Как вводить переменную в уравнение

Введение переменных и составление уравнений в задачах

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

• Систематизировать способы введения переменной в текстовых задачах через повторение вариантов составления уравнений и закрепление навыков составления краткой записи.
• Развивать логическое мышление учащихся, учить сравнивать, анализировать, выбирать наиболее рациональное решение, формировать правильную математическую речь.
• Развивать навыки самостоятельности, самообучения.

Форма урока: урок обобщения навыков, исследовательская работа.

Оборудование урока:

• Магнитная доска.
• Индивидуальные доски учащихся, фломастеры.
• Таблички для обобщения, формулировки выводов.
• Кружки разного размера для работы на доске.
• Раздаточный материал для учащихся с текстом задач /приложение 1/.

Структура урока:

1. Организационный этап. (2 мин)

2. Пропедевтический этап. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (3 мин).

3. Постановка цели и задач урока (1 мин).

4. Выбор переменной в задачах (10 мин).

5. Способы составления уравнений (15 мин).

6. Итог урока (3 мин)

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

8. Самостоятельная работа (10 мин)

На доске:

• Тема урока, число (центральная доска слева).
• Примеры для устного счета (дополнительная доска слева).
• Домашнее задание (дополнительная доска справа)
• Тексты задач 1д, 1е из раздаточного материала (доп.доска справа внутри, т.е. не видна в начале урока)

Перед началом урока (до звонка) учитель собирает тетради с домашней работой.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Откройте тетради, запишите число. В дневник запишите домашнее задание (показывает на доске): №1373в, задача №3 в приложении.

Закройте дневники, подготовьте доски, поиграем в «молчанку».

Учитель раскрывает дополнительную доску, учащиеся пишут ответы на индивидуальных досках:

• Привести подобные слагаемые:
  
• Записать в виде десятичной дроби: 40%; 20%; 185%; 7%.
• Выразить значение десятичной дроби в процентах: 0,35; 02; 0,03; 1,25.
• Найти 2/3 oт x; 5/7 от a.
• Найти число, если 3/4 его составляют r. Найти число, если 5/7 его составляют n;
• Выделить целую часть 5/3; 3/2; 8/3.

Учащиеся по просьбе учителя записывают ответ на индивидуальной доске, показывают учителю ответ. При затруднении кто – либо из учащихся комментирует решение. При значительном затруднении решение записывается в тетрадь. Но к данному уроку эти задания должны быть достаточно отработаны и только повторяются.

Учитель: Мы говорили ранее, что умение решать задачи является основным. Задачи можно решать по-разному. Одним из способов является решение с помощью составления уравнения. Этим способом мы с вами только начинаем овладевать. Важным моментом для умения решения задачи с помощью уравнений является выбор переменной. Ведь это самое начало решения! А как начнешь дело, так и его закончишь.

Сегодня на уроке мы повторим некоторые возможные способы выбора переменной, рассмотрим достоинства и недостатки этих способов.

А в конце урока мы должны будем определиться в ответе на вопрос: как же вводить переменную и составить уравнение, чтобы задача легче решалась? Запишите тему урока.

Предлагаем отработанный блок вопросов для работы с условием текстовой задачи:

Учитель:Посмотрите на задачу 1а (см. Приложение 1). Прочитайте условие задачи.

• О чем говориться в задаче? (Предполагаемый ответ: в задаче говорится о поле)
• На какие части можно условно разделить поле в задаче? (I участок, II участок)
• Какая величина характеризует поле? (Площадь поля)
• В чем она измеряется? (Гектарах)
• Какова площадь поля? (2,4 га)
• Какова площадь первого участка? (Неизвестна)
• Какова площадь второго участка? (Неизвестна)
• Какова зависимость между неизвестными величинами? (s1>s2 на 0,8 га)
  В процессе беседы по типовым вопросам на доске и в тетрадях учащихся появляется краткая запись условия задачи

• Какую смысловую нагрузку несет значение величины s=2,4га? (Если к площади первого участка прибавить площадь второго участка, то получим значение площади всего поля или 2,4 га по условию задачи).

Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.

• Значение какой величины можно обозначить через переменную? (Площадь второго поля обозначим через х, т.к. она меньшая)
• Как выразить другую величину? ((х+0,8)га)
• Можно ли обозначить буквой значение другой величины? (Да: площадь первого поля обозначим через у)

В результате этой части беседы краткая запись дополняется кружками, обозначающими зависимость между величинами:

• Каким из этих способов предпочтительнее вводить переменную? (Первым, но незначительно. Способы практически равнозначны)

Разберем в парах введение переменной в задаче 1б (см. Приложение 1)

Учащиеся работают в парах с соседом по парте. Один ученик задает вопросы, другой отвечает. Считаем необходимым отметить, что одним из навыков решения задачи является умение задавать вопросы самому себе. К данному уроку работа над умением задавать вопросы велась неоднократно. Две пары учеников выполняют работу на доске. После пары проверяют записи на доске друг у друга вместе с классом. Лучшую запись оставляют на доске. Ответы учащихся оцениваются друг другом. Учитель комментирует сам или требует комментариев от учащихся по вопросу выставления оценок. В результате на доске остается запись:

• Какой способ введения переменной рациональнее? (Первый)
• Можно ли вводить переменную вторым способом? (Да, если выполнить преобразования: y : 3 = y * 1/3 = 1/3 y)

Аналогично организовать работу над задачами 1в, 1г.

Получить на доске краткие записи работы:

В соответствии с уровнем подготовки школьников следует уделять внимание логическим пояснениям и математическим преобразованиям в каждом случае. Обязательно подвести учащихся к выводу, что любой способ введения переменной является правильным, но не любой – самым легким для последующего решения.

Учитель: Какие зависимости между неизвестными величинами мы уже рассмотрели? (Больше – меньше, одна величина является частью от другой, в том числе процентной) Рассмотрим другие случаи зависимости: (тексты дублировать на дополнительной доске, краткая запись – в результате беседы)

Необходимо отметить, что мы уделяем особое внимание символическим обозначениям. Мы вводим свои условные знаки, которые являются как бы мостиком при переводе информации с русского на математический язык. Так, зависимость между величинами мы обозначаем кружками, которые позволяют легче усвоить смысл уравнивания величин с помощью весов, а разность обозначаем в виде гири, которая к этому времени трансформировалась в прямоугольник. Поэтому наиболее тяжелая для учащихся зависимость «разность чисел» легко переформулируется в «больше — меньше».

Учитель: Подведем итог нашей работы.

Нужно, чтобы учащиеся самостоятельно сделали ряд выводов:

• Существуют различные зависимости между величинами (больше – меньше, часть – целое, сумма, разность)
• Выбор переменной может быть любым.
• От выбора переменной зависит дальнейшее решение задачи.

Учитель: Мы уже отметили, что умение ввести переменную для решения задачи очень важно. Но в тексте задачи обычно несколько условий, характеризующих зависимость между величинами. Причем никогда не сообщается, при помощи какого условия надо вводить переменную. Кроме того, решение не ограничивается введением переменной. Давайте вспомним, как расчленять условие задачи на отдельные части.

Прочитайте задачу №2 (см.Приложение)

1. О чем говорится в задаче? (В задаче говорится о возрасте)
2. На какие части можно условно разделить возраст? (Возраст отца и возраст сына)
3. Знаем ли мы возраст отца? (Нет)
4. Знаем ли мы возраст сына? (Нет)
5. Прочитайте условие, которое связывает возраст отца и возраст сына. (Их два: сын младше отца в 4 раза; отец старше сына на 27 лет)
6. Переформулирем эти условия так, чтобы использовалась уже известная зависимость. (Возраст сына в 4 раза меньше, чем возраст отца; возраст отца на 27 лет больше возраста сына)
7. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст отца с возрастом сына. (Возраст отца больше возраста сына в 4 раза, возраст отца больше возраста сына на 27 лет)
8. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст сына с возрастом отца. (Возраст сына меньше возраста отца на 27 лет. Возраст сына меньше возраста отца в 4 раза.).

В результате на доске и в тетрадях учащихся появляется основная краткая запись (учащиеся в тетради её не делают, но на доске эта запись будет в работе в течение всего решения):

1. В задаче выделились два условия и вопрос. (Вопрос: сколько лет отцу?)
2. Каким способом можно решать задачу? (Задачу можно решать с помощью уравнения, так как значения обеих величин неизвестны, а известна зависимость между ними)
3. С помощью какого условия можно ввести переменную? (Возраст сына на 27 лет меньше, чем возраст отца).
4. Для чего тогда можно использовать второе условие? (Второе условие можно использовать для составления уравнения.) На доске прикрепляются таблички:

Для введения
переменной

Для составления
уравнения

Составьте схемы уравнений и сами уравнения по второму условию. Учащиеся составляют в тетради и на доске схемы и уравнения по ним:

Возможно ли обозначить переменной значение другой величины? Введите переменную по-другому, составьте схемы уравнений, сами уравнения, сделайте вывод.

Дети составляют краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. На дополнительных досках работают два ученика. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения. Сравниваем его с первоначальным, делаем выводы: схемы для составления уравнений одинаковые, т.к. условие для составления уравнения не изменилось. Схемы можно было не составлять. Уравнения отличаются незначительно.

1. Можно ли было использовать первое условие для составления уравнения, а второе – для введения переменной. (Да) Меняем таблички с надписями «для составления уравнения», «для введения переменной» местами в основной краткой записи.

Учащиеся самостоятельно составляют схемы уравнений, уравнения. На доске записываем только то, которое они считают рациональным.

Составляем краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения, записываем его на доске.

6. Итог урока (3 мин).

При подведении итога урока учащиеся просматривают вторую часть классной работы, подсчитывают количество возможных вариантов составления уравнения в зависимости от введения переменной в задачу (пишут: I способ, II способ…). Повторяют вывод, уже сделанный для каждого способа. Учителю при самостоятельной работе учащихся необходимо следить за тем, чтобы наиболее рациональные варианты стояли на различных местах по порядку, иначе учащиеся могут сделать неправильный вывод.

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

Учитель:Дома вы будете решать пример (№1373в) и задачу № 3 из приложения. Каким способом будете вводить переменную? Верно, каждый своим способом. Решение задачи полностью записать в тетради.

• Так какой же способ самый правильный? (Никакой, правильные все)
• Какой саамы рациональный и легкий для решения? (Учащиеся могут назвать разные варианты) Запишите решение тем способом, который кажется вам рациональнее.

8. Самостоятельная работа (10 мин).

Учащиеся записывают решение уравнения и сдают тетради на проверку. Из опыта работы можем утверждать, что учитель успевает проверить работу учащихся и выставить отметки за урок за время выполнения всем классом самостоятельной работы. Учащиеся выполняют следующую домашнюю работу в этих же тетрадях.

Использование данной методики работы над текстовой задачей дает хорошие результаты.

Учебник: Н.Я. Виленкин и др., Математика, 6 класс.

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

• (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
• , это уравнение вида f₁(g(x))=f₂(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f₁ и f₂ таковы, что и ;
• , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f₁(g(x))=f₂(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f₂(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
• если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t₁, t₂, …, t_n , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t₁=1 и t₂=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

• что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
• что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x₀) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x₀) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x₀ является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x₀)∈T , то есть, g(x₀) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

• Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t₁ , то составляется уравнение g(x)=t₁ ,
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t₁, t₂, …, t_n , то составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n ,
  • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t₁)∪2>∪[t₃, t₄) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

• решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
• метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
• решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
• решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение

4. Метод введения новой переменной

Теория:

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Уравнение 3 x = 9 имеет корень x = 2 , а уравнение 3 x = − 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.