Как выделить целую часть дроби уравнения

Как выделить целую часть дроби

Как неправильную дробь перевести в правильную? Для этого надо выделить из нее целую часть. А как выделить целую часть дроби? Рассмотрим, как это следует делать, в теории и на примерах.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно:

1) Разделить с остатком числитель на знаменатель.

2) Неполное частное записать в целую часть.

3) Остаток (если он есть) записать в числитель.

4) Знаменатель оставить тот же.

Теперь рассмотрим, как выделить целую часть дроби, на конкретных примерах.

Перевести неправильные дроби в правильные:

1) Делим с остатком числитель на знаменатель:

Неполное частное равно 8. Это — целая часть. Остаток от деления равен 3. Его записываем в числитель. Знаменатель 7 переписываем без изменения:

так как числитель делится на знаменатель нацело.

«Выделение целой части из неправильной дроби» (урок «Открытие нового знания»). 4-й класс

Разделы: Математика

Класс: 4

Основные цели:

1. Сформировать способность к выделению целой части из неправильной дроби.
2. Повторить понятия числителя и знаменателя, дроби правильные и неправильные, смешанные числа.
3. Актуализировать умение выделять целую часть из неправильной дроби.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: действие по аналогии, анализ, обобщение.

1) Формула деления с остатком.

2) Алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.

3) Знаковая форма выделения целой части из неправильной дроби.

1) листочки с заданием (к этапу 2)

Опеределите по числовому лучу какому смешанному числу соостветствуют дроби

2) Подробный образец для самопроверки (к этапу 6)

1 Самоопределение к учебной деятельности.

Цели:

1. Мотивировать учащихся к учебной деятельности посредством закрепления ситуации успеха, достигнутой на предыдущем уроке.
2. Определить содержательные рамки урока.

Организация учебного процесса на этапе 1.

— На протяжении нескольких уроков мы работали с некоторыми числами. С какими числами мы работали? (С дробными числами).

— Какие знания у нас есть об этих числах? (Умеем их читать, записывать, сравнивать, решать задачи).

— Предлагаю продолжить нашу плодотворную работу. Вы готовы? (Да).

— Сегодня мы продолжим работать с дробными числами. Я уверена, что у нас с вами все получится на отлично. Но сначала повторим материал предыдущих уроков.

2 Актуализация знаний и фиксация затруднений в индивидуальной деятельности.

Цели:

1. Актуализировать умение находить правильные и неправильные дроби, смешанные числа, определение правильной и неправильной дроби, смешанного числа.
2. Актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала.
3. Зафиксировать ситуацию, когда учащиеся не смогут выделить целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 2.

— С какими числами мы познакомились на предыдущем уроке? (Со смешанными числами).
— Из чего состоит смешанное число? (Из целой и дробной части).

На доске записаны дроби и смешанные числа.

— На какие группы можно разделить представленные числа?

— Правильные дроби ().

— Какие дроби называются правильными? (Дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Правильная дробь меньше единицы).

— Неправильные дроби. (…..)

— Какие дроби называются неправильными? (Дробь, у которой числитель больше знаменателя или числитель равен знаменателю).

— Какие из неправильных дробей можно представить в виде натурального числа?

()

— Какую дробь можно представить в виде смешанного числа? (Неправильную дробь, где числитель больше знаменателя).

— Определите с помощью числового луча, какому смешанному числу равна дробь

У учащихся лист с заданием (Р-1), один ученик работает у доски, комментирует.

— Назовите наименьшее смешанное число?( )

— Наибольшее? ()

— Какое арифметическое действие вам помогло? ( Деление. Деление с остатком).

— Докажите. (На доске: Д-1).

— 12:7=1 (ост.5); 15:7=2 (ост.1); 25:7=3 (ост.4); 31:7=4 (ост.3)

— Выделите целую часть дроби , запишите смешанное число. Дети работают на обратной стороне листочка. Разные варианты ответов выносятся на доску.

— Как вы действовали?

3 Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности.

Цели:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие по выявлению отличительного свойства задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Согласовать тему и цель урока.

Организация учебного процесса на этапе 3.

— Какое задание вы выполняли? (Надо выделить целую часть из дроби ).

— Чем это задание отличается от предыдущего? (Тот способ, который нам помогал выделять целую часть из неправильной дроби не подходит для дроби . Эту дробь неудобно показать на числовом луче).

— Что же мы видим? (У нас получились разные ответы).

— Почему? (Мы пользовались разными способами. У нас нет алгоритма выделения целой части из неправильной дроби).

— Какова же цель нашего урока? (Построить алгоритм и научиться выделять целую часть из неправильной дроби).

— Подумайте и сформулируйте тему нашего урока. («Выделение целой части из неправильной дроби»).

На доске открывается название темы урока.

4 Построение проекта выхода из затруднения.

Цель:

1. Организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия для выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать новый способ в знаковой и вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 4

— =?

— Каким способом вы предлагаете найти, сколько в дробном числе целых единиц? (Числитель разделить на знаменатель).

— Какой знак в записи дроби вам подсказал, как надо действовать? (Черта дроби – знак деления).

числитель
разделить
на знаменатель
a : b

— Запишем дробь в виде частного: 65 : 7.

— Какой это вид деления? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

— Найдите результат. (65 : 7 = 9) (ост. 2)

— Что означает в полученном равенстве частное 9 и остаток 2? (Частное 9 означает, что в 65 содержится 9 раз по 7 и 2 остается).

— Что будет обозначать частное 9 в смешанном числе? (9 – это целая часть смешанного числа).

частное ( c ) —
целая часть

— Что будет обозначать остаток 2 в смешанном числе? (2 – это числитель дроби смешанного числа).

остаток ( r ) —
числитель

— А знаменатель? (Он остается, не изменяется).

знаменатель ( b )
не изменяется

— Какое смешанное число у нас получилось?

—

— Выполнили мы задание? (Да).

— Какое математическое действие нам помогло? (Деление с остатком. На доске: Д-1).

Учитель возвращается к ответам на листочках, обобщает, поощряет словом тех, кто выполнил правильно. В групповой форме учащиеся выводят новый способ в знаковой форме на листочках. Выбирается правильный вариант.

— Запишите, пользуясь формулой деления с остатком (Д-1), какому смешанному числу равна дробь ?

— Как из неправильной дроби выделить целую часть?

— Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, надо её числитель разделить на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток – числитель, а знаменатель не изменяется.

— Давайте всё же проверим наше мнение с мнением учебника. Откройте страницу 26, Математика 4 (2 часть), прочитайте правило сначала про себя, а потом вслух.

— Мы были правы? (Да).

Физминутка (по выбору учителя).

5 Первичное закрепление во внешней речи.

Цель:

Зафиксировать способ выделения целой части из неправильной дроби во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 5.

— Давайте ещё раз повторим алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Д-2

— Мы с вами составили алгоритм выделения целой части из неправильной дроби. Какова цель нашей дальнейшей деятельности? (Потренироваться).

№ 4 (а,б,в) стр. 26 – с комментированием по образцу.

№ 4 (г, д) стр. 26 – в парах.

6 Самоконтроль с самопроверкой.

Цель:

1. Организовать самостоятельное выполнение учащимися задания на выделение целой части из неправильной дроби.
2. Тренировать способность к самоконтролю и самооценке.
3. Проверить своё умение выделять целую часть из неправильной дроби.
4. Способствовать созданию ситуации успеха.

Организация учебного процесса на этапе 6.

— Вы сумели вывести алгоритм выделения целой части из неправильной дроби и потренировались в решении примеров. Я думаю, теперь вы сможете выполнить задание сами.

№ 3 стр. 26 – 1 вариант – 1 и 2 столбик;

2 вариант – 3 и 4 столбик;

— Кто желает, может выполнить задание и другого варианта.

Учащиеся выполняют работу, по окончании которой проверяют себя по образцу для самопроверки. Используется карточка Р-2.

— Проверьте себя по образцу для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?» зеленой ручкой.

— Кто допустил ошибки при выполнении задания? (…)

— У кого все верно?

Можно организовать работу по коррекции ошибок в группах или фронтально. Консультантами назначаются учащиеся, которые не допустили ошибок.

7 Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

Тренировать способности выделять целую часть из неправильной дроби.

Организация учебного процесса на этапе 7.

— Попробуем применить наши знания при сравнении дроби и смешанного числа.

— Найдите неравенство, в котором надо сравнить правильную дробь с неправильной.

—

— Что будем делать?

— Выделим целую часть из неправильной дроби.

— Значит?!

—

— Неправильная дробь больше правильной. Мы это доказали, выделив целую часть.

— Закончите задание, сравните.

8 Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

1. Зафиксировать в речи алгоритм выделения целой части из неправильной дроби.
2. Зафиксировать затруднения, которые остались, и способы их преодоления.
3. Оценить собственную деятельность на уроке.
4. Согласовать домашние задание.

Организация учебного процесса на этапе 8.

— Чему научились на уроке? (Выделять целую часть из неправильной дроби).

— Какой алгоритм мы построили? (Можно проговорить алгоритм Д-2).

— У кого были трудности? Как будете, действовать?

— Кто сегодня доволен собой? Почему?

— Оцените объективно свою работу на уроке, выбрав соответствующее смешанное число. Число запишите зеленой ручкой на полях тетради.

— мне было трудно на уроке.
— я понял урок, но мне нужна тренировка.
— я хорошо понял урок, но нужна помощь.
— я молодец, понял урок на отлично.

Домашнее задание: придумать пять неправильных дробей и выделить целую часть; №10, №11 стр. 28 – по выбору; № 15 стр. 28 (а или б) – по желанию.

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.