Взаимное расположения прямых на плоскости с примерами решения
Содержание:
Взаимное расположения прямых на плоскости:
Бывают два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости: либо точка лежит на прямой в этом случае говорят, что прямая проходит через точку или точка не лежит на прямой иногда говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку.
Две прямые в плоскости могут пересекаться так как имеют общую точку или быть параллельными не имея общей точки. В пространстве может быть, когда две прямые не пересекаются, но они и не параллельны.
Определения
Два угла, на которые разбивается развернутый угол его внутренним лучом, называются смежными. Сумма мер двух: смежных углов равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла Вертикальные углы равны.
Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла две пары вертикальных углов. Меньший из них — угол между данными прямыми.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых Две прямые на плоскости называют параллельными, ест они не пересекаются.
Прямая, пересекающая две другие прямые, называется и: секущей. С двумя данными прямыми она образует 8 углов, не которые пары этих углов имеют отдельные названия:
- 1 и 3, 2 и 4 — внутренние накрест лежащие;
- 1 и 4,2 и 3 — внутренние односторонние;
- 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5 — соответственные;
- 5 и 7, 6 и 8 — внешние накрест лежащие;
- 5 и 8, 6 и 7 — внешние односторонние.
Признак параллельности прямых:
Две прямые параллельны, если с секущей они образу ют равные внутренние накрест лежащие углы, или равные соответственные углы, или такие внутренние одно сторонние углы, сумма которых равна 180°.
Свойства параллельных прямых:
Секущая с двумя параллельными прямыми образуя равные внутренние накрест лежащие углы, равные ее ответственные углы, такие внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямо» Две прямые, перпендикулярные к третьей, параллельны
Смежные и вертикальные углы
Два угла, на которые делится развернутый угол его внутренним лучом, называют смежными.
Одна сторона у смежных углов общая, а две другие — дополнительные лучи. Если точки А, О, В лежат на одной прямой, а С — произвольная точка, не принадлежащая прямой АВ, то углы АОС и СОВ — смежные (рис. 45).
Свойство смежных углов сформулируем в виде теоремы.
В математике теоремой называют каждое утверждение, истинность которого устанавливается путем логических рассуждений. Цепочку таких рассуждений называют доказательством.
В нашем учебнике теоремы напечатаны жирным шрифтом и пронумерованы.
Теорема: Сумма мер двух смежных углов равна 180°
Доказательство:
Объединение двух смежных углов является развернутым углом. Мера развернутого угла равна 180°. Значит, какими бы ни были смежные углы, сумма их мер равна 180°.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного являются дополнительными лучами сторон другого. Например, если прямые АС и BD пересекаются в точке О, то углы AOD и ВОС — вертикальные (рис. 46). Каждый из них — смежный с углом АОВ. Углы АОВ и COD — тоже вертикальные.
Теорема: Вертикальные углы равны.
Доказательство:
Пусть AOD и ВОС — любые вертикальные углы (см. рис. 46). Каждый из них смежный с углом АОВ. По теореме о сумме смежных углов
Правые части этих равенств одинаковые, поэтому 
Что и следовало доказать 
Слово смежные употребляют не только применительно к углам. Смежный—это имеющий общую границу с чем-то или прилегающий к чему-то, соседний. Можно говорить о смежных комнатах, смежных полях и т. п. Относительно углов это понятие имеет особый смысл. Не каждые два угла с общей стороной называют смежными. Например, на рисунке 47 углы АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ, но не являются смежными.
Смежные углы — это два угла, состоящие в определенном отношении. Один угол не может быть смежным. Когда говорим, что какой-то угол смежный, то обязательно должны уточнить: смежный с каким углом? Отношение смежности углов имеет такое свойство: если угол А смежный с углом B, то и угол В смежный с углом А.
Пусть угол А смежный с углом В, а угол B смежный с углом
C. Что можно сказать об углах А и С? Они либо вертикальные, либо угол С — это тот же угол А (рис. 48).
Слово вертикальные также относится не только к углам. В основном вертикально расположенным считают продолговатый предмет, расположенный в направлении отвеса (перпендикулярно к горизонту).
Всегда верно свойство: если угол А вертикальный углу В, то и угол В вертикальный углу А.
Пример №1
Найдите меры смежных углов, если один из них на 50° больше другого.
Решение:
Пусть мера меньшего из смежных углов равна х, тогда мера большего угла х + 50°. По свойству смежных углов х + х + 50° = 180°, откуда х = 65°, а х + 50° = 115°.
Пример №2
Один из четырех углов, образованных пересечением двух прямых, вдвое больше другого. Найдите меру каждого из полученных углов.
Решение:
При пересечении двух прямых образуются вертикальные и смежные углы. Поскольку вертикальные углы равны, то они условие задачи не удовлетворяют. Делаем вывод: один из смежных углов вдвое больше другого, их меры х и 2х. По свойству смежных углов х + 2х = 180°, откуда х = 60°, а 2х = 120°. Соответствующие им вертикальные углы равны 60° и 120°.
Ответ. 60°, 120°, 60°, 120°.
Перпендикулярные и параллельные прямые
Вспомните, как могут располагаться на плоскости две прямые. Если они пересекаются, то образуют четыре угла — две пары вертикальных углов (речь идет об углах меньше развернутого). Меньший из них считается углом между данными прямыми. Например, на рисунке 56 прямые АВ И CD пересекаются под углом 50°. Говорят также, что угол между прямыми АВ и CD равен 50°. Если две прямые, пересекаясь, образуют четыре Прямых угла, говорят, что они пересекаются под прямым углом.
Две прямые, пересекающиеся под Прямым углом, называют перпендикулярными прямыми. Прямые а и б на рисунке 57 перпендикулярны одна Н другой. Записывают так:
или 
Отрезки или лучи называют перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.
Если отрезок АВ лежит на прямой, перпендикулярной к прямой а, говорят, что отрезок АВ перпендикулярен к прямой а. Если при этом точка В принадлежит прямой о, то отрезок АВ называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а (рис. 58). Точку В называют основанием перпендикуляра, а длину Перпендикуляра АВ — расстоянием от точки А до прямой а.
Через произвольную точку Р всегда можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой а. Это можно сделать с помощью угольника (рис. 59) или транспортира (рис. 60). Позже вы узнаете, как можно выполнить такое построение с помощью линейки и циркуля. Можно доказать, что существует только одна прямая, перпендикулярная к данной прямой и проходящая через данную точку.
Не каждые две прямые пересекаются. Особого внимания заслуживают прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (рис. 61). Если прямые а и b параллельные, пишут так: а || b.
Представление о параллельных прямых дают линии в тетради, линии нотного стана (рис. 62), ребра бруска.
Два отрезка или луча называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Например, если ABCD — прямоугольник, то АВ || DC и ВС || AD.
Через любую точку Р, не лежащую на прямой а, можно провести прямую, параллельную прямой а (рис. 63, а). Для этого можно через точку Р провести прямую с, перпендикулярную к прямой а, а потом прямую Ь, перпендикулярную к прямой с (рис. 63, б). При таком построении всегда b || а. Можно воспользоваться линейкой и угольником.
Можно доказать (попытайтесь!),что две прямые одной плоскости, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны. То есть, если
Но если прямые а и b не принадлежат одной плоскости, то такое утверждение ошибочно. Например, если 
— куб, то
но прямые АВ и 
не параллельны (рис. 64).
Слово параллельные происходит от греческого слова «параллелос», что в переводе означает «идущие рядом». Если говорить, что какая-либо прямая параллельна, то обязательно следует сказать, какой именно прямой она параллельна. Таким образом, параллельность прямых — это своеобразное отношение между двумя прямыми. Отношение параллельности прямых имеет такое свойство: если а || b, то и b || а. Другими отношениями являются перпендикулярность прямых, равенство углов и др. Символы этих отношений: 
Позже вы узнаете о других отношениях между геометрическими объектами.
Как проводить параллельные прямые с помощью линейки и циркуля, вы узнаете позже.
Пример №3
Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны
Решение:
Пример №4
Обозначьте на координатной плоскости точки А (2; 3) и В (-4; -3). Найдите расстояния от этих точек до осей координат, если длина единичного отрезка равна 1 см.
Решение:
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат (рис. 66). Длина отрезка AM — расстояние от точки А до оси ОХ, а длина отрезка AN — расстояние от точки А до оси OY. По рисунку видим, что AM = 3 см, a AN = = 2 см.
Аналогично определяем, что расстояние от точки В до осей координат равно 3 см и 4 см.
Ответ. От точки А — 3 см и 2 см; От точки В — 3 см и 4 см.
Признаки параллельности прямых
Важную роль в исследовании параллельных прямых играют понятия секущей и некоторых пар углов.
Пусть о и b — две произвольные прямые плоскости. Прямая с, пересекающая их, называется секущей прямых а и b (рис. 73).
Прямые а и b с их секущей с образуют 8 углов. На рисунке 73 они пронумерованы. Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:
- внутренние накрест лежащие углы: 1 и 3, 2 и 4;
- внутренние односторонние углы: 1 и 4, 2 и 3;
- соответственные углы: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.
Обратите внимание! Если два каких-либо внутренних накрест лежащих угла равны, то также равны и внутренние накрест лежащие углы другой пары (рис. 74). Если, например, 
, потому что углы, смежные с равными, равны.
Случай, когда внутренние накрест лежащие углы равны, заслуживает особого внимания, поскольку именно при этом условии прямые а и b параллельны.
Теорема: (признак параллельности прямых).
Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные внутренние накрест лежащие углы.
Доказательство:
Пусть секущая АВ пересекает прямые а и b так, что образовавшиеся при этом внутренние накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Тогда, как показано выше, углы 2 и 4 тоже равны. Допустим, что при таком условии прямые а и б пересекаются в какой-то отдаленной точке С. В результате образуется
треугольник ABC (на рисунке 75 он изображен схематически в виде пятиугольника). Представим, что этот треугольник повернули вокруг точки О — середины отрезка АВ — так, что отрезок ОА занял положение ОВ. Тогда, поскольку 
луч АС совместится с лучом ВК, а луч ВС — с лучом АР. Так как лучи АС и ВС (по предположению) имеют общую точку С, то лучи ВК и АР тоже имеют какую-то общую точку 
.Это значит, что через две точки С и 
проведены две разные прямые. А этого не может быть.
Таким образом, если 
то прямые а и 6 не могут пересекаться. А поскольку они лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны: а || b. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание на способ доказательства теоремы 3. Чтобы доказать, что прямые а и b параллельны, мы показывали, что они не могут пересекаться, то есть допускали противоречащее тому, что требовалось доказать. Такой способ рассуждения называют методом доказательства от противного.
На основе доказанной теоремы 3 нетрудно доказать и другие признаки параллельности прямых.
Теорема: Две прямые параллельны, если при пересечении с секущей они образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180°.
Доказательство:
Пусть, например, на рисунке 76 сумма внутренних односторонних углов 1 и 4 равна 180°. Сумма смежных углов 3 и 4 тоже равна 180°. Поэтому 
. Это — внутренние накрест лежащие углы; если они равны, то прямые а и b параллельны. 
Теорема: Две прямые параллельны, если при пересечении с секущей они образуют равные соответственные углы.
Доказательство:
Пусть секущая с пересекает прямые а и b так, что образовавшиеся при этом соответственные углы 1 и 8 равны (рис. 77). Углы 8 и 3 равны, поскольку вертикальны.
откуда следует, что
Заслуживает внимания такое следствие из теоремы 3.
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны.
Ведь если каждая из прямых а и b перпендикулярна к с, то образовавшиеся при этом внутренние разносторонние углы равны, поскольку они прямые (рис. 78). Cледовательно, а и b параллельны.
Углы 5 и 7 (а также 6 и 8) называют внешними накрест лежащими, а углы 5 и 8 (а также 6 и 7) — внешними односторонними углами (рис. 79).
Используя эти понятия, попробуйте сформулировать и доказать еще два признака параллельности прямых. Полезно также лучше понять сущность метода доказательства от противного. Если утверждение А противоречит утверждению В, то такие два утверждения называют противоречащими или противными друг другу. Из двух взаимно е противоречащих утверждений всегда одно верно, а другое ложно. Поэтому если убедимся, что утверждения А и В противоречат друг другу и, например, что утверждение В ложное, то можем быть уверены, что утверждение А верно.
Не следует путать противоречащие утверждения с противоположными. Например, когда речь идет о числовых выражениях и натуральных числах, то утверждения «выражение А положительное» и «выражение А отрицательное» или «число п простое» и «число л сложное» — противоположные, но не противоречащие, ведь каждое из них может быть неправильным. А вот утверждения «выражение А положительное» и «выражение А неположительное» или «число п простое» и «число п непростое» — взаимно противоречащие. Непростое означает составное или равное 1; неположительное — отрицательное или равное нолю.
Доказывая методом от противного, опровергать нужно не противоположное утверждение, а противоречащее данному. Опровергать что-либо — означает показать, что оно ошибочно.
Пример №5
Как построить параллельные прямые, пользуясь только линейкой и транспортиром?
Решение:
Начертим произвольный луч АВ и отложим равные углы ВАС и АСР, как показано на рисунке 80. Прямые АВ и СР параллельны, ведь углы ВАС и АСР внутренние накрест лежащие, и по построению они равны.
Через концы отрезка АВ с одной стороны от прямой АВ проведены лучи АК и ВС так, что
70°. Параллельны ли эти лучи?
Прямую АВ можно считать секущей прямых АК и ВС (рис. 81).
Углы КАВ и ABC — внутренние односторонние. Поскольку их сумма 110° + 70° равна 180°, то прямые АК и ВС — параллельные (теорема 4). Поэтому и лучи АК и ВС — параллельные.
Ответ. Лучи АК и ВС параллельны.
Свойства параллельности прямых
Задача:
Даны прямая а и точка Р, не принадлежащая этой прямой. Проведите через точку Р прямую, параллельную прямой а.
Решение:
С помощью линейки и угольника построение можно выполнить, как показано на рисунке 90.
Можно ли через точку Р провести две разные прямые, параллельные прямой а? Геометры издавна считали истинным такое утверждение
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
Древнегреческий геометр Евклид это утверждение принял без доказательства. Его назвали аксиомой Евклида, потому что все утверждения, принимаемые без доказательств, называют аксиомами. (Подробнее об аксиомах и теоремах — в следующем параграфе.)
Не все ученые считают аксиому Евклида верной. Геометрию, в которой аксиому Евклида признают верной, называют евклидовой геометрией. Вы изучаете евклидову геометрию.
Теорема: (обратная теореме 3). Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы, образованные ими с секущей, равны.
Доказательство:
Пусть прямые АВ и CD параллельны, а КС — их секущая, проходящая через точку А (рис. 91). Докажем, что 
Допустим что 
Проведем прямую АВХ так, чтобы выполнялось равенство 
. По признаку параллельности прямых 
, а по условию АВ || CD. Получается, что через точку А проведены две разные прямые, параллельные прямой CD. Это противоречит аксиоме Евклида. Таким образом, сделанное нами допущение приводит к противоречию. Поэтому 
Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.
Действительно, если
, 
, то есть
Сформулируйте и докажите теоремы. Рис. 92 обратные теоремам 4 и 5.
Теорема: Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
Доказательство:
Пусть каждая из прямых а и b параллельна прямой с. Докажем, что а || b.
Допустим, что прямые а и b не параллельны (рис. 93), а пересекаются в некоторой точке Р. Получается, что через точку Р проходят две разные прямые а и Ь, параллельные с. Это противоречит аксиоме Евклида. Поскольку прямые а и b не могут пересекаться, они параллельны.
Доказательство теоремы верно и в случае, если прямая с лежит между а и b.
Последнюю теорему называют теоремой о транзитивности параллельности прямых (лат. transitivus — переходной), поскольку она утверждает, что параллельность двух пар параллельных прямых переходит на третью пару:
Чтобы это утверждение было верным всегда, договорились считать, что каждая прямая параллельна сама себе, то есть а || а. Ведь если
а || b и b || а, то а || а.
Отрезки одной прямой тоже считают параллельными. Например, если А, В, С, К — точки одной прямой, то каждый из отрезков АВ, АС, АК, ВС, ВК, СК параллелен любому из них (рис. 94). В целесообразности такой договоренности вы убедитесь позже, изучая параллельные переносы, параллельное проектирование и т. п. А в седьмом классе основное внимание будет обращаться на параллельность отрезков и лучей, не лежащих на одной прямой.
Существуют геометрии, в которых аксиома Евклида не считается верной. Их называют неевклидовыми геометриями. Такова, например, геометрия Лобачевского (см. с. 195).
Пример №6
Докажите, что прямые, перпендикулярные к непараллельным прямым, пересекаются.
Решение:
Пусть прямые а и b пересекаются, а прямые шип перпендикулярны к ним: 
(рис. 95). Тогда 
. Допустим, что m || п, то есть
Тогда и 
, откуда следует, что а || b. Это противоречит условию задачи. Значит, прямые 
не могут быть параллельными, они пересекаются.
Теоремы и аксиомы
Вы уже имеете представление о теоремах. Теорема — это утверждение, в истинности которого убеждаются с помощью логических рассуждений, доказательств.
Обычно теорема содержит условие (то, что дано) и заключение (что требуется доказать). Чтобы вычленить условйе и заключение теоремы, ее удобно подать в форме «Если. , то. ». Например: «Если углы вертикальные, то они равны». Здесь слова перед запятой содержат условие теоремы, а после запятой — заключение.
Часто условие теоремы записывают после слова «дано», а заключение — после слова «доказать». Например, теорему о вертикальных углах можно оформить так.
Поменяв условие и заключение теоремы местами, получим новое утверждение (истинное или ложное). Если полученное таким способом утверждение истинное, его называют обратной теоремой.
- «Если углы вертикальные, то они равны» — данная теорема. «Если углы равны, то они вертикальные» — обратное утверждение (ложное).
- «Если соответственные утлы равны, то прямые параллельные» — данная теорема. «Если прямые параллельные, то соответственные углы равны» — обратная теорема. Важнейшие теоремы, в которых даются критерии чего- либо, называют признаками.
Доказывая теорему, ссылаются на другие истинные утверждения. Но в самом начале изучения геометрии еще никаких других истинных утверждений» нет. Поэтому некоторые Пермью утверждения обычно принимают без доказательств. Называют их аксиомами.
Некоторые аксиомы вам уже известны. Сформулируем их еще раз.
Какой бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, ей не принадлежащие.
- Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
- Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Каждый отрезок имеет определенную длину.
- Каждый угол имеет определенную меру.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
От теорем и аксиом следует отличать определения, в которых рйокрывается содержание понятия. Например: «Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками» — определение отрезка; «Острым углом называется угол, который «меньше прямого» — определение острого угла.
В определениях, аксиомах и теоремах — основное содержание геометрии. Их нужно знать, но формулировать (правильно!) можно и своими словами. Например, определение отрезка можно сформулировать так: «Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя ее точками», или так: «Часть прямой, ограниченная двумя ее точками, называется отрезком».
Слово аксиома греческого происхождения; сначала это слово обозначало: уважение, авторитет, неоспоримость; впоследствии словом «аксиома» начали называть утверждение, принимаемое без доказательства.
Слово теорема тоже греческого происхождения. Сначала теоремой называли зрелище, театральное представление. Первым геометрам доказанные ими теоремы казались довольно неожиданными, удивительными, словно интересные зрелища. И в самом деле удивительно: из немногих примитивных утверждений, принимаемых без доказательств, путем одних рассуждений человек может получить миллионы не очевидных следствий. Даже таких, которых в природе нигде не наблюдается. И таких, о существовании которых не догадывался ни один мыслитель.
Чтобы и вы поняли, какое удовлетворение ощущали первые геометры, открывая и доказывая все новые и новые свойства геометрических фигур с помощью одних лишь рассуждений, попробуйте ответить на один из таких вопросов.
Посмотрите на рисунок 108. На нем выделены 6 точек: середины сторон треугольника ABC и основания его высот. Кажется, все эти точки лежат на одной окружности. Действительно ли это так? В каждом треугольнике? Кто первым обнаруживал подобные закономерности и обосновывал их, тот испытывал огромное удовлетворение, словно путешественник, пришедший первым туда, где еще никто не бывал, или спортсмен, побивший мировой рекорд.
Пример №7
Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных секущей с двумя параллельными прямыми, параллельны. Докажите. Сформулируйте обратное утверждение.
Решение:
Пусть ВС — секущая прямых АВ и CD, углы ABC и BCD — внутренние накрест лежащие, а ВК и СР — их биссектрисы (рис. 109). Покажем, что если АВ || CD, то ВК || СР.
Если АВ || CD, то 
как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Половины равных углов равны, поэтому
Эти углы — внутренние накрест лежащие для прямых КВ и СР и секущей ВС. Поскольку эти углы равны, то прямые КВ и СР параллельны. А это и требовалось доказать.
Обратное утверждение: если биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя прямыми с их секущей, параллельны, то параллельны и данные прямые.
Пример №8
Два луча называют сонаправленными, если один из них является частью другого или если они параллельны и расположены по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Приведите примеры.
Решение:
Лучи АК и ВК (рис. 110), а также лучи АК и ВТ (рис. 111).
Пример №9
Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны.
Решение:
Докажем, что если лучи ВА и РК, ВС и РТ сонаправленные, то углы 1 и 2 равны.
Если данные углы расположены, как показано на рисунке 112,
Если данные углы расположены, как показано на рисунке 113, то луч РТ составляет часть луча ВС. В этом случае
, как соответственные углы при параллельных прямых ВА и РК.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Треугольник
- Решение треугольников
- Треугольники и окружность
- Площадь треугольника
- Длина дуги кривой
- Геометрические фигуры и их свойства
- Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
- Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Точка пересечения прямых в пространстве онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения
- Содержание
- 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
- 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
- 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
- 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:
 , | (1) |
 , | (2) |
Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).
 |
Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:
 , | (3) |
 | (4) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):
| p1(x−x1)=m1(y−y1) |
| l1(y−y1)=p1(z−z1) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p1x−m1y=p1x1−m1y1, | (5) |
| l1y−p1z=l1y1−p1z1. | (6) |
Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):
Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:
 , | (7) |
 | (8) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):
| p2(x−x2)=m2(y−y2) |
| l2(y−y2)=p2(z−z2) |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
| p2x−m2y=p2x2−m2y2, | (9) |
| l2y−p2z=l2y2−p2z2. | (10) |
Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:
 | (11) |
Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .
2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:
 | (12) |
 | (13) |
Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.
Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.
Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:
 | (14) |
Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:
 | (15) |
Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:
 | (16) |
Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.
Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).
3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.
Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.
4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.
Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
 | (20) |
 | (21) |
Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:
 | (22) |
 | (23) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
 | (26) |
 | (27) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
 | (30) |
Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:
 |
Сделаем перестановку строк 3 и 4.
 |
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:
 |
Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):
 |
 |
Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:
Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:
 | (31) |
 | (32) |
Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:
 |
Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:
 | (33) |
Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:
 | (34) |
 | (35) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
 | (36) |
 . | (37) |
Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).
Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:
 | (38) |
 | (39) |
Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)
 |
 |
Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:
 |
 |
Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:
 | (42) |
Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:
 |
Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.
Первый этап. Прямой ход Гаусса.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:
 |
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:
 |
Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:
 |
Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:
 | (43) |
Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.
Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=<2,6,7>, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=<3,1,1>. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .
Взаимное расположение прямых в пространстве
Вы будете перенаправлены на Автор24
Разновидности уравнений прямой
Канонические уравнения прямой.Пусть задана точка $M_ <0>\left(x_ <0>,y_ <0>,z_ <0>\right)$, через которую проходит прямая, а также направляющий вектор $\overline
$ называются каноническими уравнениями прямой.
Параметрические уравнения прямой. Введем обозначения: $\frac
=t$. Здесь $t$ — параметр. Из этих равенств получаем: $x=x_ <0>+m\cdot t$, $y=y_ <0>+n\cdot t$, $z=z_ <0>+p\cdot t$. Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$ и $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$. Уравнения $\frac
Общие уравнения прямой. Прямую линию в пространстве можно определить как линию пересечения двух не параллельных между собой плоскостей: $A_ <1>\cdot x+B_ <1>\cdot y+C_ <1>\cdot z+D_ <1>=0$ и $A_ <2>\cdot x+B_ <2>\cdot y+C_ <2>\cdot z+D_ <2>=0$. Решение системы уравнений, состоящей из уравнений плоскостей, называются общими уравнениями прямой.
Переход между различными видами уравнений прямой
От общих уравнений прямой можно перейти к каноническим. Для этого надо знать произвольную точку прямой и ее направляющий вектор. Выберем значение некоторой одной координаты произвольно. После этого координаты нужной точки можно найти из уравнений плоскостей, рассматривая их как систему относительно тех двух координат, которые остались. Для нахождения направляющего вектора отметим, что он должен быть перпендикулярным к нормальным векторам каждой из плоскостей. Поэтому для этого целиком подходит вектор их векторного произведения.
От канонических уравнений прямой можно перейти к общим. Для этого представим канонические уравнения как пару уравнений $\frac
$ и $\frac
$ и выполним преобразования.
Готовые работы на аналогичную тему
Получаем: $p\cdot x-m\cdot z-p\cdot x_ <0>+m\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Oy$, а $p\cdot y-n\cdot z-p\cdot y_ <0>+n\cdot z_ <0>=0$ — уравнение плоскости, параллельной оси $Ox$. Зная основные виды уравнений, описывающих прямые, можно более подробно рассмотреть способы расположения прямых в пространстве.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Различают 3 случая взаимного расположения прямых в пространстве:
- Скрещивающиеся прямые в пространстве. Две прямых являются скрещивающимися, если они не имеют никаких общих точек и лежат в различных плоскостях. В жизни скрещивающиеся прямые — это, например, железная дорога, проходящая над автомагистралью;
- Две прямые находятся на одной плоскости и имеют одну общую точку, то есть пересекаются; Примером пересекающихся прямых в пространстве из реального мира служит обычный перекрёсток.
- Две прямые находятся на одной плоскости и не имеют общих точек, то есть параллельны друг другу. Существует частный случай параллельных прямых — это совпадающие прямые в пространстве.
Вне зависимости от того, являются ли прямые пересекающимися или скрещивающимися, можно говорить об угле между ними.
Для того чтобы определить, пересекаются ли прямые в пространстве, необходимо составить систему уравнений, состоящую из уравнений этих прямых. Если эта система имеет решение, то прямые пересекаются.
Теперь рассмотрим подробнее, как определить взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть в пространстве заданы две прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$: $\frac
Углом между прямыми $L_ <1>$ и $L_ <2>$ называют любой из двух сопряженных углов, образованных вспомогательными прямыми. Если величина одного из них $\phi $, то величина второго $\pi -\phi $.
Вместо вспомогательных прямых можно взять направляющие векторы данных прямых: $\overline
Равенство $\cos \phi =0$ значит, что прямые перпендикулярны. Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых в пространстве имеет вид $m_ <1>\cdot m_ <2>+n_ <1>\cdot n_ <2>+p_ <1>\cdot p_ <2>=0$.
Условие параллельности двух прямых совпадает с условием коллинеарности их направляющих векторов, то есть $\frac
Нахождение угла между прямыми частично решает также вопрос о нахождении их в одной плоскости. Имеется в виду то, что выполнение условия параллельности двух прямых одновременно означает, что они находятся в одной плоскости.
Теперь рассмотрим условие пересечения двух прямых, которое также является условием нахождения прямых в одной плоскости.
Из уравнений заданных прямых видно, что прямая $L_ <1>$ проходит через точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, а прямая $L_ <2>$ — через точку $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$.
Рассмотрим вектор $\overline
Если прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ действительно пересекаются, то они лежат в одной плоскости $P$. В этой же плоскости $P$ лежит и вектор $\overline
Задание: Выяснить взаимное расположение прямых в пространстве:
$L_2: \begin
Решение: Направляющий вектор первой прямой определяем по её уравнениям, он будет выглядеть как $s_1 = \<1;3;-2\>$.
Направляющий же вектор второй прямой определим через векторное произведение нормальных векторов, определяющих плоскости, на пересечении которых она находится:
$s_2 = n_1 × n_1 = \begin
В данном примере $s_1 = -s_2$, а это значит, что прямые либо параллельные, либо совпадающие.
Чтобы понять, с каким из случаев мы имеем дело, возьмём точку $M_0$с координатами $(1;2;-1)$, принадлежащую первой прямой и подставим в уравнения для второй.
В первом из них равенство не соблюдается и получается, что $1=0$. Это значит, что рассмотренная точка не лежит на второй прямой и прямые параллельны между собой.
Задание: провести плоскости через параллельные прямые и через прямые, которые пересекаются.
Решение каждой из этих задач начинается с того, что на нужной плоскости $P$ выбирается некоторая переменная точка $M\left(x,y,z\right)$.
Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — параллельны, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin
\end
- $\overline
+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline $ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежещей прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$. - $\overline
+\left(z_ <2>-z_ <1>\right)\cdot \overline $ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <1>$, с точкой $M_ <2>\left(x_ <2>,y_ <2>,z_ <2>\right)$, которая принадлежит прямой $L_ <2>$. - $\overline
=m\cdot \overline+n\cdot \overline +p\cdot \overline $ — направляющий вектор одной из двух параллельных прямых, параллельный плоскости $P$.
Если данные прямые $L_ <1>$ и $L_ <2>$ — пересекаются, то уравнение нужной плоскости $P$ имеет вид условия компланарности $\left|\begin
- $\overline
+\left(z-z_ <1>\right)\cdot \overline $ — вектор, который лежит в плоскости $P$, соединяет точку $M_ <1>\left(x_ <1>,y_ <1>,z_ <1>\right)$, принадлежащую прямой $L_ <1>$, с переменной точкой $M\left(x,y,z\right)$. - $\overline
+p_ <1>\cdot \overline $ — направляющий вектор прямой $L_ <1>$, параллельный плоскости $P$. - $\overline
+p_ <2>\cdot \overline $ — направляющий вектор прямой $L_ <2>$, параллельный плоскости $P$.
http://matworld.ru/analytic-geometry/tochka-peresechenija-prjamyh-3d.php
http://spravochnick.ru/matematika/parallelnost_pryamyh_i_ploskostey/vzaimnoe_raspolozhenie_pryamyh_v_prostranstve/