильные телефоны на уроках

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.