Что такое квадратный корень
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое квадратный корень
Определение арифметического квадратного корня ясности не добавляет, но заучить его стоит:
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.
Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:
√a = x
x 2 = a
x ≥ 0
a ≥ 0
Из определения следует, что a не может быть отрицательным числом. То есть то, что стоит под корнем — обязательно положительное число.
Чтобы разобраться, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.
Попробуем найти корень из √-16
Здесь логично предположить, что 4, но давайте проверим: 4*4 = 16 — не сходится.
Если — 4, то -4 * -4 = 16, (минус на минус всегда дает плюс).
Получается, что ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении его в квадрат.
Числа, стоящие под знаком корня, должны быть положительными.
Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.
Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере x 2 = 16, x = 4 и x = -4.
Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением
Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:
- x 2 = 16 не равно x = √16.
Это два нетождественных друг другу выражения.
- x 2 = 16 — это квадратное уравнение.
- x = √ 16 — арифметический квадратный корень.
Из выражения x 2 = 16 следует, что:
- |x| = √16, это значит, что x = ±√16 = ±4, x1 = 4, x2 = -4.
Если две вертикальные палочки возле x вводят вас в замешательство, почитайте нашу статью о модуле числа.
В то же самое время, из выражения x = √16 следует, что x = 4.
Если ситуация все еще кажется запутанной и нелогичной, просто запомните, что отрицательное число может быть решением только в квадратном уравнении. Если в решении «минус» — есть два варианта:
- Пример решен неверно
- Это квадратное уравнение.
Если вы извлекаете квадратный корень из числа, то можете быть уверены, вас ждет «положительный» результат.
Давайте рассмотрим пример, чтобы окончательно выяснить разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.
Даны два выражения:
Первое выражение — квадратное уравнение.
Второе выражение — арифметический квадратный корень.
Мы видим, что результатом решения первого выражения стали два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительное.
Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня
Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби.
Чаще всего, иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
Примеры иррациональных чисел:
Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте разберем пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в деле.
Дано уравнение: x 2 = 2.
Сразу сталкиваемся с проблемой, поскольку очевидно, что ни одно целое число не подходит.
Переберем числа, чтобы удостовериться в этом:
1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.
Отрицательные числа дают такой же результат. Значит результатом решения не могут быть целые числа.
Решение следующее:
Строим график функции y = x 2 .
Отмечаем решения на графике: -√2; √2.
Если попробовать извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, то результат будет следующий: √2 = 1,414213… .
В таком виде ответ не записывают — нужно оставить квадратный корень.
x 2 = 2.
x = √2
x = -√2.
Извлечение корней
Решать примеры с квадратными корнями намного легче, если запомнить как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей — сохраните ее себе и используйте для решения задачек.
Таблица квадратов
Вот несколько примеров извлечения корней, чтобы научиться пользоваться таблицей:
- 1. Извлеките квадратный корень: √289
Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.
Влево — 1, вверх — 7.
- 2. Извлеките квадратный корень: √3025
Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.
- 3. Извлеките квадратный корень: √7396
Ищем в таблице число 7396.
Влево — 8, вверх — 6.
- 4. Извлеките корень: √9025
Ищем в таблице число 9025.
Влево — 9, вверх — 5.
- 5. Извлеките корень √1600
Ищем в таблице число 1600.
Влево — 4, вверх — 0.
Извлечением корня называется нахождение его значение.
Свойства арифметического квадратного корня
У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы проще решать примеры.
- Корень произведения равен произведению корней
- Извлечь корень из дроби — это извлечь корень из числителя и из знаменателя
- Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в степень значение под корнем
Давайте потренируемся и порешаем примеры на все три операции с корнями. Не забывайте обращаться к таблице квадратов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, а для проверки обращайтесь к ответам.
Умножение арифметических корней
Для умножения арифметических корней используйте формулу:
 |
Примеры:
Внимательно посмотрите на второе выражение и запомните, как записываются такие примеры.
Если нет возможности извлечь корни из чисел, то поступаем так:
- Если множителей больше двух, то решается примерно точно так, как и с двумя множителями:
Деление арифметических корней
Для деления арифметических корней используйте формулу:
 |
Примеры:
Ответ: смешанную дробь превращаем в неправильную (16 * 3) + 1 = 49 
Выполняя деление, не забывайте сокращать множители. При делении арифметических корней, используйте правила преобразования обыкновенных дробей.
Возведение арифметических корней в степень
Для возведения арифметического корня в степень используйте формулу:
 |
Примеры:
Эти две формулы нужно запомнить:
- (√a) 2 = a
- √a 2 = |a|
Повторите свойства степеней или запишитесь на курсы по математике, чтобы без труда решать такие примеры.
Внесение множителя под знак корня
Вы уже умеете по-всякому крутить и вертеть квадратными корнями: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не правда ли? Осталось овладеть еще парой приемов и можно без страха браться за любую задачку.
А теперь давайте разберемся, как вносить множитель под знак корня.
Дано выражение: 7√9
Число семь умножено на квадратный корень из числа девять.
Извлечем квадратный корень и умножим его на 7.
В данном выражение число 7 — множитель. Давайте внесем его под знак корня.
Запомните, что вносить множитель под знак корня обязательно нужно так, чтобы значение исходного выражения осталось неизменным. Иными словами, после наших манипуляций с корнем, значение выражения должно по-прежнему оставаться 21.
Вы помните, что (√a) 2 = a
Тогда число 7 должно быть возведено во вторую степень. В этом случае значение выражения останется тем же.
7√9 = √7 2 * 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.
Формула внесения множителя под знак корня:
Потренируемся вносить множители. Попробуйте решить примеры самостоятельно, сверяясь с ответами.
Вынесение множителя из-под знака корня
С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.
Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.
Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.
Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.
В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:
Таким образом множитель выносится из-под знака корня.
Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.
Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня. 
Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,
Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.
Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4. 
Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
Выносим общий множитель за скобки:
Далее вычисляем все, что в скобках:
Сравнение квадратных корней
Мы почти досконально разобрали арифметический квадратный корень, научились умножать, делить и возводить его в степень. Теперь вы без труда можете вносить множители под знак корня и выносить их оттуда. Осталось научиться сравнивать корни и стать непобедимым теоретиком.
Итак, чтобы понять, как сравнить два квадратных корня, нужно запомнить пару правил.
Если:
Потренируйтесь в сравнении корней. Сверяете свои результаты с ответами.
- Сравните два выражения: √50 и 9√5
Ответ: преобразовываем выражение 9√5.
9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405
Это значит, что 6√5 > √18.
Сравните два выражения: 7√12 и √20
Ответ: преобразовываем выражение 7√12.
7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588
Это значит, что 7√12 > √20.
Как видите, ничего сложного в сравнении арифметических квадратных корней нет.
Самое главное — выучить формулы и сверяться с таблицей квадратов, если значения корня слишком большие для легкого вычисления в уме.
Не бойтесь пользоваться вспомогательными материалами. Математика просто создана для того, чтобы окружить себя подсказками и намеками.
Когда вы почувствуете, что уже достаточно натренировались в решении примеров с квадратными корнями, можете позволить себе время от времени прибегать к помощи онлайн-калькуляторов. Они помогут решать примеры быстрее и быть эффективнее.
Таких калькуляторов в интернете много, вот один из них.
Извлечение квадратного корня из большого числа
Вы уже наверняка познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она — ваша правая рука. С ее помощью вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже подумываете запомнить ее наизусть.
Но, как вы можете заметить, таблица заканчивается на числе 9801. А это, согласитесь, не самое крупное число из тех, что могут вам попасться в примере.
Чтобы извлечь корень из большого числа, которое отсутствует в таблице квадратов, нужно:
- Определить «сотни», между которыми оно стоит.
- Определить «десятки», между которыми оно стоит.
- Определить последнюю цифру в этом числе.
Извлечь корень из большого числа можно разными способами — вот один из них.
Извлечем корень из √2116.
Наша задача в том, чтобы определить между какими десятками стоит число 2116.
Мы видим что, 2116 больше 1600, но меньше 2500.
Это значит, что число 2116 находится между 40 2 и 50 2 .
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
Запомните лайфхак по вычислению всего на свете, что нужно возвести в квадрат.
Не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.
Как пользоваться таблицей
4 2 = 16 ⇒ 6
5 2 = 25 ⇒ 5
6 2 = 36 ⇒ 6
7 2 = 49 ⇒ 9
8 2 = 64 ⇒ 4
9 2 = 81 ⇒ 1
Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 1.
Число, 42, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — цифра 4.
Число 43, возведенное в квадрат, даст число, на конце которого — 9.
Такая закономерность позволяет нам без записи «перебрать» все возможные варианты, исключая те, которые не дают нужную нам цифру 6 на конце.
Таким образом, у нас остаются два варианта: 44 2 и 46 2 .
Далее вычисляем: 44 * 44 = 1936.
Если такой способ показался не до конца понятным — можно потратить чуть больше времени и разложить число на множители. Если решить все правильно, получим такой же результат.
Еще пример. Извлечем корень из числа √11664
Разложим число 11664 на множители:
Запишем выражение в следующем виде:
Извлечь квадратный корень из большого числа гораздо проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на экстренный случай» точно не повредит. Например, для контрольной или ЕГЭ.
Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте ещё немного поупражняемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.
- 1. Вычислите значение квадратного корня: √36
- 2. Вычислите значение квадратного корня: √64*36
- 3. Вычислите значение квадратного корня:
- 4. Вычислите значение квадратного корня:
- 5. Вычислите значение квадратного корня:
- 6. Вычислите значение выражения: 4√16 — 12
- 7. Вычислите значение выражения: 5√9 — 8
- 8. Вычислите значение выражения: 7√25 — 10
- 9. Вычислите значение квадратного корня:
- 10. Вычислите значение квадратного уравнения:
- 11. Вычислите значение квадратного уравнения:
- 12. Извлеките квадратный корень из числа √7056 удобным вам способом
Как решаем: - 13. Вычислите значение квадратного корня √0,81
Ответ: √0,81 = 0,9 - 14. Вычислите значение квадратного корня:
Как решаем:= 0,09 - 15. Вычислите значение выражения: 8√81 — 20
Как решаем: 8√81 — 20 = 8 * 9 — 20 = 72 — 20 = 52
Ответ: 8√81 — 20 = 52. - 16. Вычислите значение выражения: 13√100 — 15
Как решаем: 13√100 — 15 = 13 * 10 — 15 = 130 — 15 = 115
Ответ: 13√100 — 15 = 115. - 17. Вычислите значение выражения: √16 + 5√4
Как решаем: √16 + 5√4 = 4 + 5 * 4 = 4 + 20 = 24 Ответ: √16 + 5√4 = 24. - 18. Вычислите значение выражения: √36 + 2√9
Как решаем: √36 + 2√9 = 6 + 2 * 3 = 6 + 6 = 12
Ответ: √36 + 2√9 = 12. - 19. Вычислите значение выражения: 2√16 — 3√25
Как решаем: 2√16 — 3√25 = 2 * 4 — 3 * 5 = 8 — 15 = -7
Ответ: 2√16 — 3√25 = -7. - 20. Вычислите значение выражения: 3√81 — 5√9
Как решаем: 3√81 — 5√9 = 3*9 — 5 * 3 = 27 — 15 = 12
Ответ: 3√81 — 5√9 = 12. - 21. Вынесите множитель из-под знака корень: √60
Как решаем: √60 = √15 * √4 = 2√15
Ответ: √60 = 2√15. - 22. Вынесите множитель из-под знака корень: √160
Как решаем: √160 = √16 * √10 = 4√10
Ответ: √160 = 4√10. - 23. Внесите множитель под знак корня: 6√7
Как решаем: √6 2 * 7 = √36 * √7 = √252
Ответ: 6√7 = √252. - 24. Внесите множитель под знак корня: 8√2
Как решаем: 8√2 = √8 2 * 2 = √64 * √2 = √128 Ответ: 8√2 = √128. - 25. Внесите множитель под знак корня: 9√5
Как решаем: 9√5 = √9 2 * 5 = √81 * √5 = √405
Ответ: 9√5 = √405. - 26. Упростите выражение: (5 — √2) 2
Как решаем: (5 — √2) 2 = 5 2 — 2 * 5 * √2 + (√2) 2 = 25 — 10√2 + 2 = 27 — 10√2.
Ответ: (5 — √2) 2 = 27 — 10√2. - 27. Вычислите значение выражения: 3√49 — 3√25
Как решаем: 3√49 — 3√25 = 3 * 7 — 3 * 5 = 21 — 15 = 6
Ответ: 3√49 — 3√25 = 6. - 28. Вычислите значение квадратного корня: √484 * √576
Как решаем: √484 * √576 = 22 * 24 = 528
Ответ: √484 * √576 = 528. - 29. Вычислите значение квадратного корня: √625 * √81
Как решаем: √625 * √81 = 25 * 9 = 225
Ответ: √625 * √81 = 225. - 30. Найдите значение выражения: 3√100 — √144
Как решаем: 3100 — 144 = 3 * 10 — 12 = 18
Ответ: 3√100 — √144 = 18.
- 0 0 0 0 0 0
Вебинар : Гаджеты: как вернуть ребёнка в реальность среда, 23 февраля в 19:00 МСК
Квадратный корень. Действия с квадратными корнями. Модуль. Сравнение квадратных корней
Готовиться с нами — ЛЕГКО!
Эффективное решение существует!
Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.
Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.
После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.
Факт 1.
\(\bullet\) Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\) (то есть \(a\geqslant 0\) ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа \(a\) называется такое неотрицательное число \(b\) , при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text<то же самое, что >\quad a=b^2\] Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\) . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\) и \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Чему равен \(\sqrt<25>\) ? Мы знаем, что \(5^2=25\) и \((-5)^2=25\) . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\) не подходит, следовательно, \(\sqrt<25>=5\) (так как \(25=5^2\) ).
Нахождение значения \(\sqrt a\) называется извлечением квадратного корня из числа \(a\) , а число \(a\) называется подкоренным выражением.
\(\bullet\) Исходя из определения, выражения \(\sqrt<-25>\) , \(\sqrt<-4>\) и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\) до \(20\) : \[\begin
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt
Пример: \(\sqrt<32>\cdot \sqrt 2=\sqrt<32\cdot 2>=\sqrt<64>=8\) ; \(\sqrt<768>:\sqrt3=\sqrt<768:3>=\sqrt<256>=16\) ; \(\sqrt<(-25)\cdot (-64)>=\sqrt<25\cdot 64>=\sqrt<25>\cdot \sqrt<64>= 5\cdot 8=40\) . \(\bullet\) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt<44100>\) . Так как \(44100:100=441\) , то \(44100=100\cdot 441\) . По признаку делимости число \(441\) делится на \(9\) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\) , то есть \(441=9\cdot 49\) .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt<44100>=\sqrt<9\cdot 49\cdot 100>= \sqrt9\cdot \sqrt<49>\cdot \sqrt<100>=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt<\dfrac<32\cdot 294><27>>= \sqrt<\dfrac<16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2><9\cdot 3>>= \sqrt< \dfrac<16\cdot4\cdot49><9>>=\dfrac<\sqrt<16>\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt<49>><\sqrt9>=\dfrac<4\cdot 2\cdot 7>3=\dfrac<56>3\]
\(\bullet\) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\) (сокращенная запись от выражения \(5\cdot \sqrt2\) ). Так как \(5=\sqrt<25>\) , то \[5\sqrt2=\sqrt<25>\cdot \sqrt2=\sqrt<25\cdot 2>=\sqrt<50>\] Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt <> \ \) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\) можно, потому что \(16=4^2\) , поэтому \(\sqrt<16>=4\) . А вот извлечь корень из числа \(3\) , то есть найти \(\sqrt3\) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\) .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt<15>\) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) и т.д.
\(\bullet\) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой \(\mathbb
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
\(\bullet\) Модуль вещественного числа \(a\) – это неотрицательное число \(|a|\) , равное расстоянию от точки \(a\) до \(0\) на вещественной прямой. Например, \(|3|\) и \(|-3|\) равны 3, так как расстояния от точек \(3\) и \(-3\) до \(0\) одинаковы и равны \(3\) . 
\(\bullet\) Если \(a\) – неотрицательное число, то \(|a|=a\) .
Пример: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Если \(a\) – отрицательное число, то \(|a|=-a\) .
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\) .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\) , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\) . \(\bullet\) Имеют место следующие формулы: \[<\large<\sqrt
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt
\(\phantom<00000>\) 2) \((\sqrt<2>)^2=2\) . \(\bullet\) Так как \(\sqrt
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt<4^6>=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt<(-25)^2>=|-25|=25\) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\) ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt
Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\) Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a , то \(a ; если \(\sqrt a=\sqrt b\) , то \(a=b\) .
Пример:
1) сравним \(\sqrt<50>\) и \(6\sqrt2\) . Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt<36>\cdot \sqrt2=\sqrt<36\cdot 2>=\sqrt<72>\) . Таким образом, так как \(50 , то и \(\sqrt <50>. Следовательно, \(\sqrt <50>.
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt<50>\) ?
Так как \(\sqrt<49>=7\) , \(\sqrt<64>=8\) , а \(49 , то \(7 , то есть число \(\sqrt<50>\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Сравним \(\sqrt 2-1\) и \(0,5\) . Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Следует запомнить, что \[\begin
Возьмем \(\sqrt<28224>\) . Мы знаем, что \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) и т.д. Заметим, что \(28224\) находится между \(10\,000\) и \(40\,000\) . Следовательно, \(\sqrt<28224>\) находится между \(100\) и \(200\) .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\) и \(130\) ). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\) , \(12^2=144\) и т.д., тогда \(110^2=12100\) , \(120^2=14400\) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900\) . Таким образом, мы видим, что \(28224\) находится между \(160^2\) и \(170^2\) . Следовательно, число \(\sqrt<28224>\) находится между \(160\) и \(170\) .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\) ? Это \(2^2\) и \(8^2\) . Следовательно, \(\sqrt<28224>\) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\) и \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Следовательно, \(\sqrt<28224>=168\) . Вуаля!
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
Формулы степеней и корней.
Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.
Число c является n-ной степенью числа a когда:
Операции со степенями.
1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:
2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:
5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:
Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.
Операции с корнями.
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:
3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:
5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:
Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4 :a 7 = a 4 — 7 = a -3 .
Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n, нужно присутствие нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.
Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:
Формулы степеней.
6. a — n = 
— деление степеней;
7. 
— деление степеней;
8. a 1/n = 
;
http://shkolkovo.net/theory/kvadratnyj_koren_dejstviya_s_kvadratnymi_kornyami_modul_sravnenie_kvadratnyh_kornej
http://www.calc.ru/Formuly-Stepeney-I-Korney.html