Как выглядит линейное уравнение первого порядка

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Определения и методы решений

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
,
где p и q – функции переменной x .

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
.

Член q ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Разделим обе части исходного уравнения на x :
(i) .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1 ).
Умножим (i) на x 3 :
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3 :
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-07-2012 Изменено: 25-02-2015

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение называется линейным, если в нём функция и все её производные содержатся только в первой степени, отсутствуют и их произведения.

Общий вид линейного дифференциального уравнения первого порядка таков:

где и — непрерывные функции от x.

Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

Интегрирование такого уравнения можно свести к интегрированию двух двух дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Великие математики доказали, что нужную функцию, то есть решение уравнения, можно представить в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y = uv, тогда по правилу дифференцирования произведения функций

и линейное дифференциальное уравнения первого порядка примет вид

. (*)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в этом уравнении выражение в скобках обратилось в нуль:

то есть в качестве функции v берётся одно из частных решений этого уравнения с разделяющимися переменными, отличное от нуля. Разделяя в уравнении переменные и выполняя затем его почленное интегрирование, найдём функцию v. Так как функция v — решение уравнения, то её подстановка в уравнение даёт

Таким образом, для нахождения функции u получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Найдём функцию u как общее решение этого уравнения.

Теперь можем найти решение исходного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Оно равно произведению функций u и v, т. е. y = uv. u и v уже нашли.

Пример 1. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Как было показано в алгоритме, y = uv. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Как видим, всё решение выполняется точным следованием алгоритму, приведённому в начале статьи. Меняются лишь виды функций в уравнениях. Степени, корни, экспоненты и т.д. Это чтобы алгоритм отпечатался в памяти и был готов к разным случаям, которые только могут быть на контрольной и экзамене. А кому стало скучно, наберитесь терпения: впереди ещё примеры с интегрированием по частям!

Важное замечание. При решении заданий не обойтись без преобразований выражений. Для этого требуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные:

и, интегрируя находим u:

Теперь можно записать общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В следующем примере — обещанная экспонента.

Пример 3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируя, находимu:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Любители острых ощущений дождались примера с интегрированием по частям. Таков следующий пример.

Пример 4. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. В этом случае сначала нужно добиться, чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась. Для этого поделим уравнение почленно на «икс» и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Это уравнение с разделяющимися переменными для нахождения функции u. Разделяем переменные и, интегрируем по частям.

В интеграле , .

Тогда .

Интегрируем и находим u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

И уж совсем странной статья о дифференциальных уравнениях была бы без примера с тригонометрическими функциями.

Пример 5. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Решение. Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

В последних двух примерах требуется найти частное решение уравнения.

Пример 6. Найти частное решение линейного дифференциальное уравнение первого порядка

при условии .

Решение. Чтобы производная «игрека» ни на что не умножалась, разделим уравнение почленно на и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Подставляем значение C и получаем частное решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример 7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

при условии .

Перенесём функцию «игрека» в левую часть и получим

Подставляя выражения для и y в уравнение вида (*), получим

(* *).

Выберем функцию v(x) так, чтобы выполнялось равенство

или .

После разделения переменных это уравнение принимает вид

Почленное интегрирование даёт

Подставив найденное значение функции v в равенство (* *), получим

Первый интеграл равен , второй находим интегрированием по частям.

В нём , .

Тогда , .

Находим второй интеграл:

В результате получаем функцию u:

Записываем общее решение данного линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Найдём частное решение уравнения. Для этого в общее решение подставим и и найдём значение C:

Выводы. Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка достаточно однозначен. Трудности чаще всего возникают при интегрировании и это означает, что следует повторить этот обширный раздел математического анализа. Кроме того, что особенно видно из примеров ближе к концу статьи, очень важно владеть приёмами действий со степенями и дробями, а это школьные темы, и если они подзабыты, то их тоже следует повторить. Совсем простых «демо»-примеров ждать на контрольной и на экзамене не стоит.

Линейные уравнения первого порядка

Вы будете перенаправлены на Автор24

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартний вид $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$, где $P\left(x\right)$ — непрерывная функция, называется линейным однородным. Название «линейное» объясняется тем, что неизвестная функция $y$ и её первая производная $y’$ входят в состав уравнения линейно, то есть в первой степени. Название «однородное» объясняется тем, что в правой части уравнения находится нуль.

Такое дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных. Представим его в стандартном виде метода: $y’=-P\left(x\right)\cdot y$, где $f_ <1>\left(x\right)=-P\left(x\right)$ и $f_ <2>\left(y\right)=y$.

Вычислим интеграл $I_ <1>=\int f_ <1>\left(x\right)\cdot dx =-\int P\left(x\right)\cdot dx $.

Вычислим интеграл $I_ <2>=\int \frac \left(y\right)> =\int \frac =\ln \left|y\right|$.

Используя определение логарифма, получим: $\left|y\right|=\left|C_ <1>\right|\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно равенству $y=\pm C_ <1>\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Заменив произвольную постоянную $C=\pm C_ <1>$, получим общее решение линейного однородного дифференциального уравнения: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Решив уравнение $f_ <2>\left(y\right)=y=0$, найдем особые решения. Обычной проверкой убеждаемся, что функция $y=0$ является особым решением данного дифференциального уравнения.

Однако это же решение можно получить из общего решения $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$, положив в нём $C=0$.

Таким образом, окончательный результат: $y=C\cdot e^ <-\int P\left(x\right)\cdot dx >$.

Общий метод решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=0$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Вычисляем интеграл $I=\int P\left(x\right)\cdot dx $.
Записываем общее решение в виде $y=C\cdot e^ <-I>$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’+3\cdot x^ <2>\cdot y=0$.

Имеем линейное однородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=3\cdot x^ <2>$.

Вычисляем интеграл $I=\int 3\cdot x^ <2>\cdot dx =x^ <3>$.

Общее решение имеет вид: $y=C\cdot e^ <-x^<3>> $.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно представить в стандартном виде $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ — известные непрерывные функции, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Название «неоднородное» объясняется тем, что правая часть дифференциального уравнения отлична от нуля.

Решение одного сложного линейного неоднородного дифференциального уравнения может быть сведено к решению двух более простых дифференциальных уравнений. Для этого искомую функцию $y$ следует заменить произведением двух вспомогательных функций $u$ и $v$, то есть положить $y=u\cdot v$.

Выполняем дифференцирование принятой замены: $\frac =\frac \cdot v+u\cdot \frac $. Подставляем полученное выражение в данное дифференциальное уравнение: $\frac \cdot v+u\cdot \frac +P\left(x\right)\cdot u\cdot v=Q\left(x\right)$ или $\frac \cdot v+u\cdot \left[\frac +P\left(x\right)\cdot v\right]=Q\left(x\right)$.

Отметим, что если принято $y=u\cdot v$, то в составе произведения $u\cdot v$ одну из вспомогательных функций можно выбирать произвольно. Выберем вспомогательную функцию $v$ так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение $\frac +P\left(x\right)\cdot v=0$ относительно функции $v$ и выбрать для неё простейшее частное решение $v=v\left(x\right)$, отличное от нуля. Это дифференциальное уравнение является линейным однородным и решается оно вышерассмотренным методом.

Полученное решение $v=v\left(x\right)$ подставляем в данное дифференциальное уравнение с учетом того, что теперь выражение в квадратных скобках равно нулю, и получаем еще одно дифференциальное уравнение, но теперь относительно вспомогательной функции $u$: $\frac \cdot v\left(x\right)=Q\left(x\right)$. Это дифференциальное уравнение можно представить в виде $\frac =\frac $, после чего становится очевидно, что оно допускает непосредственное интегрирование. Для этого дифференциального уравнения необходимо найти общее решение в виде $u=u\left(x,\; C\right)$.

Теперь можно найти общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$.

Общий метод решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка можно представить в виде следующего алгоритма:

Для решения данного уравнения его сначала следует представить в стандартном виде метода $y’+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)$. Если добиться этого не удалось, то данное дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx $, записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $, выполняем упрощающие преобразования и выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант.
Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac\cdot dx $, посля чего записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C$.
Записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ и при необходимости выполняем упрощающие преобразования.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти общее решение дифференциального уравнения $y’-\frac =3\cdot x$.

Имеем линейное неоднородное уравнение первого порядка в стандартном виде, для которого $P\left(x\right)=-\frac<1> $ и $Q\left(x\right)=3\cdot x$.

Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(x\right)\cdot dx =-\int \frac<1> \cdot dx=-\ln \left|x\right| $.

Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^ <-I_<1>> $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^ <\ln \left|x\right|>$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Вибираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$.

Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac \cdot dx =\int \frac<3\cdot x> \cdot dx=3\cdot x $.

Записываем выражение $u\left(x,C\right)=I_ <2>+C=3\cdot x+C$.

Окончательно записываем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $y=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $y=\left(3\cdot x+C\right)\cdot x$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 26 11 2021

источники:

http://function-x.ru/differential_equations4.html

http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/lineynye_uravneniya_pervogo_poryadka/