Как выразить в уравнении целевой функции

Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования

Ранее я описал, как принимать решения с учетом ограничивающих факторов. Цель таких решений – определить ассортимент продукции (производственный план), максимально увеличивающий прибыль компании. Решение заключалось в том, чтобы распределить ресурсы между продуктами согласно маржинальной прибыли, полученной на единицу ограниченных ресурсов, при соблюдении любых других ограничений, таких как максимальный или минимальный спрос на отдельные виды продукции. [1]

Если ограничивающий фактор один (например, дефицитный станок), решение может быть найдено с применением простых формул (см. ссылку в начале статьи). Если же ограничивающих факторов несколько, применяется метод линейного программирования.

Линейное программирование – это название, данное комбинации инструментов используемых в науке об управлении. Этот метод решает проблему распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими видами деятельности с тем, чтобы максимизировать или минимизировать некоторые численные величины, такие как маржинальная прибыль или расходы. В бизнесе он может использоваться в таких областях как планирование производства для максимального увеличения прибыли, подбор комплектующих для минимизации затрат, выбор портфеля инвестиций для максимизации доходности, оптимизация перевозок товаров в целях сокращения расстояний, распределение персонала с целью максимально увеличить эффективность работы и составление графика работ в целях экономии времени.

Скачать заметку в формате Word, рисунки в формате Excel

Линейное программирование предусматривает построение математической модели рассматриваемой задачи. После чего решение может быть найдено графически (рассмотрено ниже), с использованием Excel (будет рассмотрено отдельно) или специализированных компьютерных программ. [2]

Пожалуй, построение математической модели – наиболее сложная часть линейного программирования, требующая перевода рассматриваемой задачи в систему переменных величин, уравнений и неравенств – процесс, в конечном итоге зависящий от навыков, опыта, способностей и интуиции составителя модели.

Рассмотрим пример построения математической модели линейного программирования

Николай Кузнецов управляет небольшим механическим заводом. В будущем месяце он планирует изготавливать два продукта (А и В), по которым удельная маржинальная прибыль оценивается в 2500 и 3500 руб., соответственно.

Изготовление обоих продуктов требует затрат на машинную обработку, сырье и труд (рис. 1). На изготовление каждой единицы продукта А отводится 3 часа машинной обработки, 16 единиц сырья и 6 единиц труда. Соответствующие требования к единице продукта В составляют 10, 4 и 6. Николай прогнозирует, что в следующем месяце он может предоставить 330 часов машинной обработки, 400 единиц сырья и 240 единиц труда. Технология производственного процесса такова, что не менее 12 единиц продукта В необходимо изготавливать в каждый конкретный месяц.

Рис. 1. Использование и предоставление ресурсов

Николай хочет построить модель с тем, чтобы определить количество единиц продуктов А и В, которые он доложен производить в следующем месяце для максимизации маржинальной прибыли.

Линейная модель может быть построена в четыре этапа.

Этап 1. Определение переменных

Существует целевая переменная (обозначим её Z), которую необходимо оптимизировать, то есть максимизировать или минимизировать (например, прибыль, выручка или расходы). Николай стремится максимизировать маржинальную прибыль, следовательно, целевая переменная:

Z = суммарная маржинальная прибыль (в рублях), полученная в следующем месяце в результате производства продуктов А и В.

Существует ряд неизвестных искомых переменных (обозначим их х₁, х₂, х₃ и пр.), чьи значения необходимо определить для получения оптимальной величины целевой функции, которая, в нашем случае является суммарной маржинальной прибылью. Эта маржинальная прибыль зависит от количества произведенных продуктов А и В. Значения этих величин необходимо рассчитать, и поэтому они представляют собой искомые переменные в модели. Итак, обозначим:

х₁ = количество единиц продукта А, произведенных в следующем месяце.

х₂ = количество единиц продукта В, произведенных в следующем месяце.

Очень важно четко определить все переменные величины; особое внимание уделите единицам измерения и периоду времени, к которому относятся переменные.

Этап. 2. Построение целевой функции

Целевая функция – это линейное уравнение, которое должно быть или максимизировано или минимизировано. Оно содержит целевую переменную, выраженную с помощью искомых переменных, то есть Z выраженную через х₁, х₂… в виде линейного уравнения.

В нашем примере каждый изготовленный продукт А приносит 2500 руб. маржинальной прибыли, а при изготовлении х₁ единиц продукта А, маржинальная прибыль составит 2500 * х₁. Аналогично маржинальная прибыль от изготовления х₂ единиц продукта В составит 3500 * х₂. Таким образом, суммарная маржинальная прибыль, полученная в следующем месяце за счет производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, то есть, целевая переменная Z составит:

Николай стремится максимизировать этот показатель. Таким образом, целевая функция в нашей модели:

Максимизировать Z = 2500 * х₁ + 3500 *х₂

Этап. 3. Определение ограничений

Ограничения – это система линейных уравнений и/или неравенств, которые ограничивают величины искомых переменных. Они математически отражают доступность ресурсов, технологические факторы, условия маркетинга и иные требования. Ограничения могут быть трех видов: «меньше или равно», «больше или равно», «строго равно».

В нашем примере для производства продуктов А и В необходимо время машинной обработки, сырье и труд, и доступность этих ресурсов ограничена. Объемы производства этих двух продуктов (то есть значения х₁ их₂) будут, таким образом, ограничены тем, что количество ресурсов, необходимых в производственном процессе, не может превышать имеющееся в наличии. Рассмотрим ситуацию со временем машинной обработки. Изготовление каждой единицы продукта А требует трех часов машинной обработки, и если изготовлено х₁, единиц, то будет потрачено З * х₁, часов этого ресурса. Изготовление каждой единицы продукта В требует 10 часов и, следовательно, если произведено х₂ продуктов, то потребуется 10 * х₂ часов. Таким образом, общий объем машинного времени, необходимого для производства х₁ единиц продукта А и х₂ единиц продукта В, составляет 3 * х₁ + 10 * х₂. Это общее значение машинного времени не может превышать 330 часов. Математически это записывается следующим образом:

Аналогичные соображения применяются к сырью и труду, что позволяет записать еще два ограничения:

Наконец следует отметить, что существует условие, согласно которому должно быть изготовлено не менее 12 единиц продукта В:

Этап 4. Запись условий неотрицательности

Искомые переменные не могут быть отрицательными числами, что необходимо записать в виде неравенств х₁ ≥ 0 и х₂ ≥ 0. В нашем примере второе условия является избыточным, так как выше было определено, что х₂ не может быть меньше 12.

Полная модель линейного программирования для производственной задачи Николая может быть записана в виде:

Максимизировать: Z = 2500 * х₁ + 3500 *х₂

При условии, что: 3 * х₁ + 10 * х₂ ≤ 330

Рассмотрим графический метод решения задачи линейного программирования.

Этот метод подходит только для задач с двумя искомыми переменными. Модель, построенная выше, будет использована для демонстрации метода.

Оси на графике представляют собой две искомые переменные (рис. 2). Не имеет значения, какую переменную отложить вдоль, какой оси. Важно выбрать масштаб, который в конечном итоге позволит построить наглядную диаграмму. Поскольку обе переменные должны быть неотрицательными, рисуется только I-й квадрант.

Рис. 2. Оси графика линейного программирования

Рассмотрим, например, первое ограничение: 3 * х₁ + 10 * х₂ ≤ 330. Это неравенство описывает область, лежащую ниже прямой: 3 * х₁ + 10 * х₂ = 330. Эта прямая пересекает ось х₁ при значении х₂ = 0, то есть уравнение выглядит так: 3 * х₁ + 10 * 0 = 330, а его решение: х₁ = 330 / 3 = 110

Аналогично вычисляем точки пересечения с осями х₁ и х₂ для всех условий-ограничений:

Графически первое ограничение отражено на рис. 3.

Рис. 3. Построение области допустимых решений для первого ограничения

Любая точка в пределах выделенного треугольника или на его границах будет соответствовать этому ограничению. Такие точки называются допустимыми, а точки за пределами треугольника называются недопустимыми.

Аналогично отражаем на графике остальные ограничения (рис. 4). Значения х₁ и х₂ на или внутри заштрихованной области ABCDE будут соответствовать всем ограничениям модели. Такая область называется областью допустимых решений.

Рис. 4. Область допустимых решений для модели в целом

Теперь в области допустимых решений необходимо определить значения х₁ и х₂, которые максимизируют Z. Для этого в уравнении целевой функции:

разделим (или умножим) коэффициенты перед х₁ и х₂ на одно и тоже число, так чтобы получившиеся значения попали в диапазон, отражаемый на графике; в нашем случае такой диапазон – от 0 до 120; поэтому коэффициенты можно разделить на 100 (или 50):

затем присвоим Z значение равное произведению коэффициентов перед х₁ и х₂ (25 * 35 = 875):

и, наконец, найдем точки пересечения прямой с осями х₁ и х₂:

Нанесем это целевое уравнение на график аналогично ограничениям (рис. 5):

Рис. 5. Нанесение целевой функции (черная пунктирная линия) на область допустимых решений

Значение Z постоянно на всем протяжении линии целевой функции. Чтобы найти значения х₁ и х₂, которые максимизируют Z, нужно параллельно переносить линию целевой функции к такой точке в границах области допустимых решений, которая расположена на максимальном удалении от исходной линии целевой функции вверх и вправо, то есть к точке С (рис. 6).

Рис. 6. Линия целевой функции достигла максимума в пределах области допустимых решений (в точке С)

Можно сделать вывод, что оптимальное решение будет находиться в одной из крайних точек области принятия решения. В какой именно, будет зависеть от угла наклона целевой функции и от того, какую задачу мы решаем: максимизации или минимизации. Таким образом, не обязательно чертить целевую функцию – все, что необходимо, это определить значения х₁ и х₂ в каждой из крайних точек путем считывания с диаграммы или путем решения соответствующей пары уравнений. Найденные значения х₁ и х₂ затем подставляются в целевую функцию для расчета соответствующей величины Z. Оптимальным решением является то, при котором получена максимальная величина Z при решении задачи максимизации, и минимальная – при решении задачи минимизации.

Определим, например значения х₁ и х₂ в точке С. Заметим, что точка С находится на пересечении линий: 3х₁ + 10х₂ = 330 и 6х₁ + 6х₂ = 240. Решение этой системы уравнений дает: х₁ = 10, х₂ = 30. Результаты расчета для всех вершин области допустимых решений приведены в таблице:

Таким образом, Николай Кузнецом должен запланировать на следующий месяц производство 10 изделий А и 30 изделий В, что позволит ему получить маржинальную прибыль в размере 130 тыс. руб.

Кратко суть графического метода решения задач линейного программирования можно изложить следующим образом:

1. Начертите на графике две оси, представляющие собою два параметра решения; нарисуйте только I-й квадрант.
2. Определите координаты точек пересечения всех граничных условий с осями, подставляя в уравнения граничных условий поочередно значения х₁ = 0 и х₂ = 0.
3. Нанести линии ограничений модели на график.
4. Определите на графике область (называемую допустимой областью принятия решения), которая соответствует всем ограничениям. Если такая область отсутствует, значит, модель не имеет решения.
5. Определите значения искомых переменных в крайних точках области принятия решения, и в каждом случае рассчитайте соответствующее значение целевой переменной Z.
6. Для задач максимизации решение – точка, в которой Z максимально, для задач минимизации, решение – точка, в которой Z минимально.

[1] Настоящая заметка написана по материалам CIMA .

5 комментариев для “Решение оптимизационных задач управления методом линейного программирования”

Пожалуйста, помогите, не могу определить ограничения в задаче и построить ОДР.
Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.
Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Сижу с этой задачей уже неделю.

Надя, я уже решал эту задачку. См. комментарий

Выразить переменную из уравнения

При решении систем линейных уравнений с многими переменными возникает частая необходимость выражения из уравнения той или иной переменной.

Как это делается? Возьмем для примера уравнение 2x+10y+3z=10. В нем наличествуют три переменных X, Y, Z. При помощи онлайнового калькулятора в зависимости от потребности выражения той или иной переменной уравнение 2x+10y+3z=10 преобразуется:
— через z в уравнение вида z = (-2x-10y+10)/(+3);
— через y в уравнение вида y = (-2x-3z+10)/(+10);
— через x в уравнение вида x= (-10y-3z+10)/(+2).

Полученное значение переменной X, Y или Z можно подставлять в следующее уравнение системы. В результате в нем будет на одну неизвестную переменную меньше. Выражение переменной из уравнений требуется при решении задач линейного программирования, направленных на выяснение значений показателей эффективности (целевой функции) в самых различных направлениях.

Решение систем линейных уравнений требуется для целей определения важных показателей сложных практических производственных и иных задач:
— загрузки оборудования,
— планирования производств,
— составления пищевого рациона откармливаемых животных,
— использования сырья и пр.

Как выразить в уравнении целевой функции

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии

Методы оптимальных решений

Тема лекции 1: «Основы линейного программирования»

1. Основные элементы модели линейного программирования.

2. Графический анализ чувствительности.

3. Общая задача линейного программирования.

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

ЧТО ТАКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ?

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. В процессе экономической деятельности приходится распределять такие важные ресурсы, как деньги, товары, сырье, оборудование, рабочую силу и др. И от того, как будут распределяться эти, как правило, ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности, бизнеса. Суть методов оптимизации заключается в том, что, исходя из наличия определенных ресурсов, выбирается такой способ их использования (распределения), при котором обеспечивается максимум (или минимум) интересующего нас показателя. При этом учитываются определенные ограничения, налагаемые на использование ресурсов условиями экономической ситуации. В качестве методов оптимизации в экономике находят применение все основные разделы математического программирования (планирования): линейное, нелинейное и динамическое.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЛП) – это метод математического моделирования, разработанный для оптимизации использования ограниченных ресурсов. Линейное программирование (ЛП) является наиболее простым и лучше всего изученным разделом математического программирования. ЛП успешно применяется в военной области, индустрии, сельском хозяйстве, транспортной отрасли, экономике, системе здравоохранения и даже в социальных науках. Широкое использование этого метода также подкрепляется высокоэффективными компьютерными алгоритмами, реализующими данный метод. На алгоритмах линейного программирования (учитывая их компьютерную эффективность) базируются оптимизационные алгоритмы для других, более сложных типов моделей и задач исследования операций (ИО), включая целочисленное, нелинейное и стохастическое программирование. Вычисления в методе ЛП, как и во многих задачах ИО, как правило, очень трудоемкие и поэтому требуют применения вычислительной техники. Линейное программирование (планирование) служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных однородных ресурсов в целях решения поставленной задачи.

В этом разделе на простых примерах с двумя переменными показаны основные элементы модели ЛП. Далее эти примеры будут обобщены в общую задачу линейного программирования.

ПРИМЕР 1. Компания «Яркие краски» производит краску для внутренних и наружных работ из сырья двух типов: М1 и М2. Следующая таблица представляет основные данные для задачи.

Расход сырья (в тоннах) на тонну краски

Максимально возможный ежедневный расход сырья

Для наружных работ

Для внутренних работ

Доход в ($1000) на тонну краски

Отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 тонн (из-за отсутствия надлежащего спроса), а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ не превышало более чем на 1 тонну аналогичный показатель производства краски для наружных работ. Компания хочет определить оптимальное (наилучшее) соотношение между видами выпускаемой продукции для максимизации общего ежедневного дохода.

КАКИЕ ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВКЛЮЧАЕТ ЗАДАЧА (МОДЕЛЬ) ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ?

Задача (модель) линейного программирования, как и любая задача исследования операций, включает три основных элемента.

1. Переменные, которые следует определить.

2. Целевая функция, подлежащая оптимизации.

3. Ограничения, которым должны удовлетворять переменные.

Определение переменных – это первый шаг в создании модели. После определения переменных построение ограничений и целевой функции обычно не вызывает трудностей.

1. Переменные. В нашем примере необходимо определить ежедневные объемы производства краски для внутренних и наружных работ. Обозначим эти объемы как переменные модели: переменная x 1 – это ежедневный объем производства краски для наружных работ (измеряется в тоннах); переменная x 2 – это е жедневный объем производства краски для внутренних работ (измеряется в тоннах).

2. Целевая функция. Используя эти переменные, далее строим целевую функцию. Логично предположить, что целевая функция, как суммарный ежедневный доход, должна возрастать при увеличении ежедневных объемов производства красок. Обозначим эту функцию через z : (суммарный ежедневный доход – функция z , измеряется в тысячах долларов) и положим, что z =5х1+4х2. В соответствии с целями компании получаем задачу: максимизировать функцию z = 5х1 + 4х2.

3. Ограничения. Итак, остался не определенным последний элемент модели — условия (ограничения), которые должны учитывать ограниченные возможности ежедневного потребления сырья и ограниченность спроса на готовую продукцию. Другими словами, ограничения на сырье можно записать следующим образом.

Из таблицы с данными имеем следующее.

Используемый объем сырья М1 = 6х1 + 4х2 (т); используемый объем сырья М2 = 1х1 + 2х2 (т).

Так как ежедневный расход сырья М1 и М2 ограничен соответственно 24 и 6 тоннами, получаем следующие ограничения. 6х1+4х2≤24 (сырье М1); х1+2х2≤6 (сырье М2).

Существует еще два ограничения по спросу на готовую продукцию:

(1) максимальный ежедневный объем производства краски для внутренних работ не должен превышать 2 тонн, и

(2) ежедневный объем производства краски для внутренних работ не должен превышать ежедневный объем производства краски для наружных работ более чем на одну тонну.

Первое ограничение (1) простое и записывается так: ( х2≤2). Второе (2) можно сформулировать так: разность между ежедневными объемами производства красок для внутренних и наружных работ не должна превышать одной тонны, т. е. ( х2– x 1≤1).

Еще одно неявное ограничение состоит в том, что переменные х1 и х2 должны быть неотрицательными. Таким образом, к сформулированным выше ограничениям необходимо добавить условие неотрицательности переменных: х1≥0, х2≥ 0. Окончательно задача будет записана следующим образом:

Максимизировать целевую функцию z ( x 1, x 2)=5х1+4х2,

при выполнении ограничений:

КАКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ДОПУСТИМЫМ?

Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, является допустимым. Например, решение х1=3 и х2=1 будет допустимым, так как не нарушает ни одного ограничения, включая условие неотрицательности. Чтобы удостовериться в этом, подставим значения х1=3 и х2=1 в левые части неравенств системы ограничений и убедимся, что ни одно неравенство не нарушается. Значение целевой функции z ( x 1; x 2)=5х1+4х2 при этом решении будет равно z (3;2) =1+4=19 (тысяч долларов).

Итак, задача сформулирована, теперь встает вопрос о нахождении оптимального допустимого решения, доставляющего максимум целевой функции. После некоторых раздумий приходим к выводу, что задача имеет много (фактически, бесконечно много) допустимых решений. По этой причине невозможна подстановка значений переменных для поиска оптимума, т.е. нельзя применить простой перебор всех допустимых решений. Следовательно, необходима эффективная процедура отбора допустимых решений для поиска оптимального. На этой лекции мы покажем графический метод нахождения оптимального допустимого решения.

В примере 1 целевая функция и все ограничения были линейными. Свойство линейности функций предполагает следующее.

1. Значения левых частей неравенств ограничений и значение целевой функции прямо пропорциональны значениям переменных.

2. Аддитивность переменных означает, что общий вклад всех переменных в значения целевой функции и левых частей неравенств ограничений является прямой суммой вкладов каждой отдельной переменной.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

Мы покажем, как в задаче ЛП с двумя переменными можно получить решение графическим способом. Хотя такая задача редко встречается на практике (типовая задача ЛП обычно содержит тысячи переменных), идеи, вытекающие из графического способа нахождения оптимального решения, положены в основу построения общего метода решения задачи ЛП (называемого симплекс-методом).

ИЗ КАКИХ ЭТАПОВ СОСТОИТ ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ?

Графический способ решения задачи ЛП состоит из двух этапов.

Этап 1. Построение пространства допустимых решений, удовлетворяющих всем ограничениям модели.

Этап 2. Нахождение оптимального решения среди всех точек пространства допустимых решений.

Далее графический способ решения описан в двух вариантах: для максимизации и минимизации целевой функции.

ВАРИАНТ 1 . НАХОЖДЕНИЕ МАКСИМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

Мы используем модель, построенную для компании «Яркие краски» в примере 1, чтобы показать оба этапа графического решения задачи ЛП.

Этап 1. Построение пространства допустимых решений.

Сначала на плоскости проведем оси координат: на горизонтальной оси будут указываться значения переменной x 1, а на вертикальной оси – значения переменной х2 (рисунок 1). Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: х1≥0 и х2≥0. Эти два ограничения показывают, что множество допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е. выше оси х1 и правее оси х2).

Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще всего в этих ограничениях заменить неравенства на равенства, в результате чего мы получим уравнения прямых, а затем на плоскости О x 1 x 2 проведем эти прямые.

Например, неравенство (6х1 + 4х2≤ 24) заменяется уравнением прямой (6х1 + 4х2 = 24). Чтобы провести эту прямую , надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой. Можно положить х1=0, тогда х2=24/4= 6. Аналогично, для х2=0 находим х1=24/6= 4. Итак, прямая, заданная уравнением 6х1 + 4х2 = 24, проходит через две точки (0,6) и (4, 0). Эта прямая обозначена на рисунке 1 как линия (1).

Рисунок 1. Построение пространства допустимых решений.

Теперь рассмотрим, как графически интерпретируются неравенства. Каждое неравенство делит плоскость Ох1х2 на две полуплоскости, которые располагаются по обе стороны прямой, которая, как показано выше, соответствует данному неравенству. Точки плоскости, расположенные по одну сторону прямой, удовлетворяют неравенству (допустимая полуплоскость), а точки, лежащие по другую сторону, нет. Точкой, проверяющей, точки какой полуплоскости удовлетворяют неравенству, а какой — нет, может служить точка (0,0). Например, эта точка удовлетворяет первому неравенству (6х1+4х2≤ 24) (здесь 6∙0 +4∙0=0 В том случае, когда точка (0,0) не удовлетворяет неравенству, допустимой полуплоскостью будет та, которая не содержит эту точку. Если же прямая проходит через эту точку (0,0), то следует в качестве «тестовой» взять какую-либо другую точку.

Этап 2. Нахождение оптимального решения.

Точки пространства допустимых решений, показанного на рисунке 1 , удовлетворяют одновременно всем ограничениям. Это пространство ограничено отрезками прямых, которые соединяются в угловых точках А, В, С, D , Е и Е. Любая точка, расположенная внутри или на границе области, ограниченной ломаной АВС D Е F , является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем ограничениям. Поскольку пространство допустимых решений содержит бесконечное число точек, необходима некая процедура поиска оптимального решения.
Нахождение оптимального решения требует определения направления возрастания целевой функции ( z = 5х1 +4х2) (напомним, что мы максимизируем функцию z ). Мы можем приравнять z к нескольким возрастающим значениям, например, к 10 и 15. Эти значения, подставленные вместо z в выражение целевой функции, порождают уравнения прямых. Для значений 10 и 15 получаем следующие уравнения прямых: ( 5х1+4х2 =10) и ( 5х1+ 4х2=15) . На рисунке 2 эти прямые показаны штриховыми линиями, а направление возрастания целевой функции z — толстой стрелкой. Целевая функция может возрастать до тех пор, пока прямые, соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой оптимума.

Рисунок 2. Нахождение оптимального решения .

На рисунке 2 видно, что оптимальное решение соответствует точке С. Эта точка является точкой пересечения прямых (1) и (2), поэтому ее координаты х1 и х2 находятся как решение системы уравнений, задающих эти прямые:

Решением этой системы будет точка: х1=3 и х2=1,5. При этом значение целевой функции z в данной точке равно = 5 х1+ 4х2=15+6=21 . Полученное решение означает, что для компании «Яркие краски» оптимальным выбором будет ежедневное производство 3 тонны краски для наружных работ и 1,5 тонны для внутренних работ с ежедневным доходом в $21 000.

Не случайно, что оптимальное решение расположено в угловой точке пространства допустимых решений, где пересекаются две прямые. Если мы изменим наклон функции (путем изменения ее коэффициентов), то обнаружим, что в любом случае решение достигается в одной из угловых точек (или одновременно в нескольких угловых точках). В этом и состоит основная идея построения общего симплексного алгоритма.

ВАРИАНТ 2. НАХОЖДЕНИЕ МИНИМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ.

ПРИМЕР 2. (ЗАДАЧА О ДИЕТЕ).

Фармацевтическая фирма «Здоровое питание» ежедневно производит не менее 800 килограммов некой пищевой добавки, которая состоит из смеси кукурузной и соевой муки, состав которой представлен в следующей таблице.