Как упростить уравнение 11 класс

Как упростить уравнение 11 класс

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Сервис (своего рода программа для классов 5 и 7, 8, 9, 10, 11) позволяет упрощать математические выражения: алгебра (алгебраические выражения), тригонометрических выражений, выражения с корнями и другими степенями, сокращение дробей, также упрощает сложные буквенные выражения,
для упрощение комплексных выражений вам сюда(!)

Важно В выражениях переменные обозначаются ОДНОЙ буквой! Например, a, b, . z

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Упрощения алгебраических выражений

Что значит упростить алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

• приведение подобных;
• разложение на множители;
• сокращение дроби;
• сложение и вычитание дробей;
• умножение и деление дробей.

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

1. При наличии подобных их рекомендуется привести, при этом не имеет значения то, в какой момент они образовались.
2. При появлении первой возможности для сокращения дробей, рекомендуется ей сразу воспользоваться. Исключением являются дроби с одинаковыми знаменателями, которые требуется вычитать или суммировать. Такие дроби можно сократить после выполнения необходимых действий.

Приведение подобных

Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.

Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.

В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.

Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.

К примеру, приведем слагаемые:

2 a + 3 b — a + 8 b + 7 a = 8 a + 11 b

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Рассмотрим выражение с квадратной степенью:

Здесь число 3 является коэффициентом.

Разложение на множители

Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2

В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.

Сокращение дроби

В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

• разложение на множители числителя и знаменателя;
• при наличии в числителе и знаменателе общих множителей их допустимо исключить из выражения.

Пример 5

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».

Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:

a b + c d = a · d + c · b b · d ;

a b — c d = a · d — c · b b · d

Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

2 · 4 — 1 · 3 3 · 4 = 5 12

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

3 · 3 + 2 · 4 — 5 · 12 24 = — 43 24

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

3 4 7 — 1 2 3 = 25 · 3 7 — 5 · 7 3 = 75 — 35 21 = 40 21

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

• определить общий множитель;
• умножить каждую дробь на недостающий множитель;
• сложить или вычесть числители.

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

• разложение знаменателей на множители;
• определение одинаковых множителей;
• выделение всех общих множителей по одному разу;
• умножение общих множителей на оставшиеся множители, которые не являются общими.

Пример 7

Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:

1 a b 2 + 1 a 2 b

Разложим знаменатели на множители:

a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b

Вычислим единые множители:

a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯

Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:

a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2

Общим знаменателем является a 2 b 2 . Умножим первую дробь на а, вторую — на b:

1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2

Умножение и деление дробей

Умножение и деление дробей выполняют таким образом:

a b · c d = a · c b · d ;

a b : c d = a · d b · c

Арифметические действия выполняют в следующем порядке:

• вычисление степени;
• умножение и деление;
• сложение и вычитание.

Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.

2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3

Используя правило умножения и деления дробей, получим:

2 + 3 2 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = 2 + 9 — 16 2 1 — 8 5 3 3 = — 5 2 1 — 8 5 3 3 = 25 · 1 — 8 5 3 3 = 25 · — 3 5 3 3 = 25 5 · — 3 5 3 3 = 5 · — 3 3 3 = 5 · — 1 3 = — 5 3 = — 125

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Попробуем упростить выражение:

x y — y x · 5 x y x + y

Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:

x · x y — y · y x = x · x — y · y y x = x 2 — y 2 y x = x — y x + y y x

Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:

x y — y x · 5 x y x + y = x — y x + y y x · 5 x y x + y

x — y x + y y x · 5 x y x + y = x — y x + y · 5 x y y x x + y

x — y x + y · 5 x y y x x + y = 5 x — y

Пояснения на примерах

Требуется упростить выражения:

a — 2 b + 3 b + 6 a ;

a + a b — 3 a + 2 b a ;

a 2 b + a b 2 — a b + 2 a b 2 .

Приведем подобные и упростим выражения:

a ¯ — 2 b ¯ ¯ + 3 b ¯ ¯ + 6 a ¯ = 7 a + b

a ¯ + a b ¯ ¯ — 3 a ¯ + 2 b a ¯ ¯ = — 2 a + 3 a b

Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:

В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.

a 2 b + a b 2 ¯ — a b + 2 a b 2 ¯ = a 2 b + 3 ¯ a b 2 ¯ — a b .

Требуется упростить выражения:

a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3

4 x 2 — 16 x y + 16 y 2

a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4

Путем разложения на множители упростим данные выражения:

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

a 3 b 4 — 3 a b 2 + 8 a 2 b 3 = a b 2 a 2 b 2 — 3 + 8 a b

4 x 2 — 16 x y + 16 y 2 = 4 x 2 — 4 x y + 4 y 2 = 4 x — 2 y 2

a 2 + 6 a y + 9 y 2 — 4 = a + 3 y 2 — 2 2 = a + 3 y — 2 a + 3 y + 2

a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2

72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

a 2 — b 2 a 2 + 2 a b + b 2 = a — b a + b a + b 2 = a — b a + b a + b a + b = a — b a + b

x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2

x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4

a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2

x 2 — 1 x — 1 = x 2 x = x

В первую очередь выполним разложение на множители:

x 2 — 1 x — 1 = x — 1 x + 1 x — 1 = x + 1

x 2 + 2 x y + y 2 x 2 — y 2 = x + y 2 : x + y x — y x + y : x + y = x + y x — y

x 2 y — 4 y x 2 — 4 x + 4 = y x 2 — 4 x — 2 2 = y x — 2 x + 2 x — 2 2 = y x + 2 x — 2

a 3 — b 3 a 2 + a b + b 2 = a — b a 2 + a b + b 2 a 2 + a b + b 2 = a — b .

Дано выражение, которое требуется упростить:

1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2

В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:

1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y

Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:

y — 2 x = — 2 x — y

1 x y — 2 x 2 — x 4 x 2 — y 2 = 1 x y — 2 x — x 2 x — y 2 x + y = = 1 x y — 2 x — x — y — 2 x 2 x + y = 1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y

Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:

1 x y — 2 x + x y — 2 x 2 x + y = 2 x + y + x 2 x y — 2 x 2 x + y = x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2

Ответ: x 2 + 2 x + y x y 2 — 4 x 2

x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:

x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4

Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2

Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:

x 8 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 3 — x 3 + 1 x 2 + 2 x + 4 = x 2 — x x 2 + 2 x + 4 + + 1 · 2 — x x 2 + 2 x + 4 = x + 2 — x 2 — x x 2 + 2 x + 4 = 2 8 — x 3

Требуется упростить выражения:

3 a + 1 4 + 2 a — 3 10

2 x 2 — 5 3 + 3 x + 2 2 — 2 x 2 — 2 x — 1 4

5 a b — 3 · 2 a b 15 = 5 a b — 6 a b 15 = — a b 15

5 3 a + 1 + 2 2 a — 3 20 = 15 a + 5 + 4 a — 6 20 = 19 a — 1 20

4 2 x 2 — 5 + 6 3 x + 2 — 3 2 x 2 — 2 x — 1 12 = = 8 x 2 ¯ — 20 ¯ ¯ + 18 x ¯ ¯ ¯ + 12 ¯ ¯ — 6 x 2 ¯ + 6 x ¯ ¯ ¯ + 3 ¯ ¯ 12 = 2 x 2 — 5 + 24 x 12

Дано выражение, которое требуется упростить:

1 a 2 x 2 b 3 y — 1 a x 3 b 2 y 4

При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:

a во второй степени;

x в третьей степени;

b в третьей степени;

y в четвертой степени.

В результате получим:

1 · x · y 3 a 2 x 2 b 3 y — 1 · a · b a x 3 b 2 y 4 = x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4

Ответ: x y 3 — a b a 2 x 3 b 3 y 4

Нужно упростить выражение:

t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1

Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.

Выглядит этот алгоритм таким образом:

t + 3 3 t — 1 + t + 3 t + 1 ⏞ 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t ⏞ 2 + t 2 + 3 t + 1 ⏞ 3 .

t + 3 · t + 1 3 t — 1 + t + 3 · 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t + 3 t + 1 + t + 3 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = = t 2 + 3 t + t + 3 + 3 t 2 + 9 t — t — 3 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 =

4 t 2 + 12 t 3 t — 1 t + 1 : t 2 + 3 t 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 : t t + 3 1 — 3 t + t 2 + 3 t + 1 = .

= 4 t t + 3 3 t — 1 t + 1 · 1 — 3 t t t + 3 + t 2 + 3 t + 1 = 4 t t + 3 · 1 — 3 t — 1 3 t — 1 t + 1 · t t + 3 + + t 2 + 3 t + 1 = — 4 t + 1 + t 2 + 3 t + 1 = — 4 + t 2 + 3 t + 1 = t 2 — 1 t + 1 = t — 1 t + 1 t + 1 = t — 1

Преобразование алгебраических выражений с примерами решения и образцами выполнения

Цель алгебраических преобразований:

При решении задач с помощью алгебры обычно приходится производить арифметические действия над алгебраическими выражениями. Причем непосредственно записанный результат получается в виде нового и часто более сложного выражения.

Пусть, например, требуется к сумме двух чисел а и b прибавить их разность. Записывая указанные действия, мы получим результат в таком виде:

Однако это выражение можно упростить, если воспользоваться
свойствами сложения. Именно, в силу сочетательного и переместительного законов сложения, результат преобразуется так:

Выражения (a + b) + (a — b) и 2a равны тождественно, т. е. равенство между ними справедливо при всех значениях букв а и Ь. Переход от одного алгебраического выражения к другому, тождественно равному ему, называется тождественным преобразованием.

Такого рода преобразования, которые большею частью ведут к упрощению записи результата, почти всегда возможны при действиях над алгебраическими выражениями. Настоящая глава содержит описание приемов, применяемых при’ таких преобразованиях. Этому же вопросу посвящены и две следующие главы.

Типы алгебраических выражений

Определение:

Алгебраические выражения, представляющие собой запись арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень), производимых над числами и буквами, называются рациональными алгебраическими выражениями.

Рациональное выражение называется целым, если среди указанных в нем действий нет действия деления на выражение, содержащее буквы. Если же такое действие имеется, то выражение называется дробным. Так, выражения

являются целыми. В последнем примере указано действие деления, но выражение 43 — 35, на которое нужно делить, не содержит букв. В то же время выражения :

являются выражениями дробными.

Заметим, что дробное алгебраическое выражение мажет равняться целому. Так, Поэтому рациональные выражения разделяют на целые и дробные в том виде, в котором они заданы непосредственно, до всяких преобразований.

В этой главе мы будем заниматься преобразованием только целых выражений. Среди целых выражений особенно простыми являются так называемые одночлены.

Одночленами называются произведения, составленные из числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких букв, каждая из которых взята в некоторой степени.

Числа, выраженные цифрами (т. е. не обозначенные буквами), также причисляются к одночленам. Коэффициенты в одночленах могут быть целыми и дробными, положительными и отрицательными. При записи одночлена принято писать коэффициент впереди множителей, выраженных буквами. Например,

представляют собой одночлены.

Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом. Например,

Одночлены, входящие в многочлен, называются его членами. Говорят, что многочлен составлен из своих членов. Так, многочлен составлен из одночленов ,и 5.

Одночлены целесообразно рассматривать как частный случай многочленов, именно как многочлены, составленные только из одного члена. Многочлены, составленные из двух членов, называются двучленами, из трех членов — трехчленами.

Отметим следующие свойства одночленов и многочленов.

Одночлен не изменяется, если переставить местами множители, из которых он составлен. Например,

Это свойство одночлена непосредственно следует из переместительного закона умножения.

Многочлен не изменяется, если как угодно изменить порядок
его слагаемых. Например,

Справедливость этого свойства следует из переместительного закона сложения.

§ 3. Приведение подобных членов

Рассмотрим многочлен 5аb — 3аb + 4ab — с. Его можно упростить,
так как члены 5аb, —3ab и 4ab отличаются друг от друга только численными коэффициентами. Такие члены можно соединить в один. Действительно, на основании распределительного закона

Члены многочлена, равные или отличающиеся только коэффициентами, называются подобными. Так, члены 5аb, — 3ab и 4ab подобны.

Если многочлен содержит подобные члены, то его можно упростить по следующему правилу: если многочлен содержит несколько подобных членов, то их можно соединить в один, подобный каждому
из них, приняв за его коэффициент алгебраическую сумму
коэффициентов соединяемых членов. Упрощение многочленов по этому правилу называется приведением подобных членов.

Пример:

Привести подобные члены в многочлене

Решение:

В этом примере имеются две группы подобных членов: (подчеркнутые один раз) и — 4а, 6а (подчеркнутые дважды). Члены первой группы объединяются в

члены второй группы в (- 4+6)a = 2a. Итак,

Правило приведения подобных членов основывается на следующих соображениях. Прежде всего можно на основании переместительного закона расположить члены многочлена так, чтобы все подобные члены оказались рядом. Затем на основании сочетательного закона можно произвести сложение в каждой группе подобных членов. На основании распределительного закона сложение подобных членов сводится к сложению их коэффициентов.

Если многочлен содержит два одночлена, отличающиеся только знаком, то их можно вычеркнуть. Действительно, такие два члена при сложении взаимно уничтожаются, т. е. дают в сумме нуль. Например,

Сложение и вычитание многочленов

Правило. Для того чтобы сложить два или несколько многочленов, нужно сложить все одночлены, из которых эти многочлены составлены.

Затем для упрощения результата следует привести подобные члены.

Правило сложения многочленов непосредственно следует из сочетательного закона сложения.

Правило. Для того чтобы вычесть многочлен из многочлена, нужно к членам уменьшаемого прибавить члены вычитаемого, взятые с противоположными знаками.

Здесь тоже следует .привести подобные члены для упрощения результата.

Правило вычитания многочленов нуждается в некотором пояснении. Мы знаем, что вычесть какое-нибудь число все равно, что прибавить противоположное. Легко видеть, что если некоторое число выражено в виде многочлена, то противоположное ему число равно многочлену, составленному из тех же членов, но взятых с противоположными знаками. Например,

Действительно, два таких многочлена при сложении дают в сумме нуль, так как их члены взаимно умножаются:

Итак, вычесть какой-нибудь многочлен, действительно, все равно, что прибавить многочлен, составленный из тех же членов, но с противоположными знаками.

После того как правила приведения подобных членов, сложения и вычитания многочленов уже освоены, при сложении и вычитании многочленов нет необходимости выписывать промежуточные результаты. Следует сразу писать ответ, осуществляя раскрытие скобок и приведение подобных членов в уме. Например,

При этом нужно аккуратно учитывать знаки коэффициентов. Коэффициенты одночленов, взятых из скобок^ перед которыми стоит знак , нужно брать без изменения, коэффициенты одночленов, взятых из скобок, перед которыми стоит знак , нужно брать с»
противоположными знаками.

Умножение степеней одной буквы и возведение степени в степень

Пример:

Умножить на

Решение:

есть произведение пяти множителей, каждый из
которых равен а. Далее, есть произведение трех множителей,
равных а. Следовательно, есть произведение восьми
множителей, равных а, т. е.

Также можно рассуждать при любых показателях степени, и мы приходим к следующему правилу.

Правило. Произведение степеней с одинаковыми основаниями
равно степени с тем же основанием и с показателем, равным
сумме показателей.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Это правило записывается в виде следующей формулы:

Правило применимо не только к преобразованию произведения двух множителей, являющихся степенями одной буквы, но и к преобразованию произведения любого числа множителей этого вида. Например,

Обратимся теперь к возведению степени в степень.

Пример:

Возвести в куб.

Решение:

Правило. Результат возведения степени в степень равен степени с тем же основанием и с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии.

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Правило записывается следующей формулой:

Умножение одночленов

Пример:

Перемножить одночлены

Решение:

Мы решили пример следующим образом. Сначала на основании переместительного закона умножения мы изменили порядок множителей так, что коэффициенты оказались рядом и степени одинаковых букв оказались рядом. После этого на основании сочетательного закона умножили коэффициенты и умножили степени с одинаковыми основаниями.

Таким же образом мы можем выполнить умножение любых одночленов.

Правило. Чтобы перемножить два (или больше) одночлена, нужно перемножить их коэффициенты и затем приписать каждую букву, входящую в умножаемые одночлены, с показателем, равным сумме показателей, с которыми эта буква входит в одночлены. Если какая-либо буква входит только в один одночлен, переписать ее с тем же показателем.

Возведение одночлена в степень

Пример:

Решение:

Так же производится возведение в степень с любым показателем произведения, составленного из любого числа множителей.

Именно, степень произведения нескольких чисел равна произведению степеней множителей с тем же показателем.

Это правило легко применяется к возведению в степень любого одночлена.

Пример:

Конечно, при возведении одночлена в степень нет необходимости записывать промежуточный результат. Следует сразу писать ответ.

Пример:

Умножение многочлена на одночлен

Пример:

Решение:

Здесь нужно умножить сумму чисел и на числoСогласно распределительному закону умножения, нужно каждое слагаемое умножить на это число и сложить результаты. Итак,

Точно таким же образом можно поступать всегда при умножении многочлена на одночлен. Мы пришли к следующему правилу.

Для того чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и результаты сложить.

Конечно, после некоторой тренировки нет необходимости записывать промежуточный результат. Следует писать ответ сразу, выполняя умножение одночленов в уме.

Пример:

Замечание:

Если многочлен не содержит подобных членов, то и при умножении его на любой одночлен получится многочлен, не содержащий подобных членов. Таким образом, при умножении многочлена на одночлен приведение подобных членов в результате умножения невозможно, если только его нельзя было сделать еще до умножения.

Умножение многочлена на многочлен

Пример:

Перемножить многочлены а+2b и За— 2b.

Решение:

Всякий многочлен, в частности многочлен За— 2b , выражает запись результата определенных действий над числами и в конце концов обозначает некоторое число. Поэтому при умножении суммы на это число можно пользоваться распределительным законом

Дальнейшие преобразования сводятся к знакомым для нас действиям— умножению многочлена на одночлен и сложению одночленов. Продолжая вычисления, получим

Сделаем еще один пример, на этот раз не прерывая выкладки рассуждениями.

Пример:

Мы приходим к следующему правилу:

Правило 1. Для того чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого множителя умножить на второй множитель, и сложить получившиеся результаты.

Умножение членов первого многочлена на второй можно произведи сразу, и это действие сводится к умножению членов первого многочлена на все члены второго. Таким образом, мы приходим к следующему правилу.

Правило 2. Для того чтобы перемножить два многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и результаты сложить.

Второе правило умножения многочленов сокращает запись по сравнению с первым. Рекомендуется, однако, сначала пользоваться первым правилом и переходить ко второму, когда первое правило уже освоено.

Правила умножения многочленов можно применять и к умножению равных многочленов, т. е. к возведению многочлена в квадрат.
Например,

Умножение нескольких многочленов

Умножение нескольких многочленов следует производить постепенно, объединяя множители каким-либо способом по два. Пример:

Расстановку квадратных скобок можно было, конечно, не делать, а сразу приступить к умножению первых двух множителей.

Пример:

Выполним умножение, объединив первый множитель со вторым, третий с четвертым:

Можно сразу производить умножение нескольких многочленов, руководствуясь следующим правилом:

Чтобы умножить несколько многочленов, нужно составить всеми возможными способами произведения членов, взятых по одному из всех перемножаемых многочленов, и сложить полученные результаты.

Приведем один пример на это правило с подробной записью:

Однако при пользовании этим правилом легко ошибиться, пропустив какую-нибудь комбинацию членов перемножаемых многочленов. Поэтому этим правилом следует пользоваться только в самых простых случаях, например при перемножении двучленов.

Умножение многочленов, содержащих одну букву

Члены многочлена, содержащего одну букву, целесообразно располагать в порядке убывания показателей степеней, с которыми эта буква в него входит. При этом если многочлен содержит так называемый свободный член, т. е. слагаемое, не содержащее букв, то его следует поставить на последнем месте. Например, многочлен после расположения его членов по
убывающим степеням принимает вид

Член многочлена, содержащий наибольшую степень буквы, называется старшим членом многочлена. Показатель степени в старшем члене называется степенью многочлена. Так, старший член многочлена и этот многочлен есть многочлен четвертой степени. Считается условно, что «многочлены»,
состоящие только из свободного члена, т. е. числа, выраженные цифрами, являются многочленами нулевой степени.

Очевидно, что при умножении многочлена, расположенного по
убывающим степеням, на какой-либо одночлен, зависящий от
той же буквы, получается в результате многочлен, также расположенный по убывающим степеням.

При умножении двух расположенных многочленов целесообразно подписывать результаты умножения отдельных членов одного
многочлена на другой друг под другом, сдвигая начало записи так, чтобы подобные члены оказывались в одном столбце. В случае, если степени идут не подряд, следует оставлять между соответствующими одночленами пустые места, так как может оказаться, что, хотя в первой строке одночлен, содержащий некоторую степень буквы, отсутствует, в других строках появятся одночлены этой степени. Пример:

При такой записи умножение многочленов становится похожим на умножение многозначных чисел.

Заметим, что из правила умножения многочленов следует, что старший член произведения двух многочленов равен произведению старших членов множителей. Следовательно, степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. Так, при умножении многочлена пятой степени на многочлен третьей степени мы получим многочлен восьмой степени.

При умножении многочленов не очень высокой степени рекомендуется еще один способ, при котором, результат можно писать сразу, без записи промежуточных результатов. При пользовании этим способом некоторые несложные вычисления приходится производить в уме.

Рассмотрим один пример с подробным объяснением порядка действий.

Пример:

Решение:

Старший член произведения данных многочленов равен произведению их старших членов

Далее, в произведение могут входить члены, содержащие и свободный член.

Члены, содержащие получаются по следующей схеме:

Здесь соединены скобками все те слагаемые данных многочленов, при умножении которых получаются члены, содержащие Следовательно, коэффициент в произведении равен 1 • 5 + 3 • 1 =8.

Члены, содержащие получаются так:

Следовательно, коэффициент при равен равен

Коэффициент при в произведении

равен . Наконец, свободный член равен Наконец, свободный член равен

Итак, произведение равно

Ответ.

Конечно, при пользовании этим приемом не нужно переписывать произведение несколько раз, как мы это сделали при объяснении. Нужно прямо выписывать члены результата умножения один за другим, каждый раз сосредоточивая внимание на том, какие члены нужна перемножить, для того чтобы получить х в данной степени, и выполняя все необходимые вычисления в уме.

В особенно простых случаях описанный прием можно применять и при умножении нескольких многочленов.

Пример:

В последнем примере мы сразу записали результат умножения, воспользовавшись общим правилом умножения многочленов (§ 10): чтобы умножить многочлены, нужно составить всеми возможными способами произведения их членов, взятых по одному из каждого множителя, и сложить полученные результаты. Старший член произведения равен произведению старших членов множителей и, следовательно, равен . Далее смотрим, какие члены нужно умножить, чтобы получить одночлены, содержащие . Очевидно, что для этого- нужно из двух скобок взять первое слагаемое, а из третьей — второе и сделать этот выбор всеми возможными способами. Следовательно, коэффициент при равен 2 + 3 + 5 = 10.

Далее, х в первой степени получается при умножении первого слагаемого из одной скобки на вторые слагаемые из остальных двух. Поэтому коэффициент при x равен Наконец свободный член равен просто произведению свободных членов

Сокращенное умножение по формулам

При умножении многочленов часто повторяются некоторые типичные случаи, которые следует запомнить.

Формула 1.т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Доказательство:

Формула 2. т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Доказательство:

Формула 3. т. е. произведение
суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Доказательство:

Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул к умножению многочленов. При пользовании формулами следует помнить, что А и В в формулах обозначают любые числа, и в частности, эти числа могут быть выражены в виде одночленов или многочленов.

Пример:

Здесь можно применить формулу 2, принимая Применяя эту формулу, получим

Выписывать промежуточный результат с такой подробностью нет необходимости. По мере развития навыков в пользовании формулами нужно привыкать к возможно более краткой записи.

Пример:

Применяя формулу 1, положивполучим

Пример:

Здесь применена формула 3 при А = 5х, В = 4у.

Рассмотрим теперь более сложный пример.

Пример:

(За + 2b + 4c — d) (За+ 2b — 4с +d). Здесь прежде всего можно применить формулу 3, полагая А = 3а+2b;В = 4с — d. Сделав это, получим

А теперь можно применить формулы 1 и 2 для дальнейших преобразований. Получим

Несколько реже, но все же достаточно часто приходится пользоваться еще следующими формулами.

Формула4. т.е. куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, плюс куб второго числа.

Формула 5. т. е. куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго, минус куб второго числа.

Доказательства этих формул необходимо произвести самим учащимся.

Формула 6 читается так: произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел. Здесь «неполным квадратом разности» чисел А и В названо выражение Название это не точное, но образное и связано с внешним сходством выражения с выражением являющимся квадратом разности чисел A и В.

Таким же образом выражение участвующее в формуле 7, называется неполным квадратом суммы чисел A и В на основании внешнего сходства с выражением

Так что формула 7 читается так: произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

Наконец формула 8 читается так: квадрат суммы нескольких чисел равен сумме их квадратов плюс всевозможные удвоенные произведения этих чисел, взятых по два.

Рассмотрим несколько примеров на. применение формул 4—8.

Пример:

Пример:

Пример:

Здесь результат пишется сразу, как только обнаружено, что второй множитель есть «неполный квадрат разности» чисел 5x и 3у.

Пример:

Здесь применена формула 8.

Пример:

Решение:

Решим этот пример тремя способами:

Здесь мы сначала преобразовали как квадрат суммы, а затем умножили многочлены по общему правилу умножения многочлена на многочлен.

Здесь мы разбили квадрат суммы на «неполный квадрат суммы» и одночлен 2ab, а затем воспользовались распределительным законом и формулой 7.

Способ 3.

В заключение обзора формул сделаем следующее, общее замечание. Всякое преобразование произведения многочленов, которое совершается при помощи формул 1—8, может быть проведено и без применения формул, посредством общих правил умножения многочлена на многочлен. Формулы 1—8 позволяют только в некоторых случаях упростить и сократить вычисления. Поэтому, формулы 1—8 называют формулами сокращенного умножения.

Применение формул сокращенного умножения к устным вычислениям

Формулы сокращенного умножения применяются не только к умножению многочлена на многочлен. Они с успехом могут быть применены к многим вычислениям над числами. Рассмотрим несколько таких примеров.

Пример:

Вычислить 19 • 21

Решение:

Достаточно заметить, что 19 = 20 — 1 и 21 = 20+1, чтобы, воспользовавшись формулой 3, сразу сказать результат. Именно,

Пример:

Как получен этот результат?

Решение:

При помощи формулы 1

Пример:

Пример:

Таким образом, формулы сокращенного умножения удобно применять:

1. При умножении чисел, представляющих собой сумму и разность двух чисел, каждое из которых легко возвести в квадрат.
2. При возведении в квадрат двузначных чисел, близких к «круглым» числам.

Покажем некоторые другие применения. Часто приходится возводить в квадрат числа, очень близкие к единице, причем результат нужно знать приближенно с тем же числом знаков после запятой, с которым дано число, возводимое в квадрат. Например,

Обобщая эти два примера, приходим к следующему выводу. Если а есть очень маленькое по абсолютной величине число, положительное или отрицательное, то

Точное равенство имеет вид Но число

меньше абсолютной величины а во столько же раз, во сколько абсолютная величина а меньше 1. Поэтому, если а очень мало по абсолютной величине, то будет исчезающе малым по сравнению с остальными слагаемыми.

Таким же образом из формулы для куба суммы мы получим приближенную формулу для куба числа, близкого к единице. Именно,

Посмотрим на примере, насколько эта формула точна.

Пример:

Последние два слагаемых исчезающе малы по сравнению с первыми, так что действительно что соответствует указанной приближенной формуле.

Наконец,, формула 3 дает при малых а следующий результат:

Например,

Некоторые выводы

Мы условились рассматривать одночлены как частный случай многочленов, именно как многочлены, составленные из одного члена. Воспользуемся этим соглашением и сделаем следующие выводы:

1. Сумма и разность двух многочленов есть многочлен.
2. Произведение двух многочленов есть многочлен.

А из этих выводов непосредственно следует такая общая теорема:

Всякое целое алгебраическое выражение равно некоторому многочлену.

Или, что то же самое:

Всякое целое алгебраическое выражение может быть преобразовано к виду многочлена.

Действительно, целое алгебраическое выражение есть запись действий сложения, вычитания и умножения (в том числе и умножения равных множителей, т. е. возведения в степень) над числами, часть которых обозначена буквами. Как заданные числа, так и отдельные буквы представляют собой одночлены.

Произведя над ними одно за другим указанные действия, мы будем получать результаты в виде многочленов в силу сформулированных выше выводов. И, наконец, окончательный результат тоже будет иметь вид многочлена, что и требовалось доказать. Например,

Заметим еще, что всякий многочлен равен некоторому
приведенному многочлену, т. е. многочлену, не содержащему подобных членов. Действительно, если многочлен содержит подобные члены, то их можно привести. В силу этого всякое целое алгебраическое выражение можно преобразовать к виду приведенного многочлена.

Цепочка тождественных преобразований называется алгебраической выкладкой. Таким образом, в настоящей главе даны правила проведения выкладки, посредством которой всякое целое алгебраическое выражение может быть преобразовано к виду приведенного многочлена.

Очевидно, что если два приведенных многочлена составлены из одинаковых одночленов, то они равны тождественно, т. е. их значения равны при всех численных значениях входящих в них букв. Верна также и обратная теорема:

Теорема о тождестве. Если два приведенных
многочлена равны тождественно, та они составлены из oдинаковых одночленов.

Доказательство теоремы о тождестве довольно сложно и выходит за рамки курса элементарной алгебры.

Эти две теоремы дают возможность ответить на такой вопрос. Пусть даны два целых алгебраических выражения. Равны они тождественно или нет? Для решения этого вопроса достаточно привести каждое из выражений к виду приведенного многочлена. Если при этом окажется, что полученные многочлены составлены из одинаковых одночленов, то данные выражения тождественно равны. Если же полученные многочлены окажутся различными, т. е. составленными из неодинаковых одночленов, то данные выражения не равны тождественно.

Пример:

Решение:

После преобразований выражение, находящееся в левой части равенства, оказалось равным и выражение, находящееся в правой части равенства, тоже равно . Тождество доказано.

Пример:

Рассмотрим два выражения

Они имеют ряд одинаковых значений. Действительно, при х = 0 они оба равны нулю; при х = 1 каждое из них равно 4 • 2 = 8; при х = 2 первое равно 10 • 8 = 80, второе равно 16 • 5 = 80; при х = 3 первое равно 18 • 20 = 360,
второе 36 • 10 = 360. Может быть они равны тождественно? Для выяснения этого вопроса раскроем скобки:

Таким образом, данные выражения преобразуются в различные приведенные многочлены, и следовательно, они не могут равняться тождественно. И действительно, они принимают различные значения, например при первое выражение равно второе — равно

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института