Как упростить уравнение 5 класс математика

Упрощение выражений

Содержание

В математическом мире существует большое количество выражений, которых трудно решить без упрощения. Помимо этого, упрощение математических примеров используется для того, чтобы быстрее и правильнее решить задание.

Давайте рассмотрим пример, и не забывайте, что для этого нам понадобятся знания правил умножения, вычитания и сложения:

В данном случае, сначала мы можем посчитать сумму в скобках, а затем умножить на 3. Но далеко не всегда такой способ будет удобным при решении задач. Если цифры будут слишком большими — это будет попросту неудобно. Для облегчения решения нам нужно будет упростить данное выражение. Теперь рассмотрим пример его упрощения:

Сейчас мы видим, что выражение значительно изменилось. При этом, ответ будет точно таким же, как и в первом случае. Такой вид выражения не только легче и быстрее решать, но и помогает избежать ошибок при вычислении. Итак, как же правильно следует применять правила упрощения выражений и как решать уравнения с их помощью?

Правила упрощения

Существует всего два правила по упрощению выражений с умножением. Их называют распределительными свойствами умножения относительно сложения и вычитания. Давайте их разберем:

Для того чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число первое и второе слагаемое, а затем сложить получившиеся произведения.

С помощью букв данное правило записывают так: $(a+b)\cdot c=ac+bc$

Если нам нужно умножить разность на число, то следует умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого произведения вычесть второе.

Буквенное выражение данного свойства выглядит следующим образом: $(a-b)\cdot c=ac-bc$

Решение уравнений с применением упрощения выражений

Правила упрощения выражений работают и в обратную сторону, то есть позволяют вынести разность или сумму в скобки, а число, на которое нужно умножить — за скобки. Именно поэтому их используют для решения уравнений. Разберем на примере:

Для того чтобы сложить два числа с $x$, нам нужно применить уже изученное нами распределительное свойство:

Благодаря данному упрощению мы сможем до конца решить наше уравнение:

Упрощения выражений — формулы и примеры для 5 класса

Общие сведения

Принцип решения любой математической задачи основан на получении оптимального ответа, который в дальнейшем возможно будет применить для других целей (доказательства теорем, тождеств, получения промежуточных величин). Оптимизация результата состоит из операций, имеющих собственный приоритет. Последний соответствует порядковому номеру элемента в списке:

1. Раскрытие скобок.
2. Возведение в степень, которая может быть целой и представленной в виде обыкновенной дроби (корень).
3. Произведение.
4. Частное или деление.
5. Сумма.
6. Разность.

В первом случае компоненты выражения группируются посредством скобок. В математике принято использовать только круглые, т. е. «()». Однако допускаются квадратные «[]», но некоторые начинающие математики иногда группируют элементы выражения при помощи фигурных скобок «<>». Это делать не рекомендуется, поскольку последние обозначают в дисциплинах с физико-математическим уклоном общее решение.

Иногда новички не знают, что возведение в степень и извлечение корня являются двумя эквивалентными операциями. Это утверждение легко доказывается. Например, квадратный корень из 36 эквивалентен 6. Знак радикала можно заменить степенью, имеющей вид обыкновенной или десятичной дроби, т. е. (36)^(½)=√36=6.

Произведение не всегда обладает высшим приоритетом, чем деление. Для удобства вычислений можно сначала разделить, а затем умножить. Например, требуется найти значение выражения «3*81:9». Его можно решить, основываясь на приоритетах или удобстве вычислений (оптимизации). Для сравнения расчетов нужно решить равенство двумя способами:

При решении получены одинаковые результаты. Следует отметить, что простой метод — второй. Операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Упростить выражение — означает, что необходимо преобразовать его из сложной формы представления в простую. Иными словами, операция называется оптимизацией результата.

Оптимизация выражений применяется при решении уравнений (равенств с неизвестными величинами) любой сложности и доказательства теорем. Это базовые знания, необходимые для упрощения выражений в 5 классе.

Базовые знания

Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:

1. Приведение общих компонентов.
2. Правила раскрытия скобок.
3. Работа со степенями.
4. Действия над знаменателями обыкновенных дробей и их сокращение.
5. Соотношения сокращенного умножения.

По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.

Приведение подобных элементов

Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Приведению подлежат только эквивалентные компоненты.
2. Операция выполняется только при арифметическом сложении и вычитании, а не делении и умножении.
3. Компоненты равные по модулю, но противоположные по знаку, уничтожаются, т. к. в сумме дают нулевое значение.
4. В любом выражении можно использовать противоположные числа, поскольку их общее значение не влияет на результат.

В первом случае нужно привести пример тождества следующего вида: 2+5t+4+5t^2+2t-4t^2. Чтобы его упростить, необходимо сгруппировать подобные компоненты, т. е. (2+4)+(5t+2t)+(5t^2-4t^2). Далее следует сложить компоненты между собой, т. е. 6+7t+t^2.

Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2+(-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.

Раскрытие скобок

Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:

1. Произведение на сумму или разность: r(s+t)=rs+rt или r(s-t)=rs-rt.
2. Деление суммы или разности: (s+t)/r=s/r+t/r или (s-t)/r=s/r-t/r.
3. Сгруппировать любые компоненты и поменять их местами с сохранением логики тождества: 3+4+11+7+19+33+23=(3+4+23)+(19+11)+(7+33)=30+30+40=100.

В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5+4-1+7». Для доказательства следует решить его двумя способами:

Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.

Работа со степенями

В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:

Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.

Оптимизация обыкновенных дробей

Практически во всех заданиях или тренажерах большая часть примеров представлена в виде обыкновенной дроби вида s/t, которую нужно сократить. Иногда необходимо произвести операции произведения или деления одной величины на другую (буквенное обозначение — s/t и w/v), а также сложения и вычитания. При последних операциях всегда необходимо приводить дробные тождества к общему знаменателю. Эта операция осуществляется следующим образом:

1. Если знаменатель одной дроби делится нацело на другой, следует оставить первый, записав множитель над второй величиной. Например, 4/5 + 4/25=(4*5+4*1)/25=24/25.
2. Когда v и t не делятся друг на друга, не имеют общих множителей, их нужно перемножить между собой, записав множители над числителями.
3. Если v и t содержат общие множители, единый знаменатель эквивалентен наименьшему общему кратному (НОК).

В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.

Сокращенное умножение

Для решения задач очень часто применяются формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях тождества «собираются» в них или, наоборот, для сокращения нужно расписать элементы по множителям (правая часть равенства). Соотношения имеют следующий вид:

1. Квадрат суммы и разности двух чисел: (w+v)^2=w^2+2wv+v^2 и (w-v)^2=w^2-2wv+v^2.
2. Разность квадратов и кубов: w^2-v^2=(w+v)(w-v) w^3-v^3=(w-v)(w^2+wv+v^2).
3. Куб суммы компонентов и их разности: (w+v)^3=w^3+3wv^2+3vw^2+v^3 и (w-v)^3=w^3-3wv^2+3vw^2-v^3.

Cледует отметить, что в некоторых случаях к формуле сокращенного умножения тождество следует «подвести», воспользовавшись свойством отнимания и прибавления одного и того же значения. Например, необходимо из некоторого выражения (2t^2-60) выделить одну из формул. Это делается следующим образом:

1. Выносится общий множитель за скобки: 2(t^2-30).
2. Прибавляется и отнимается 6: 2(t^2-30+6-6).
3. Группируются элементы и записывается формула: 2(t^2-36+6)=2[(t-6)(t+6)+6].

Иногда в более сложных выражениях приходится применять несколько соотношений. Если тождество является дробью, обязательно следует проверить условие неравенства знаменателя нулевой величине. Для этой цели следует решить соответствующее уравнение, вычислив его корни. Последние должны привести к пустому множеству, т. к. на 0 делить нельзя. Вот именно их и необходимо исключить, записав условие, т. е. t!=-9.

Таким образом, для грамотной оптимизации математических выражений необходимо пользоваться рекомендациями специалистов, правилами и методиками, поскольку их несоблюдение могут существенно повлиять на результаты вычислений.

Урок 23 Бесплатно Упрощение выражений

Нам уже известно, что одну и ту же информацию можно представить в различных формах: в словесной форме и в символьной.

Кроме того, в словесной форме одну и ту же информацию можно произнести или записать по-разному.

Рассмотрим поясняющий пример.

Прочитаем внимательно следующие три предложения:

1. «Лида- сестра Марины».

2. «Марина- сестра Лиды».

3. «Лида с Мариной сестры».

Заметим следующее: сказаны и записаны данные утверждения по-разному, однако имеют один и тот же смысл.

Рассмотрим еще одно утверждение.

«Девочка Наташа и девочка Света учатся в одном классе.»

Попробуем записать данное предложение короче и проще, сохранив при этом его смысл.

Объединим два словосочетания «девочка Наташа» и «девочка Света» в одно.

Запишем «девочки Наташа и Света».

В результате получим такую фразу: «Девочки Наташа и Света учатся в одном классе».

В целом смысл предложения остался прежним, а предложение стало короче.

Наташа и Света- имена женского рода, и так ясно, что Наташа и Света девочки.

Уберем из предложения слово «девочки» и посмотрим, что получится.

«Наташа и Света учатся в одном классе».

Предложение заметно сократилось, а смысл исходного утверждения сохранился.

Фразу «учатся в одном классе» можно заменить одним словом «одноклассницы».

В таком случае получаем следующее предложение: «Наташа и Света- одноклассницы».

С помощью некоторых преобразований у нас получилось сократить и упростить исходное предложение.

Другими словами, нам удалось заменить исходное предложение эквивалентным ему, сохранив при это его смысл.

Аналогичная ситуация складывается с высказываниями, записанными с помощью математического языка.

Математическое утверждение, записанное в символьной форме, с помощью некоторых преобразований, можно из сложного и громоздкого превратить в простое и короткое.

Сегодня на уроке мы выясним, что значит упростить математическое выражение.

Вспомним, что такое числовое и буквенное выражение.

Познакомимся с различными методами преобразования арифметических и алгебраических выражений.

Разберем большое количество примеров, помогающих понять и усвоить материал по данной теме.

Упрощение выражения. Тождественные преобразования

Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.

Выражение не может представлять собой случайный набор математических символов и знаков.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовые выражения еще по-другому называют арифметическими выражениями.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, входящих в выражение, называют значением этого числового выражения.

В таком случае, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

Числовое выражение всегда имеет одно верное решение.

Решить арифметическое выражение- значит найти его значение, которое превращает это выражение в верное равенство.

В буквенных выражениях, наряду с числами, знаками математических операций и другими специальными математическими символами содержатся еще и буквы- переменные.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Буквенные выражения часто называют алгебраическими выражениями.

Алгебраические выражения должны быть составлены в соответствии со всеми математическими правилами и по тому же принципу, что и числовые выражения.

Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.

Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.

Вычисления в алгебраических выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численные значения.

Найти значение алгебраического выражения- значит найти значение выражения при заданном значении переменной.

Значение переменной, при котором алгебраическое выражение обращается в верное равенство, называют допустимым значением этой переменной.

Простые арифметические и алгебраические выражения вам уже хорошо знакомы, значения таких выражений находили не раз, выполняя в определенной последовательности математические операции.

Однако, часто можно встретить выражения, которые имеют сложный и громоздкий вид, значение, которых сложно найти, используя только правила выполнения математических операций.

Чтобы привести математическое выражение к виду, удобному для дальнейшего решения, используют различные тождественные преобразования.

Тождественным преобразованием называют замену одного выражения на другое, тождественно равное исходному.

Часто в словосочетании «тождественные преобразования выражения» слово «тождественные» опускают и произносят просто «преобразования выражения».

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Основные способы упрощения выражений

Упростить выражение- значит найти эквивалентное ему выражение, которое будет короче (содержащее минимум знаков, символов, математических операций) и проще для вычислений и дальнейших преобразований.

После упрощения выражения значение этого выражения остается прежним.

Упрощение выражений выполняется на основе свойств математических операций над числами, не зависимо от того арифметическое это выражение или алгебраическое.

Изученные нами раннее свойства сложения, вычитания, умножения, деления позволяют преобразовывать и упрощать математические выражения.

Рассмотрим основные методы упрощения математических выражений.

1. Метод группировки

Сочетательное и переместительное свойства сложения и умножения часто используют для преобразования выражений.

Удобно использовать переместительное и сочетательное свойства, группируя числа, объединяя их по определенному признаку, чтобы в результате они давали круглые числа или легко считались.

Группировка слагаемых подразумевает объединение в группы нескольких слагаемых.

Группировка множителей- это объединение нескольких множителей в группы.

Упростим числовое выражение 242 + 183 +58 + 17.

Для упрощения данного выражения воспользуемся переместительным и сочетательным свойством сложения.

Сгруппируем числа 242 и 58 и числа 183 и 17.

Упростим числовое выражение 12 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 1.

Воспользуемся переместительным свойством умножения.

Сгруппируем числа 12 и 5 и числа 9 и 1.

Рассмотрим пример упрощения буквенного выражения.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Важно помнить, что буквенное выражение (алгебраическое выражение) всегда содержит хотя бы одну букву.

(Например, алгебраическими выражениями можно считать а + 12; b ÷ 3; х — 15 + 6 и т.д.)

Буквенные выражения так же могут содержать несколько одинаковых букв или состоять из разных букв.

(Например, а + 4а — 3; b÷ 3; х — 15у + 26 и т.д.).

Число, стоящее перед переменными, называют числовым коэффициентом выражения.

Коэффициент обычно пишут перед буквенным множителем.

Если нет коэффициента перед буквой или произведением букв, то считается, что он равен единице.

Так как любое число, умноженное на единицу (или единицы на любое число), равняется самому себе.

Например, а ∙ b ∙ c = 1 ∙ а ∙ b ∙ c.

Выражение может состоять только из букв.

(Например, (а + b) — c; х + у — z; a ∙ b и т.д.)

Разные буквы имеют различное значение.

А если в выражении встречается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и тоже значение.

Чтобы не путаться, можно для каждой буквы образно представить свой предмет.

Например, рассмотрим выражение 7x— 4y + y.

Представим, что x— это мороженное, y-это конфеты.

В результате получим: 7 мороженных минус 4 конфеты и плюс еще 1 конфета.

Невозможно из мороженного вычесть конфеты, однако конфеты с конфетами сложить можно.

4 конфеты + 1 конфета = 5 конфет.

Чтобы сложить слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, необходимо сложить коэффициенты и результат умножить на буквенную часть.

В итоге для нашего выражения получим следующее.

4y и y имеют одинаковую буквенную часть- это переменная y, следовательно,

4y + y = (4 + 1)y = 5y.

Запишем тождественное равенство.

7x— 4y + y = 7x— (4y + y) = 7x— 5y

Числа, которые имеют одинаковую буквенную часть, можно складывать и вычитать.

Упростим выражение 2а ∙ 4b ∙ 3c.

Сначала выполним перестановку множителей в исходном выражении, объединяя множители в одну группу

Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители.

2а ∙ 4b ∙ 3c = (2 ∙ 4 ∙ 3) ∙ (а ∙ b ∙ c) = 24 ∙ а ∙ b ∙ c

В полученном выражении число 24, стоящее перед буквенной частью a, b, c— это числовой коэффициент выражения.

Часто математические выражения содержат скобки.

Скобки имеют особое значение в выражении, например, указывают очередность арифметических операций.

Порой удобно избавиться от скобок и перейти к тождественно равному выражению без скобок, нежели производить в них вычисления.

2. Упрощение выражений со скобками (раскрытие скобок).

Перейти от выражения со скобками к выражению без скобок- это значит раскрыть (опустить) скобки.

Правило раскрытия скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания.

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на число, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.

(a + b) c = ac + bc

Неважно с какой стороны располагается число с.

Таким образом, умножая число на сумму чисел, необходимо это число умножить на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить.

c (a + b) = ac + bc

Распределительное свойство умножения относительно вычитания выполняется аналогичным образом, соблюдая некоторые нюансы.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

(a — b) c = c (a — b) = ac — bc

Рассмотрим поясняющие примеры.

Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а + 3b).

Умножим каждое слагаемое на число 4.

Число 4— это общий множитель для каждого слагаемого, находящегося в скобке.

В нашем выражении- это общий множитель для слагаемых 2а и 3b.

Обычно, раскрывая скобки, промежуточные вычисления записывают в виде цепочки равенств.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b

Умножим первое слагаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Сложим полученные произведения 8а и 12b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b = 8а + 12b

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

В скобках может быть любое количество слагаемых.

Например, 10 ∙ (2a + 4b + b).

Упростим выражение 10 ∙ (2a + 4b + b).

Можно сначала сгруппировать слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть (в нашем выражении это 4b и b), затем раскрыть скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения.

Умножим каждое слагаемое, находящееся в скобке,на их общий множитель, равный 10.

Затем сложим полученные произведения.

10 ∙ (2a + 4 b + b ) = 10 ∙ (2a + 5 b ) = 10 ∙ 2а + 10 ∙ 5b = 20а + 50b.

Второй вариант упрощения выражения 10 ∙ (2a + 4b + b) заключается в следующем:

Первым делом, раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения, умножим все три слагаемых 2a, 4b, b на их общий множитель, число 10.

Для этого коэффициенты каждого слагаемого умножить на общий множитель 10

10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40b + 10b

Затем сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью (в нашем случае это 40b и 10b) и найдем их сумму.

В результате получаем следующее равенство:

10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40 b + 10 b = 20a + 50b

В первом и во втором варианте тождественные преобразования привели к одному результату 20a + 50b, в полученном выражение отсутствуют скобки, количество арифметических операций уменьшилось

Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а — 3b).

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Умножим уменьшаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и с вычитаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Затем из первого полученного произведения вычтем второе.

В результате получим следующее равенство:

4 ∙ (2а — 3b) = 4 ∙ 2а — 4 ∙ 3b = 8а — 12b.

Рассмотрим правила раскрытия скобок при делении.

Распределительное свойство деления справедливо только в том случае, если скобки стоят в делимом

(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c

(a — b) ÷ c = a ÷ c — b ÷ c

Например, раскроем скобки в выражении (20а + 30b) ÷ 5.

Разделим каждое слагаемое на число 5.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5

Разделим первое слагаемое 20а на 5, для этого необходимо коэффициент 20 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 4а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 30 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 6b.

Сложим полученные частные 4а и 6b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5 = 4а + 6b

Однако, если скобки расположены в делителе, т.е. число делят на сумму чисел, то необходимо выполнить действия в скобках (если это возможно), и только потом делимое число разделить на результат, полученный в скобках.

3. Вынесение общего множителя за скобки.

Выражения (a + b) c и ac + bc согласно распределительному свойству умножения имеют одно и то же значение, т.е. распределительный закон умножения можно применять в обратную сторону- выносить общий множитель за скобки.

a c + b c = (a + b) c = c (a + b)

Неважно с какой стороны расположен общий множитель.

Необходимо иметь ввиду, что общим множителем может быть не только число, но и буква или несколько букв, а порой, даже целое выражение.

Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение 7а + 7b.

Произведения 7а и 7b имеют общий множитель число 7.

Вынесем общий множитель за скобки, исходное выражение примет вид 7 (а + b).

Мы по сути получили произведение общего множителя и выражения в скобках, записанного без общего множителя.

Общий вид решения будет выглядеть так:

7а + 7b = 7 (а + b).

Упростим выражение 3х — 2х + 1.

В данном выражении 3х и 2х имеют в своей записи множитель х— это их общий множитель.

Вынесем общий множитель (переменную х) за скобку.

3 х — 2 х + 1 = х ∙ (3 — 2) + 1

Выражение в скобках можно вычислить (3 — 2 = 1).

Решением в общем виде будет выглядеть так:

3 х — 2 х + 1 = х ∙ (3 — 2) + 1 = х ∙ 1 + 1 = х + 1.

Упростим выражение 8х + 2у.

Слагаемые 8х и 2у имеют общий множитель 2, так как 8 представляет собой произведение двух чисел 4 ∙ 2, т.е. исходное выражение можно записать следующим образом:

4 ∙ 2 ∙ х + 2 у.

Вынесем общий множитель (число 2) за скобку, получим

4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).

Решение в общем виде будет записываться так:

8х + 2у = 4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).

За скобки можно выносить даже целое выражение.

Упростим выражение 4аb + 2b.

Так как 4 = 2 ∙ 2, то 4аb и 2b имеют общий множитель 2.

Кроме того, данные слагаемые имеют одинаковую букву- это буква b, следовательно, 4аb и 2b имеют общий множитель в виде произведения 2b.

Исходное выражение запишем так:

2 ∙ 2а b + 2 b

Вынесем общий множитель 2 b за скобку.

4аb + 2b = 2 ∙ 2а b + 2 b = 2 b (2а + 1).

Проверим верно ли мы упростили выражение.

Выполним обратное действие, раскроем скобки.

Известно, при умножении любого числа на единицу (или единицы на число) получится само это число.

В результате получится равенство

2b ∙ (2а + 1) = 2 b ∙ 2а + 2 b ∙ 1 = 2 ∙ 2 ∙ a ∙ b + 2b = 4аb + 2b.

В итоге получили выражение 4аb + 2b, которое требовалось упростить.

Упрощение математических выражений часто используют при решении уравнений и текстовых задач, решаемых с помощью уравнений.

Решим уравнение 12у + 3у — 2 = 28.

Найдем значение у, при котором данное уравнение превратится в верное равенство.

Первым делом упростим левую часть равенства.

12у и 3у имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 12 и 3 и результат умножим на их буквенную часть).

12у + 3у = 15у

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

15у — 2 = 28

В этом уравнении уменьшаемое представлено не просто числом, а буквенным выражением 15у.

Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (15у), необходимо к разности (28) прибавить вычитаемое (2).

15у = 28 + 2

15у = 30

Неизвестное у в данном уравнении является множителем.

Чтобы найти неизвестный множитель (у), нужно произведение (30) разделить на известный множитель (15).

у = 30 ÷ 15

у = 2

Выполним проверку найденного корня.

В исходное уравнение 12у + 3у — 2 = 28 вместо неизвестного числа (у) подставим найденный корень у = 2.

12 ∙ 2 + 3 ∙ 2 — 2 = 28

24 + 6 — 2 = 28

28 = 28

Значение левой и правой части равенства одинаково, значит корень уравнения найден верно.

Ответ: у = 2.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

12у + 3у — 2 = 28

15у — 2 = 28

15у = 28 + 2

15у = 30

у = 30 ÷ 15

у = 2

12 ∙ 2 + 3 ∙ 2 — 2 = 28

24 + 6 — 2 = 28

28 = 28

Значит корень уравнения найден верно.

Ответ: у = 2.

Рассмотрим пример текстовой задач, которую можно решить с помощью уравнения.

В двух корзинах было 9 килограммов ягод.

В первой корзине в 2 раза больше ягод, чем во второй.

Сколько килограммов ягод было в каждой корзине?

Пусть х (кг) ягод было в первой корзине.

По условию во второй корзине было ягод в 2 раза больше, тогда

2х (кг) ягод было во второй корзине.

Зная, что в двух корзинах было 9 (кг) ягод, составим уравнение.

х + 2х = 9

Упростим левую часть равенства.

х и 2х имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 1 и 2 и результат умножим на их буквенную часть.)

1х + 2х = 3х

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

3х = 9

Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель (х).

Чтобы найти неизвестный множитель (х), нужно произведение (9) разделить на известный множитель (3).

х = 9 ÷ 3

х = 3 (кг) ягод было в первой корзинке.

2х = 2 ∙ 3 = 6 (кг) ягод во второй корзинке.

Проверим найденные значения.

Сложим полученное количество ягод в первой и во второй корзинке.

3 кг + 6 кг = 9 (кг) было в двух корзинах.

Решение задачи найдено верно.

Ответ: 3 (кг), 6 (кг).

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации