Как упростить уравнение с корнем

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например:

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например:

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , воспользовавшись этим правилом.

1 . Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2 . Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3 . Задание В10( 26749) Найдите значение выражения .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

5 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения при 0″ title=»m>0″/>.

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основываясь на данном определении, мы имеем, что x — 1 , 8 3 · 3 6 — 1 2 · 3 , 7 — 4 · 3 · ( 2 + 3 ) , 4 · a 2 d 5 : d 9 2 · a 3 5 — это все выражения иррационального типа.

При рассмотрении выражения x · x — 7 · x + 7 x + 3 2 · x — 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Преобразовать выражение 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 .

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

81 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 — 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 — 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ: 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

Представить выражение x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.

x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 1 2 — 9

Представляем 9 в виде 3 2 , причем применим формулу разности квадратов:

x + 3 5 — 1 2 — 9 = x + 3 5 — 1 2 — 3 2 = = x + 3 5 — 1 — 3 · x + 3 5 — 1 + 3 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1 + 6 можно заменить на 7 или 2 · a 5 4 — 6 на 2 · a 4 · a 4 — 6 . Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

Когда не существует а 1 , отличное от a , где справедливо неравенство вида a n = a 1 n , тогда такое равенство возможно только при а = а 1 . Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

Использование свойств корней

Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , тогда из иррационального вида 1 + 3 · 12 можно стать тождественно равным 1 + 3 · 12 . Свойство . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , где a ≥ 0 говорит о том, что x 2 + 4 4 3 можно записать в форме x 2 + 4 24 .

Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то — 7 — 81 4 = — 7 4 — 81 4 записать не можем, так как формула a b n = a n b n служит только для неотрицательного a и положительного b . Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 7 4 81 4 .

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Внести под знак корня – значит заменить выражение B · C n , а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1 , равным выражением, которое имеет вид B n · C n или — B n · C n .

Если упростить выражение вида 2 · x 3 , то после внесения под корень, получаем, что 2 3 · x 3 . Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если имеется выражение вида B n · C n , тогда его приводят к виду B · C n , где имеется нечетные n , которые принимают вид B · C n с четными n , В и C являются некоторыми числами и выражениями.

То есть, если брать иррациональное выражение вида 2 3 · x 3 , вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2 · x 3 . Или x + 1 2 · 7 даст в результате выражение вида x + 1 · 7 , которое имеет еще одну запись в виде x + 1 · 7 .

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида ( 2 + 3 ) · x 4 x 2 + 5 3 , то числитель примет вид 5 · x 4 , а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x 2 + 5 6 . Исходную дробь можно будет записать в виде 5 · x 4 x 2 + 5 6 .

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

— x + 2 · x — 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x — ( — 3 · x 2 + 7 4 ) = x + 2 · x 3 · x 2 — 7 4

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

3 · x + 4 3 — 1 · x x + 4 3 — 1 3 сокращаем на x + 4 3 — 1 . Получим выражение 3 · x x + 4 3 — 1 2 .

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Если взять дробь вида 2 · x — y x + y , то необходимо вводить новые переменные u = x и v = x , тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2 · u 2 — v 2 u + v . Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

2 · u 2 — v 2 u + v = 2 · ( u — v ) · u + v u + v = 2 · u — v . После выполнения обратной замены придем к виду 2 · x — y , которое равно исходному.

Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x 3 — 1 0 , 5 · x , тогда приведем к знаменателю x . для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2 · x , тогда получаем выражение x 3 — 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 — 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 — 1 x .

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x 3 3 . После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 9 3 · x 3 .

Переход от корней к степеням

Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство a m n = a m n , то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5 — 2 3 , то иначе имеем право записать его как 5 — 2 3 . Эти выражения равнозначны.

Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни ( — 8 ) 3 5 и ( — 16 ) 2 4 степенями, тогда получаем, что — 8 3 5 и — 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.