Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры
Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ( sin α , cos α , t g α , c t g α ) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.
Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.
Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α , cos α , t g α , c t g α
Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла α 2 .
sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 , cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 , c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2
Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.
Формулы для sin α и cos α , sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 и cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 имеют место для a ≠ π + 2 π · z , где z – любое целое число, так как при a = π + 2 π · z , t g α 2 не определен.
Формула t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 справедлива для α ≠ π 2 + π · z и a ≠ π + 2 π · z , так как при a = π 2 + π · z не определен t g α Знаменатель дроби обращается в нуль, а при α = π + 2 π · z не определен t g α 2 .
Формула c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 , выражающая c t g через t g α 2 , справедлива для a ≠ π · z , так как при a = π · z не определен c t g , при a = π + 2 π · z не определен t g α 2 , а при α = 2 π · z знаменатель дроби обращается в нуль.
Вывод формул
Разберем вывод формул, выражающих sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 соответственно. Теперь выражения 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2 · sin α 2 · cos α 2 1 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 1 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos , после чего получаем 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2
Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos 2 α 2 (его значение не равно нулю при условии α ≠ π + 2 π · z ). Вся формула будет выглядеть так sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 sin 2 α 2 с os 2 α 2 + cos 2 α 2 с os 2 α 2 = 2 · t g α 2 t g 2 α 2 + 1
и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 1 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 = = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 c os 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 c os 2 α 2 = cos 2 α 2 cos 2 α 2 — sin 2 α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 c os 2 α 2 + cos 2 α 2 c os 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 t g 2 α 2 + 1
Мы закончили вывод формул для sin и cos , завершив все вычислительные действия.
Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения t g и c t g .
Взяв за основу описанные выше примеры t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:
t g α = sin α cos α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 ;
c t g α = cos α sin α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 ;
В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.
Примеры использования в задачах и упражнениях
Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.
Необходимо привести 2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 к примеру, который содержит только одну функцию t g 2 α .
В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4 α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.
2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = 2 + t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α t g 2 2 α + 1 — 5 = 2 · t g 2 2 α + 2 + 3 — 3 · t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α — 5 · 2 · t g 2 2 α — 5 t g 2 2 α + 1 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5
2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5 .
Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α , cos α , t g α , c t g α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin , cos , t g и c t g , к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через t g половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α , cos α , t g α , c t g α .
Простейшие тригонометрические уравнения. Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники часто допускают ошибки, что ведет к потере баллов на ЕГЭ. Именно поэтому так важна данная тема.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Следуя ему, надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрежки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы отказываемся от такого подхода раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Уравнения и
Напомним, что — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу , а — её ордината.
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения и имеют решения только при условии .
Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
. .
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой :
Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
. .
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой :
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение. Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из — прибавлением целого числа углов (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить .
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ). Начинаем с косинуса.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой :
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она дает обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных . Если , то
Мы получили первую серию решений . А если — нечетно, , то
Это вторая серия .
Обратим внимание, что в качестве множителя при обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов.
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников и имеем:
Мы рассмотрели случай, когда находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла равен ординате точки , которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой , соединяющей точку с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда находится во второй четверти. Тангенс угла отрицателен.
Уравнение
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение имеет решения при любом .
.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
уравнение равносильно уравнению ;
при уравнение равносильно уравнению .
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры.
В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке. Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.
Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.
Навигация по странице.
Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла
Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .
Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:
- Например, формулы для синуса и косинуса и имеют место для , где z – любое целое число, так как при тангенс половинного угла не определен.
- Формула справедлива для и , так как при не определен тангенс угла , и более того обращается в нуль знаменатель дроби, а при не определен тангенс половинного угла.
- Формула , выражающая котангенс через тангенс половинного угла, справедлива для , так как при не определен котангенс, при не определен тангенс половинного угла, а при знаменатель дроби обращается в нуль.
Вывод формул
Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.
Представим синус и косинус по формулам двойного угла как и соответственно. Теперь выражения и запишем в виде дробей со знаменателем 1 как и . Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем и . Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии ). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:
и
На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.
Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и , сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:
Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.
Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки
Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.
Приведите выражение к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .
Здесь следует использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применим к косинусу и синусу четырех альфа формулы, выражающие их через тангенс половинного угла. В результате останется лишь упростить вид полученного выражения, имеем
.
Как мы уже сказали в самом начале статьи, основное предназначение универсальной тригонометрической подстановки заключается в преобразовании исходного рационального тригонометрического выражения, содержащего синус, косинус, тангенс и котангенс, к рациональному выражению с одной единственной тригонометрической функцией, а именно, с тангенсом половинного угла. А такое преобразование особенно полезно при решении тригонометрических уравнений определенного вида, а также при интегрировании тригонометрических функций.
http://ege-study.ru/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/
http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/universal_trigonometric_substitution.html