Как выразить знаменатель в уравнении

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

  • обыкновенный вид — ½ или a/b,
  • десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

  1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
  2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

  • Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
  • Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит таках + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
  • если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

  • подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
  • умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

  • если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
  • делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

  1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
  2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

  1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
  2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
  3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

    Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

  • Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.
  • Как выразить переменную из формулы с дробью

    Серия

    Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную

    1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;

    б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;

    в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.

    2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.

    3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.

    4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.

    5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.

    При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!

    Серия

    Как работать с формулой, чтобы выразить из нее указанную переменную

    1. а) Если формула содержит дроби, то сначала нужно избавиться от них, умножив обе части формулы на общий знаменатель;

    б) если формула содержит корень, то нужно избавиться от него, возведя обе части формулы в квадрат;

    в) если формула содержит дроби и корень, то нужно выполнить действия а) и б) в удобной последовательности.

    2. Слагаемое (слагаемые), содержащие переменную, которую нужно выразить, перенести в левую часть, если они не находятся там. Иногда для этого достаточно просто поменять местами левую и правую части формулы.

    3. Привести левую часть к виду, в котором нужная переменная будет являться одним из множителей. Иногда для этого нужно будет сгруппировать слагаемые, то есть выполнить разложение на множители левой части формулы.

    4. Разделить обе части формулы на лишние множители, находящиеся в левой части, чтобы произошло сокращение, и нужная переменная осталась в левой части одна-единственная.

    5. Если полученная таким образом переменная находится в степени, то нужно извлечь из обеих частей формулы корни этой же степени.

    При разборе примеров, объясняйте себе каждый шаг!!

    Этот урок – полезное дополнение к предыдущей теме » Тождественные преобразования уравнений «.

    Умение делать такие вещи – штука не просто полезная, она – необходимая. Во всех разделах математики, от школьной до высшей. Да и в физике тоже. Именно по этой причине задания подобного рода обязательно присутствуют и в ЕГЭ и в ОГЭ. Во всех уровнях – как базовом, так и профильном.

    Собственно, вся теоретическая часть подобных заданий представляет собой одну единственную фразу. Универсальную и простую до безобразия.

    Удивляемся, но запоминаем:

    Любое равенство с буквами, любая формула – это ТОЖЕ УРАВНЕНИЕ!

    А где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений . Вот и применяем их в удобном нам порядке и – готово дело.) Читали предыдущий урок? Нет? Однако… Тогда эта ссылочка – для вас.

    Ах, вы в курсе? Отлично! Тогда применяем теоретические знания на практике.

    Начнём с простого.

    Как выразить одну переменную через другую?

    Такая задача постоянно возникает при решении систем уравнений. Например, имеется равенство:

    Здесь две переменные – икс и игрек.

    Что означает это задание? Оно означает, что мы должны получить некоторое равенство, где слева стоит чистый икс. В гордом одиночестве, безо всяких соседей и коэффициентов. А справа – что уж получится.

    И как же нам получить такое равенство? Очень просто! С помощью всё тех же старых добрых тождественных преобразований! Вот и применяем их в удобном нам порядке, шаг за шагом добираясь до чистого икса.

    Анализируем левую часть уравнения:

    Здесь нам мешаются тройка перед иксом и —2y. Начнём с —, это попроще будет.

    Перекидываем — из левой части в правую. Меняя минус на плюс, разумеется. Т.е. применяем первое тождественное преобразование:

    Полдела сделано. Осталась тройка перед иксом. Как от неё избавиться? Разделить обе части на эту самую тройку! Т.е. задействовать второе тождественное преобразование.

    Вот и всё. Мы выразили икс через игрек. Слева – чистый икс, а справа – что уж получилось в результате «очищения» икса.

    Можно было бы сначала поделить обе части на тройку, а затем – переносить. Но это привело бы к появлению дробей в процессе преобразований, что не очень удобно. А так, дробь появилась лишь в самом конце.

    Напоминаю, что порядок преобразований никакой роли не играет. Как нам удобно, так и делаем. Самое главное – не порядок применения тождественных преобразований, а их правильность!

    А можно из этого же равенства

    А почему – нет? Можно! Всё то же самое, только на этот раз нас интересует слева чистый игрек. Вот и очищаем игрек от всего лишнего.

    Первым делом избавляемся от выражения . Перебрасываем его в правую часть:

    Осталась двойка с минусом. Делим обе части на (-2):

    И все дела.) Мы выразили y через х. Переходим к более серьёзным заданиям.

    Как выразить переменную из формулы?

    Не проблема! Точно так же! Если понимать, что любая формула – тоже уравнение.

    Например, такое задание:

    выразить переменную с.

    Формула – тоже уравнение! Задание означает, что через преобразования из предложенной формулы нам надо получить какую-то новую формулу. В которой слева будет стоять чистая с, а справа – что уж получится, то и получится…

    Однако… Как нам эту самую с вытаскивать-то?

    Как-как… По шагам! Ясное дело, что выделить чистую с сразу невозможно: она в дроби сидит. А дробь умножается на r… Значит, первым делом очищаем выражение с буквой с, т.е. всю дробь целиком. Здесь можно поделить обе части формулы на r.

    Следующим шагом надо вытащить с из числителя дроби. Как? Легко! Избавимся от дроби. Нету дроби – нету и числителя.) Умножаем обе части формулы на 2:

    Осталась элементарщина. Обеспечим справа букве с гордое одиночество. Для этого переменные a и b переносим влево:

    Вот и всё, можно сказать. Осталось переписать равенство в привычном виде, слева направо и – ответ готов:

    Это было несложное задание. А теперь задание на основе реального варианта ЕГЭ:

    Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле

    где с = 1500 м/с – скорость звука в воде,

    f – частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц).

    Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с.

    «Многа букафф», да… Но буквы – это лирика, а общая суть всё равно та же самая. Первым делом надо выразить эту самую частоту отражённого сигнала (т.е. букву f) из предложенной нам формулы. Вот этим и займёмся. Смотрим на формулу:

    Напрямую, естественно, букву f никак не выдернешь, она снова в дробь запрятана. Причём и в числитель и в знаменатель. Поэтому самым логичным шагом будет избавиться от дроби. А там – видно будет. Для этого применяем второе преобразование – умножаем обе части на знаменатель.

    А вот тут – очередные грабли. Прошу обратить внимание на скобки обеих частях! Частенько именно в этих самых скобочках и кроются ошибки в подобных заданиях. Точнее, не в самих скобочках, а в их отсутствии.)

    Скобки слева означают, что буква v умножается на весь знаменатель целиком. А не на его отдельные кусочки…

    Справа же, после умножения, дробь исчезла и остался одинокий числитель. Который, опять же, весь целиком умножается на буковку с. Что и выражается скобками в правой части.)

    А вот теперь скобки и раскрыть можно:

    Дальше дело нехитрое. Всё что с f собираем слева, а всё что без f – справа. Займёмся переносом:

    Отлично. Процесс идёт.) Теперь буковка f слева стала общим множителем. Выносим её за скобки:

    Осталось всего ничего. Делим обе части на скобку (vc) и – дело в шляпе!

    В принципе, всё готово. Переменная f уже выражена. Но можно дополнительно «причесать» полученное выражение – вынести f за скобку в числителе и сократить всю дробь на (-1), тем самым избавившись от лишних минусов:

    Вот такое выражение. А вот теперь и числовые данные подставить можно. Получим:

    Вот и всё. Надеюсь, общая идея понятна.

    Делаем элементарные тождественные преобразования с целью уединить интересующую нас переменную. Главное здесь — не последовательность действий (она может быть любой), а их правильность.

    В этих двух уроках рассматриваются лишь два базовых тождественных преобразования уравнений. Они работают всегда. На то они и базовые. Помимо этой парочки, существует ещё множество других преобразований, которые тоже будут тождественными, но не всегда, а лишь при определённых условиях.

    Например, возведение обеих частей уравнения (или формулы) в квадрат (или наоборот, извлечение корня из обеих частей) будет тождественным преобразованием, если обе части уравнения заведомо неотрицательны.

    Или, скажем, логарифмирование обеих частей уравнения будет тождественным преобразованием, если обе части заведомо положительны. И так далее…

    Подобные преобразования будут рассматриваться в соответствующих темах.

    А здесь и сейчас — примеры для тренировки по элементарным базовым преобразованиям.

    Средняя скорость лыжника (в км/ч) на дистанции в два круга рассчитывается по формуле:

    где V1 и V2 – средние скорости (в км/ч) на первом и втором кругах соответственно. Какова была средняя скорость лыжника на втором круге, если известно, что первый круг лыжник пробежал со скоростью 15 км/ч, а средняя скорость на всей дистанции оказалась равной 12 км/ч?

    Задача на основе реального варианта ОГЭ:

    Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с 2 ) можно вычислить по формуле a=ω 2 R, где ω – угловая скорость (в с -1 ), а R – радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите радиус R (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с -1 , а центростремительное ускорение равно 289 м/с 2 .

    Задача на основе реального варианта профильного ЕГЭ:

    К источнику с ЭДС ε=155 В и внутренним сопротивлением r=0,5 Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даётся формулой:

    При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 150 В? Ответ выразите в омах.

    Ответы (в беспорядке): 4; 15; 2; 10.

    А уж где числа, километры в час, метры, омы – это как-нибудь сами…)

    Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

    Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

    Привлекайте внимание посетителей к Вашему магазину, публикуя новости о Вашей компании и товарах!

    Идёт приём заявок

    Подать заявку

    Для учеников 1-11 классов и дошкольников

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Выразить переменную из формулы Дудников Ю. А. МБОУ Качалинская СОШ 2017

    1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, расставьте порядок действий. В одночленах и многочленах, не содержащих искомую величину, порядок действий не расставляем. 2. Найдите в выражении последнее действие, и перенести одночлен или многочлен, исполняющий это действие через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишите формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева. Порядок выражения переменной

    1 2 1 2 3 S a t 2 = 1 2 2 S a t 2 = 2 S a t 2 =

    a = 1 1 2 1 0 — t υ υ 0 t a = + υ υ t a = + 0 υ υ t a — = 0 υ υ

    1 2 1 2 3 1 1 2 b + S = a h h = + 2 ) ( a b ( ) h b a 2 S + = h a b 2 S — = h b a a b

    1 2 1 1 a = υ υ 0 — t Заново расставляем порядок действий, так как нужная переменная оказалась в другой части формулы. t — t = υ 0 a υ

    1 2 1 2 3 1 1 2 υ + S = υ 0 t t = + 2 0 ) ( υ υ ( ) t 0 υ υ 2 S + = t 0 υ υ 2 S — = t 0 υ υ υ υ

    1 2 1 ( ) c 0 t t к c 0 t t к c 0 t t к Q m + = c 0 t t к

    3 1 2 1 2 1 υ υ 1 2 S 2 = 0 2 — a υ — 2 S a 2 = υ 2 0 2 S a 2 = + 2 0 υ υ 2 S a = 2 + 0 υ υ 2 2 S a = + 0 υ υ

    1 3 2 2 3 3 g ℓ = T 2 π g ℓ = T 2 π 2 2 g ℓ = T 4 π 2 2 g ℓ T 4 π = g

    3 2 1 1 4 3 2 1 1 2 ν h = + ν кр h m 2 2 υ ν h — = ν кр h m 2 2 υ 2 ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) 2 ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) ν h — = ν кр h m 2 υ ( ) ν h — = ν кр h m 2 υ ( )

    1 = T T х — Т η н н = T T х — Т η н н — T T х = Т η н н — — T х = Т η н — ( 1 ) — 1 = T T х — н η 1 = T T х — н η

    — k d = — C 2 d — k d = C 2 d ( ) — — k d = C 2 d — C + k d = C 2 d + C ( ) + k 1 = C 2 d + C + k 1 = C 2 d + C

    1 1 1 2 1 2 2 + S = υ 0 t 3 t = + 2 0 ) ( υ υ υ ( ) t 0 υ υ 2 S + = t 0 υ υ 2 S — = t 0 υ υ υ υ

    2 2 3 5 1 4 x a + t k + b = 1 x a — t k + b = 1 2 2 3 1 4 ( x a — t k + b = 1 2 2 3 1 ) 2 ( x a — t k + b = 1 2 ) 2 ) ( 1 ( x a — t k + b = 1 ) 2 ) ( (

    1 2 1 4 3 1 3 2 2 4 1 3 2 1 1 S = ) + K 2 E m a x — b ( + K E m ) 2 a x — b ( = S + K E m 2 a x — b = S 2 a x + K E m + b = S m + K E + b = S S 2 a x + K E + b = S S m x a + K E + b = S S m

    h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = ) 2 M ( h + g R G = M h — g R G = M

    1 1 2 Приведем к общему знаменателю левую часть формулы Если дроби равны, то обратные им дроби тоже равны. Перевернем дроби, для того чтобы неизвестная переменная оказалась в числителе. F 1 1 = + f 1 d F 1 1 = — f 1 d F d 1 = — f F d F d 1 = — f F d F d = — f F d

    1 1 2 1 Приведем к общему знаменателю левую часть формулы Переворачиваем дробь. k 1 2 = + f 3 d k 1 2 = — f 3 d k d = — f k d 2 3 — k d 2 = f k d 3 1 k d 2 = — f k d 3 1

    X A + = ( ) ω φ t s i n r c r c X A — = a ω t s i n r c ω 1

    U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 2 l o g 0 δ U U X β = 0 δ 2 U U X β = 0 δ 2

    f 0 f 1 = — c υ ( f 0 f 1 = — c υ ) ( )

    В каждой задаче по физике требуется из формулы выразить неизвестную, следующим шагом подставить численные значения и получить ответ, в некоторых случаях необходимо только выразить неизвестную величину. Способов выведения неизвестной из формулы много. Если посмотреть страницы Интернета, то мы увидим множество рекомендаций по этому поводу. Это говорит о том, что единого подхода к решению этой проблемы научное сообщество еще не выработало, а те способы, которые используются, как показывает опыт работы в школе – все они малоэффективны. До 90% учащихся выпускных классов не умеют правильно выразить неизвестное. Те же, кто умеют это делать – выполняют громоздкие преобразования. Очень странно, но физики, математики, химики имеют разные подходы, объясняя методы переноса параметров через знак равенства (предлагают правила треугольника, креста или пропорций др.) Можно сказать, что имеют разную культуру работы с формулами. Можно представить, что происходит с большинством учеников, которые встречается с разными трактовками решения данной проблемы, последовательно посещая уроки этих предметов. Эту ситуацию описывает типичный диалог в сети:

    Научите выражать из формул величины. 10 класс, мне стыдно не знать, как из одной формулы делать другую.

    Да не переживай — это проблема многих моих одноклассников, хоть я и в 9 кл. Учителя показывают это чаще всего методом треугольника, но мне кажется, что это неудобно, да и запутаться легко. Покажу наиболее простой способ, которым я пользуюсь.

    Допустим, дана формула:

    Ну более простая. тебе из этой формулы нужно найти время. Ты берешь и в эту формулу подставляешь числа только разные, исходя из алгебры. Допустим:

    и тебе наверное хорошо видно, что чтобы найти время в алгебраическом выражении 5 нужно 45/9 т.е переходим к физике: t=s/v

    У большинства учащихся формируется психологический блок. Часто учащиеся отмечают, что при чтении учебника трудности в первую очередь вызывают те фрагменты текста, в которых много формул, что «длинные выводы все равно не понять», но при этом возникает чувство неполноценности, неверия в свои силы.

    Я, предлагаю следующее решение данной проблемы – большинство учащихся все — таки могут решать примеры и, следовательно, расставлять порядок действий. Используем это их умение.

    1. В той части формулы, где содержится переменная, которую нужно выразить, надо расставь порядок действий, причем в одночленах, не содержащих искомую величину этого делать не будем.

    2. Затем в обратной последовательности вычислений перенесите элементы формулы в другую часть формулы ( через знак равенства) с противоположным действием ( « минус» — «плюс», «разделить» — « умножить», « возведение в квадрат» – «извлечение корня квадратного»).

    То есть найдем в выражении последнее действие и перенесем одночлен или многочлен, исполняющий это действие, через знак равенства первым, но уже с противоположным действием. Таким образом, последовательно, находя последнее действие в выражении, перенесите из одной части равенства в другую все известные величины. В заключение перепишем формулу так, чтобы неизвестная переменная стояла слева.

    Получаем четкий алгоритм работы, точно знаем, сколько преобразований необходимо выполнить. Можем для тренировки использовать уже известные формулы, можем выдумывать свои. Для начала работы над усвоением данного алгоритма была создана презентация.

    Опыт работы с учащимися показывает, что данный способ хорошо воспринимается ими. Реакция учителей на мое выступление на фестивале «Учитель профильной школы» также говорит о положительном зерне, заложенном в этой работе.

    Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Уравнения, содержащие переменную в знаменателе можно решать двумя способами:

    Приведя дроби к общему знаменателю

    Используя основное свойство пропорции

    Вне зависимости от выбранного способа необходимо после нахождения корней уравнения выбрать из найденных допустимые значения, т.е те, которые не обращают знаменатель в $0$.

    1 способ. Приведение дробей к общему знаменателю.

    Решение:

    1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

    Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

    2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

    Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.

    Выполним преобразование в числителе первой дроби-произведем умножение многочленов. Вспомним , что для этого необходимо умножить первое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена, затем второе слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена и результаты сложить

    \[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9\]

    Приведем подобные слагаемые в полученном выражении

    \[\left(2x+3\right)\left(х+3\right)=2х\cdot х+2х\cdot 3+3\cdot х+3\cdot 3=<2х>^2+6х+3х+9=\] \[<=2х>^2+9х+9\]

    Выполним аналогично преобразование в числителе второй дроби-произведем умножение многочленов

    $\left(x-5\right)\left(2х-1\right)=х\cdot 2х-х\cdot 1-5\cdot 2х+5\cdot 1=<2х>^2-х-10х+5=<2х>^2-11х+5$

    Тогда уравнение примет вид:

    Теперь дроби с одинаковым знаменателем, значит можно производить вычитание. Вспомним, что при вычитании дробей с одинаковым знаменателем из числителя первой дроби необходимо вычесть числитель второй дроби, знаменатель оставить прежним

    Преобразуем выражение в числителе. Для того, чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-» надо изменить все знаки перед слагаемыми , стоящими в скобках на противоположные

    Приведем подобные слагаемые

    Тогда дробь примет вид

    3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

    Решим линейное уравнение:

    4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

    Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

    Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

    Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

    Ответ:$-0,2.$

    Теперь можем составить алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

    Алгоритм решения уравнения, которое содержит переменную в знаменателе

    Перенести все элементы из правой части уравнения в левую. Для получения тождественного уравнения необходимо изменить все знаки, стоящие перед выражениями в правой части на противоположные

    Если в левой части мы получим выражение с разными знаменателями, то приводим их к общему, используя основное свойство дроби. Выполнить преобразования, используя тождественные преобразования и получить итоговую дробь равную $0$.

    Приравнять числитель к $0$ и найти корни получившегося уравнения.

    Проведем выборку корней, т.е. найти допустимые значения переменных, которые не обращают знаменатель в $0$.

    2 способ. Используем основное свойство пропорции

    Основным свойством пропорции является то, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов.

    Используем данное свойство для решения этого задания

    1.Найдем и приравняем произведение крайних и средних членов пропорции.

    Решив полученное уравнение, мы найдем корни исходного

    2.Найдем допустимые значения переменной .

    Из предыдущего решения (1 способ) мы уже нашли , что допустимы любые значения, кроме $-3$ и $0,5$.

    Тогда, установив что найденный корень является допустимым значением, мы выяснили, что $-0,2$ будет являться корнем.

    Ответ:$-0,2.$

    Получи деньги за свои студенческие работы

    Курсовые, рефераты или другие работы

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 12 05 2021


    источники:

    http://planshet-info.ru/kompjutery/kak-vyrazit-peremennuju-iz-formuly-s-drobju

    http://spravochnick.ru/matematika/mnogochleny/reshenie_uravneniy_s_peremennoy_v_znamenatele_drobi/