Как выглядит уравнение неразрывности для элементарной струйки

Уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.

Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.

Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.

Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.

Содержание статьи

Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.

Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υ_ср .

Таким образом уравнение расхода для потока будет

υ_ср – средняя скорость потока

F – площадь сечения потока.

Уравнение неразрывности потока жидкости

Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный

а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный

Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.

Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что

т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.

Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.

Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.

При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.

Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.

Если всё это записать в виде формулы, то

где W – приращение кинетической энергии = m * υ 2 / 2

ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS

В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.

Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.

Приращение кинетической энергии ΔW

В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.

Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.

Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен

масса в этом случае получается равной

Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку

ΔW = m * υ 2 ₂ / 2 — m * υ 2 ₁ / 2 = ρ * q * ΔТ * υ 2 ₂ / 2 — ρ * q * ΔТ * υ 2 ₁ / 2

Работа сил действующих на систему ΣA

Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести A_Т равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.

Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.

Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.

Силы давления А_Д , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.

Суммарно работа сил давления будет

Подставляя в начальное уравнение

Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем

Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые

Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:

Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ 2 / 2

В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.

Видео по теме уравнение неразрывности

Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.

Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.

Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.

Гидродинамика. Уравнение неразрывности движения жидкости.

Уравнение неразрывности потока демонстрирует закон сохранения массы: количество втекающей и вытекающей жидкости неизменно.

Проанализируем сечение 1 с площадью и скоростью движения частиц жидкости обозначим и₁. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Далее проанализируем сечение 2 в этой же струйке с площадью сечения и скоростью обозначим и₂. Элементарный расход для него представлен соотношением:

Но согласно характерной особенности элементарной струйки притока и оттока жидкости через ее боковую поверхность не существует; на промежутке 1 — 2, которому свойственны постоянные размеры, отсутствуют пустоты и отсутствуют переуплотнения количества жидкости, протекающей в единицу времени сквозь сечения 1 и 2,будут одинаковыми, тогда:

Уравнение неразрывности для элементарной струйки — элементарный расход жидкости при установившемся движении величина одинаковая для всей элементарной струйки.

Проанализируем трубу с переменным живым сечением. Расход жидкости через трубу для всякого ее сечении постоянен, т.е. Q₁=Q₂= const, делаем вывод:

Значит, когда течение в трубе сплошное и неразрывное, то уравнение неразрывности станет:

Найдем отсюда скорость для выходного сечения:

Обратим внимание, что скорость возрастает обратно пропорционально площади живого сечения потока. Указанная обратная зависимость между скоростью и площадью выступает важным следствием уравнения неразрывности и нашла широкое применение. Так, к примеру, эта особенность используется пожарными при тушении пожара для формирования сильной и дальнобойной струи.

Что произойдет со скорость потока при сужении, когда диаметр напорной трубы d сузиться в два раза?

Площадь живого сечения трубы вычисляем на основе формулы w = πd 2 / 4. В этом случае соотношение площадей в формуле u₂ = u₁ w₁ / w₂ равняться 4.

Следовательно, в ситуации, когда диаметр трубы сужается в два раза — скорость потока возрастет в четыре раза. По аналогии, когда диаметр сузится в три раза — скорость увеличиться в девять раз.

Уравнение неразрывности элементарной струйки идеальной жидкости.

Рассмотрим элементарную струйку несжимаемой жидкости при установившемся движении. Выделим сечение 1-1 и 2-2, расположенные на расстоянии l одно от другого (рис.1.23). Здесь Δs₁ и Δs₂ — площади живых сечений соответственно; u ₁ и u₂ — скорости; ΔQ₁ и ΔQ₂ — расхо­ды элементарной струйки в сечениях.

Очевидно, что ΔQ₁ = Δs₁u₁ и ΔQ₂ = Δs₂u₂, причем ΔQ₁ втекает в рассматриваемый отсек, а ΔQ ₂ — вытекает. Учитывая, что форма элементарной струйки не изменяется с тече­нием времени, поперечный приток и отток невозможен, так как ско­рости на боковой поверхности струйки направлены по касательным к линиям тока, из которых состоит эта боковая поверхность, получаем, что расходы ΔQ₁ и ΔQ₂ равны, т.е. Δs₁u ₁ = Δs₂u₂. Аналогичные соотношения можно написать для любых двух сече­ний элементарной струйки, расположенных вдоль нее: u₁Δs₁ = u₂Δs₂ =. = uΔs = ΔQ = const. Это и есть уравнение неразрывности для элементарной струйки несжимаемой жидкости при установившемся движении. Если выделить в потоке два любых сечения, отстоящих на некото­ром расстоянии, то, просуммировав по каждому из живых сечений обе части в уравнении

Таким образом, в отмеченных условиях расход, проходящий через все живые сечения потока, неизменен, несмотря на то что в каждом сече­нии средняя скорость и площадь живого сечения могут быть различны.

т.е. средние скорости обратно пропорциональны площадям живых се­чений потока, которым соответствуют эти средние скорости.

2. Кач-нное влиян темп на вязкость жидк и газа.

В отличие от жидкостей, вязкость газов увеличивается с увеличением температуры. Формула Сазерленда может быть использована для определения вязкости идеального газа в зависимости от температуры где: μ = динам вязкость в (Па·с) при заданной темп T, μ₀ = контрольная вязкость в (Па·с) при некоторой контрольной темп T₀, T = заданная темп в К, T₀ = контрольная темп в К, C = постоянная Сазерленда для того газа, вязкость которого требуется определить. Эту формулу можно применять для темп в диапазоне 0 2 1c = 10 -6 м 2 c. Ньютоновские и неньютоновские жидкости. Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье — Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье): где — тензор вязких напряжений. Среди неньютоновских жидкостей, по зависимости вязкости от скорости деформации различают псевдопластики и дилатантные жидкости. Моделью с ненулевым напряжением сдвига (действие вязкости подобно сухому трению) является модель Бингама. Если вязкость меняется с течением времени, жидкость называется тиксотропной.

39. Неустановившиеся движение жидкости. Что такое инерциальный напор и где он наблюдается?
Неустановившимся (нестационарным) движением жидкости называется такое движение, при котором в каждой данной точке основные элементы движения жидкости – скорость движения и и гидродинамическое давление р – постоянно изменяются, т.е. зависят не только от положения точки в пространстве, но и от времени . Аналитически это условие запишется так:
и .
Примером установившегося движения может быть: движение жидкости в канале, в реке при неизменных глубинах, истечение жидкости из резервуара при постоянном уровне жидкости в нем и др. Неустановившееся движение – это движение жидкости в канале или реке при переменном уровне или при опорожнении резервуара, когда уровень жидкости в нем непрерывно изменяется.

40. Явление «Гидравлический удар». Уравнение Н.Е. Жуковского.

Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока рабочей жидкости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода.

Пусть в конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью υ₀, произведено мгновенное закрытие крана.

При этом скорость частиц, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с увеличением давления на величину ΔP_уд, которое называется ударным. Област в которой происходит увеличение давления, называется ударной волной. Ударная волна распространяется вправо со скоростью ударной волны. Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы — растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю длину трубы. Далее под действием перепада давления ΔP_уд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это течение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n-n перемещается обратно к крану с той же скоростью c, оставляя за собой выровненное давление P₀ . Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению P₀. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ₀, но направленную теперь в противоположную теперь сторону. С этой скоростью весь объем жидкости стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением P₀ — ΔP_уд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью c, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления. Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака.

Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ΔP _уд достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится. Если давление P₀ невелико (P₀

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 30 ; Нарушение авторских прав