Как выбрать уравнение с наибольшим решением

Финансовая математика. Оптимальный выбор

В задании №17 в ЕГЭ по профильной математике, вместо ожидаемой текстовой задачи на кредиты, иногда встречаются оптимальный выбор. Этот вид задач считается более сложным по сравнению с кредитами. Чтобы хорошо подготовиться к экзамену, нужно научиться их решать.

Тут требуется умение искать наибольшие и наименьшие значения функции, обычно зависящей от нескольких переменных. Эти переменные, как правило, связаны дополнительными условиями.

Вам обязательно понадобится умение искать производные и исследовать функции на экстремумы. Нужно знать, что такое ограниченные, возрастающие и убывающие функции. Если вы умеете решать 12-й и 7-й номера из ЕГЭ, то вам повезло – все необходимое для решения инструменты уже у вас в руках. А те, кто не умеет считать производные, то настоятельно рекомендуем сначала разобраться с первой частью экзамена и только потом переходить на более сложные задачи, такие, как №17.

Основной подход к решению заключается в следующем. Необходимо составить функцию, задающую нужную зависимость – если нужно найти максимальную или минимальную прибыль, значит это должна быть функция, описывающая прибыль, если нужен максимальный выпуск продукции на заводе, значит функция должна задавать количество продукции выпускаемой заводом, нужно найти оптимальное расстояние – наша функция будет описывать расстояние. Внимательно, функция может зависеть сразу от нескольких переменных. После того, как вы смогли записать функцию, нам предстоит ее исследовать.

На самом деле, тут нет какой-то сухой теории, которую можно прочить и научиться решать задачи на оптимальный выбор. Поэтому давайте учиться на примерах. Сначала разберем простые, поймем алгоритм решения, а потом перейдем к более сложным, которые могут встретиться на экзамене.

Пусть у Василия есть завод, который выпускает спичечные коробки. Расходы на производство одного коробка 1 руб, а продает он их за 5 руб. В итоге с каждого коробка Василий получает прибыль 4 руб. Давайте разберемся, сколько нужно производить коробков, чтобы прибыль была наибольшей, если \(Х\) работников завода может производить в месяц \( N=-\left(x-10\right)^<2>+500\) коробков.

И так, согласно условию задачи, если на заводе Х работников, то они производят \( N=-\left(x-10\right)^<2>+500\) коробков.

А какая прибыль \(P\) с такого количества? Ответ очевиден, нужно просто прибыль (4 руб) с одного коробка умножить на количество произведенных коробков: \( P=4*(-\left(x-10\right)^<2>+500)\).

Давайте посмотрим при каком количестве работников прибыль Василия будет максимальна. Или другими словами при каком \(Х\) будет наибольшим \(Р\). Такое задание часто встречается в 12-м номере ЕГЭ, нужно просто исследовать нашу зависимость прибыли \( P=4*(-\left(x-10\right)^<2>+500)\) от \(Х\) и найти экстремумы.

Напомню, что функция принимает наибольшее или наименьшее значения в точках, где ее производная равна 0. Значит ищем производную от \(Р\) и приравниваем к 0.

И ищем \(Х\), при котором производная равна \(0\):

Что мы такое нашли? При этом значении \(Х\) (количестве рабочих) прибыль будет либо максимальна, либо минимальна. Это точка экстремума, а какая именно, мы пока не знаем.

Давайте это определим. Напоминаю, если производная отрицательная, то функция убывает, если положительна, то возрастает. Если подставить значения меньшее \(10\) в нашу производную, например \(1\):

Значение производной получилось больше 0:

Значит при \(Х 10\) убывает. А значит \(Х=10\) – это максимум. Мы получили, что максимальная прибыль будет, если на производстве будет задействовано всего 10 рабочих. Как так может быть? Казалось бы, чем больше рабочих, тем больше продукции выпускает завод, а значит и больше прибыль. Но в реальной жизни все не так просто – размеры завода ограничены, и если там будет слишком много людей, то они просто будут мешать друг другу делать свою работу, в результате выпуск продукции начнет снижаться или поднимутся расходы на производство.

Вернемся к задаче, а какая будет максимальная прибыль? Просто подставим \(Х=10\) в функцию для прибыли:

$$ P=4*(-\left(x-10\right)^<2>+500)= 4*(-\left(10-10\right)^<2>+500)=4*500=2000 руб. $$

Только что мы решили первую задачу на оптимальный выбор.

Разберем следующий пример:

Пусть опять у нас есть завод, на котором расходы на производство \(y\) автомобилей составляет \(Q=0,5y^2+y+7\) миллионов рублей в месяц. Если продавать каждый автомобиль за \(S\) тысяч рублей, то при продаже всех произведенных за месяц автомобилей завод получит доход \(S*y\), а заработает на этом прибыль (доходы минус расходы) — \(S*y-Q\). Какую наименьшую цену продажи \(S\) нужно установить, чтобы за 3 месяца завод получил прибыль 75 миллионов рублей?

Первым делом давайте составим функцию, описывающую зависимость прибыли от количества произведенной продукции и цены продажи, которую мы должны установить. Сразу 2 неизвестные!

И так, чтобы посчитать прибыль \(P(y,S)\), зависящую от \(у\) и \(S\), нам нужно стоимость продажи одного автомобиля \(S\) умножить на количество проданных машин \(у\), получим общий доход, и вычесть все расходы \(Q\), которые мы понесли при производстве (в условии, кстати, это написано — подсказка):

Проанализируем полученное выражение. Это квадратный многочлен. Если построить график относительно \(у\), то это уравнение параболы. Как анализировать квадратные многочлены, можно посмотреть тут.

Так как коэффициент перед \(y^2\) отрицательный, то ветки параболы направлены вниз. То есть, наибольшее значение нашей функции будет в вершине параболы. Можно по известным формулам найти вершину и значение функции и в ней, это и будет максимальное значение. А можно пойти по старому пути, как в примере 1, и посчитать производную. Число \(S\) будем считать просто за константу, то есть берем производную относительно \(у\):

Приравниваем производную нулю, чтобы найти точки экстремума:

Так как график исходной функции парабола с ветками вниз, то это точка максимума функции \(P(x,S)\). Подставим \(y=S-1\) в нашу функцию:

Мы получили — какую максимальную прибыль мы можем заработать в зависимости от \(S\). Другими словами, подставляя различные значения стоимости автомобиля в нашу функцию, получим максимальную прибыль при данной стоимости продажи.

По условию задачи общая прибыль за 3 месяца должна быть не меньше чем 75 миллионов рублей. Запишем это в виде неравенства:

Осталось только решить это неравенство:

\(S\) отрицательным быть не может, что это тогда за бизнес, где цена продаваемой продукции отрицательна. А значит при \(S \ge9\) прибыль завода будет больше 75 миллионов рублей.

Решим задачу на оптимизацию расстояния:

Два мотоциклиста подъезжают к перекрестку по двум перпендикулярным дорогам. Первый едет со скоростью 40 км/ч и до перекрестка ему осталось ехать 5 км, а скорость второго 30км/ч и ехать до перекрестка 3 км. Через какое время расстояние между мотоциклистами будет наименьшим?

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора, ведь мотоциклисты едут по взаимно перпендикулярным дорогам, а значит расстояние между ними — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а катеты – это расстояния от каждого мотоциклиста до перекрестка.

Пусть мотоциклисты уже находятся в пути \(t\) часов. Тогда первый проедет расстояние:

До перекрестка осталось ехать

Мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(S_1\) и \(S_2\). По теореме Пифагора выведем функцию, задающую расстояние между мотоциклистами:

Согласно условию задачи, нужно найти такое время \(t\), чтобы расстояние \(L\) было наименьшим. Для этого опять возьмем производную и исследуем функцию \(L\) на экстремум:

Так как при \(t\) меньшем этого числа производная функции отрицательна, а при большем – положительна, то получаем точку минимума и, что расстояние между мотоциклистами будет наименьшим через \(\frac<29><250>\) часа, это и требовалось найти.

Если бы в задаче нас попросили еще найти это расстояние, то нужно подставить \(t=\frac<29><250>\) в функцию расстояния \(L\):

Как выбрать уравнение с наибольшим решением

В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ― от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где ), тогда в больший класс попало девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

В решении указано, что x принадлежит от 2 до 22. Но х должен принадлежать от 1 до 22, т.к. количество девочек в меньшем классе может быть именно от 1.

Такого быть не может.

По условию мальчиков всего 20. А в меньшем классе 22 человека. Если там будет одна девочка и 20 мальчиков, то кто же будет 22-м учеником?

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t 2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t 2 у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит Тогда на второй объект будет направлено рабочих — суточная заработная плата составит В день начальник будет должен платить рабочим у. е.

Рассмотрим функцию при Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у. е.

При сохрании 4,8 ответ получается 460,8 у. е. Почему нельзя брать его? В условии же не говорится, что количество у. е. — целое число.

Какой Вы жестокий.

Здравствуйте, хотела бы узнать откуда взялось Х0=4,8?, из квадратичного уравнения оно не выходит.

Для квадратичной функции абсцисса вершины параболы находится по формуле

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак, У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при мин. Найдем его:

Таким образом, минимальное расстояние между велосипедистами равно км, и будет достигнуто через мин.

Ответ: мин, км.

Условие уточнено редакцией Решу ЕГЭ.

В условии сказано, что велосипедисты движутся по направлению к перекрестку и ничего не сказано, куда они будут двигаться, достигнув этого перекрёстка, и будут ли вообще куда-то двигаться. И даже продолжается ли каждая из дорог после этого перекрёстка нам тоже неизвестно (бывают ведь и Т-образные перекрёстки). И остаются ли они на этом продолжении, если таковое имеется, по-прежнему взаимно перпендикулярными.

На мой взгляд, правильным решением будет тот момент, когда второй велосипедист достигнет перекрёстка, то есть через шесть минут. Ведь именно в этот момент они оба ещё двигались по направлению к перекрестку. К этому моменту первый велосипедист будет на расстоянии 1 км от перекрёстка и от второго велосипедиста. То есть при решении задачи минимум функции f(t) следует искать на отрезке от 0 до 0,1 часа. В предложенном же на сайте варианте решения второй велосипедист уже почти целую минуту движется по направлению от перекрестка, что не соответствует условию задачи.

Замечу ещё, что «два велосипедиста», на мой взгляд, не соответствует нормам правописания в русском языке: правильно — «двое велосипедистов». Сорри за занудство.

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

часа.

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений и примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство то есть = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет часа.

Ответ: 6 км/ч, часа.

Решение простых линейных уравнений

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

1. 4х + 8 = 6 − 7х
2. 4х + 7х = 6 − 8
3. 11х = −2
4. х = −2 : 11
5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

1. 
2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
3. 9х — 12 = 28х + 24
4. 9х — 28х = 24 + 12
5. -19х = 36
6. х = 36 : (-19)
7. х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.