Как в маткаде решить уравнение символьно

Как в маткаде решить уравнение символьно

В этом разделе обсуждается, как в символьном виде решать уравнения и системы уравнений. Команда Решить относительно переменной из меню Символика позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

В этом разделе описывается также, как в символьном виде решить систему уравнений, используя блоки решения уравнений. Для этого требуется Mathcad PLUS.

Решать уравнение символьно гораздо труднее, чем численно. Может оказаться, что в символьном виде решение не существует. Это может быть вызвано рядом причин, обсуждаемых в разделе “Ограничения символьных преобразований”.

Решение уравнения относительно переменной

Чтобы решить уравнение относительно переменной:

• Напечайте уравнение. Убедитесь, что для выведения знака равенства использована комбинация клавиш [Ctrl]=.
• Выделите переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щёлкнув на ней мышью.
• Выберите Решить относительно переменной из меню Символика

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной и вставит результат в рабочий документ. Обратите внимание, что, если переменная возводилась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно получить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора. Рисунок 20 показывает соответствующий пример.

Рисунок 20: Преобразование выражения для решения уравнения.

Можно также решать неравенство, использующее символы , и . Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых выражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad помещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Как в маткаде решить уравнение символьно

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Символьная алгебра в Mathcad

Символьная алгебра в Mathcad включает в себя упрощение и разложение выражений, приведение подобны и разложение на множители.

Операции символьной алгебры можно рассмотреть в сочетании с командами рабочей панели “Символика”, реализующими данную операцию. Перечень некоторых команд и краткое их назначение в Mathcad приведены в таблице.

Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Символьные вычисления в Mathcad

Результатом математических вычислений в Mathcad могут быть как числовые значения, так и символьные (аналитические) выражения, полученные посредством преобразования исходных математических выражений, описывающих условия задачи и алгоритм ее решения в символьном виде. Основными достоинствами символьных вычислений являются отсутствие погрешности вычислений и универсальность использования в различных прикладных задачах.

Выполнение символьных вычислений

В Mathcad есть несколько основных способов выполнения символьных вычислений.

Символьная алгебра

Разложение на множители, разложение и упрощение выражений.

Решение уравнений и систем уравнений

Для решения уравнений в символьном виде в Mathcad используется специальный оператор символьного решения.

Выполнение символьных вычислений в Mathcad

Символьные вычисления в математическом пакете Mathcad осуществляется с помощью трёх основных способов:

• при помощи меню “Символика”, обеспечивающего возможность выполнения самых разнообразных символьных вычислений (решение и преобразование символьных выражений, интегрирование, дифференцирование и т.д.);
• при помощи специального оператора символьного ввода, включающего знак символьного равенства [ -> ] , иногда с добавлением операторов панели инструментов “Символика” в Mathcad;
• с использованием стандартных математических функций, в сочетании с символьным знаком равенства.

Как в маткаде решить уравнение символьно

Примечание
В символьных вычислениях допускается использование большинства встроенных функций MathCAD.

Для символьных вычислений при помощи команд предназначено главное меню Symbolics (Символика), объединяющее математические операции, которые MathCAD умеет выполнять аналитически (рис. 5.1). Для реализации второго способа применяются все средства MathCAD, пригодные для численных вычислений (например, панели Calculator, Evaluation и т. д.), и специальная математическая панель инструментов, которую можно вызвать на экран нажатием кнопки Symbolic Keyword Toolbar (Панель символики) на панели Math (Математика). На панели Symbolic (Символика) находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований. Например, таким как разложение выражения на множители, расчет преобразования Лапласа и другим операциям, которые в MathCAD нельзя проводить численно, и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции.

Рис. 5.1. Меню Symbolics

Рис. 5.2. Панель Symbolic
Рассмотрим оба типа символьных вычислений на простом примере разложения на сомножители выражения sin (2-х).
Первый способ (с помощью меню).
1. Введите выражение sin (2-х).
2. Выделите его целиком (см. рис. 5.1).
3. Выберите в главном меню пункты Symbolics / Expand (Символика / Разложить).
После этого результат разложения выражения появится чуть ниже в виде еще одной строки (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Результат применения
команды меню Symbolics / Expand

Внимание
Символьные операции с помощью меню возможны лишь над каким-либо объектом (выражением, его частью или отдельной переменной). Для того чтобы правильно осуществить желаемое аналитическое преобразование, предварительно необходимо выделить тот объект, к которому оно будет относиться. В данном случае преобразование было применено ко всему выражению sin (2-х). Если же выделить часть формулы, как показано на рис. 5.4, то соответствующее преобразование будет отнесено к выделенной части (нижняя строка на этом рисунке).

Второй способ символьных преобразований (с помощью оператора ->).
1. Введите выражение sin (2-х).
2. Нажмите кнопку Expand (Разложить) на панели Symbolic (Символика).

Рис. 5.4. Символьное разложение части выражения и его результат

Рис. 5.5. Символьное разложение выражения
3. Введите в местозаполнитель после появившегося ключевого слова expand (рис. 5.5, сверху) имя. переменной х, либо нажмите клавишу , чтобы просто удалить местозаполнитель.
4. Введите оператор символьного вывода
5. Нажмите клавишу , либо просто щелкните мышью за пределами выражения.
Оператор символьного вывода, как вы помните, можно ввести в редакторе MathCAD несколькими способами: нажатием кнопки -> на любой из панелей Evaluation (Выражения) или Symbolic (Символика) либо сочетания клавиш + . Результат символьного разложения выражения показан на рис 5.5, снизу.

Внимание
Если символьные вычисления осуществляются вторым способом, символьный процессор учитывает все формулы, предварительно введенные в документе (рис. 5.6, снизу). Но если те же преобразования выполняются при помощи меню, символьный процессор «не видит» ничего, кроме одной формулы и воспринимает все ее переменные аналитически, даже если им предварительно были присвоены какие-то значения (рис. 5.6, сверху). По этой причине, например, символьным преобразованиям через меню недоступны предварительные определения функций пользователя.

Совет
Если вы можете выбрать способ символьных вычислений, рекомендую второй путь — с помощью оператора ->, поскольку при этом в документе сохраняются действия пользователя. Наличие специального меню символьных вычислений — своего рода дань прежним версиям MathCAD. В них аналитические преобразования были встроены не так гармонично и были доступны, главным образом, через меню.

Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если это так (либо в силу того, что задача вовсе не имеет аналитического решения, либо она оказывается слишком сложной для символьного процессора MathCAD), то в качестве результата выводится само выражение (листинг 5.1, внизу).
Листинг 5.1. Символьные преобразования

Рис. 5.6. Различие в символьных вычислениях при помощи меню (сверху) и оператора -> (снизу)

Примечание
Далее в этой главе, рассматривая символьные вычисления с помощью меню, будем иллюстрировать результаты рисунками, а символьные вычисления с применением оператора -> приводить в виде листингов.

Примечание
После ключевого слова collect допускается задание нескольких переменных через запятую. В этом случае, что иллюстрируется последней строкой листинга 5.6, приведение подобных слагаемых выполняется последовательно по всем переменным.

Рис. 5.10. Вычисление коэффициентов полинома

Примечание
Конкретная задача, требующая вычисления полиномиальных коэффициентов, приведена в разделе, посвященном численному отделению корней полинома (см. разд. «Корни полинома»гл. 8).

Примечание
Символьный поиск предела функции описан в разд. «Вычислительные операторы» гл. 3).

Рис. 5.14. Интегрирование по переменной

Примечание
Более подробную информацию о символьном решении алгебраических уравнений, дифференцировании и интегрировании (с применением оператора символьного вывода), включая вычисление производных высших порядков, определенных кратных интегралов, можно найти в части 3 этой книги (см. гл. 7).

Рис. 5.15. Подготовка выражения для разложения в ряд по переменной х
4. В появившемся диалоговом окне (рис. 5.16) введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку ОК.
Результат разложения появится под выражением (рис. 5.17).
Не забывайте, что разложение строится только в точке х=0. Чтобы получить разложение в другой точке х=а, можно, к примеру, подставить вместо переменной х значение х-а (см. разд. 5.2.8).

Рис. 5.16. Разложение в ряд Тейлора

Рис. 5.17. Результат разложения в ряд Тейлора
Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, вставляя его одноименной кнопкой панели Symbolic (Символика). После ключевого слова series, через запятую, указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации (листинги 5.13 и 5.14). Сравнение функции и ее разложений в ряды с разными порядками аппроксимации (для k=b=i) иллюстрируется рис. 5.18. Видно, что разложение в ряд хорошо работает в окрестности точки х=о, а по мере удаления от нее все сильнее и сильнее отличается от функции.
Листинг 5.13. Разложение выражения в ряд с разным порядком
аппроксимации

Пистинг 5.14. Разложение выражения в ряд по разным переменным

Примечание
Подробная информация о символьном решении алгебраических уравнений изложена в части III (см. гл. 8). В частности, там рассказано о возможности решения систем уравнений и задании уравнений в привычной для нас форме логического равенства.

Рис. 5.20. Расчет Фурье-преобразования при помощи меню
Аналитический расчет преобразования Фурье при помощи меню показан на рис. 5.20. В листинге 5.15 приведены два примера вычисления прямого преобразования Фурье с применением ключевого слова fourier и оператора символьного вывода Листингом 5.16 иллюстрируется обратное преобразование Фурье одной из функций предыдущего листинга.

Примечание
В MathCAD преобразование Фурье можно вычислить и с помощью численного процессора, использующего популярный алгоритм БПФ (см. разд. «Преобразование Фурье»гл. 14).

Совет
Используйте меню Symbolics (Символика), если требуется «сиюминутно» провести некоторые аналитические действия с выражением и получить ответ в общем виде, не учитывающем текущие значения переменных, входящих в выражение.

Рис. 5.21. Вычисление выражения с плавающей точкой
Еще один пункт меню Symbolics / Evaluate / Complex (Символика / Вычислить / Комплексно) позволяет представить выражение в виде а+b*i
Аналогичные по действию ключевые слова float и complex можно использовать в документах, вводя их с панели Symbolic (Символика). Ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой (листинг 5.21). С помощью слова complex можно преобразовывать выражения как в символьном виде, так и с учетом численных значений, если они были ранее присвоены переменным (несколько примеров)
Листинг 5.21. Вычисление выражения с плавающей точкой

Листинг 5.22. Комплексные преобразования выражений

5.5.3. Последовательности символьных команд
Символьные вычисления допускается проводить с применением цепочек из ключевых слов. Для этого ключевые слова, соответствующие последовательным символьным операциям, должны быть введены по очереди с панели Symbolic (Символика). Принцип организации цепочек символьных вычислений очень похож на применение встроенного языка программирования MathCAD (см. следующую главу). Несколько примеров использования последовательности символьных операторов приводится в листингах 5.23 и 5.24.

Примечание
Последовательности символьных команд допускают введение дополнительных условий в расчеты, например, таких как ограничение на действительную или комплексную форму результата. Это делается с помощью ключевого слова assume. Более подробную информацию читатель найдет в справочной системе MathCAD.

Листинг 5.23. Фурье-преобразование, разложение в ряд и расчет

Листинг 5.24. Z-преобразование и разложение на простые дроби