Как записать уравнение прямой в полярных координатах

Прямая в полярных координатах

Прямая в полярных координатах вне полюса

Для получения уравнения прямой в полярных координатах рассмотрим рисунок, на котором полюс лежит вне прямой.

Согласно этого рисунка прямую в полярных координатах можно представить следующим уравнением:

Это уравнение получается если рассмотреть треугольник OKM и посмотреть определение косинуса

Прямая в полярных координатах проходящая через полюс

Однако когда P = 0, то прямая проходит через полюс и уравнение (1) больше не описывает прямую. Для описания прямой проходящей через полюс достаточно угла между прямой и полярной осью.

Полярное уравнение и параметры прямой

Прямая AB (рисунок ниже)

не проходящая через полюс, представляется в полярных координатах уравнением

p = OK и α = ∠XOK — полярные параметры прямой AB.

Полярным расстоянием прямой AB называется длина p перпендикуляра OK , проведённого к прямой из начала О . Полярное расстояние положительно или равно нулю.
Полярным углом прямой AB называется угол α=∠XOK между лучами OX и OK (взятым в данном порядке).
Полярное расстояние и полярный угол называются полярными параметрами прямой.

Если прямая представлена уравнением Ax+By+C=0 , то её полярное расстояние определяется по формуле

а полярный угол

где верхние знаки берутся, когда C>0 , а нижние – когда C ; если же С=0 , то произвольно берутся либо только верхние, либо только нижние знаки.

Пример 1
Найти полярные параметры прямой 4x-3y+5=0

Затем нужно взять верхние знаки, так как С=+1 , следовательно

Пример 2
Найти полярные параметры прямой 2x-y+9=0

Решение
p=0
Можно взять только верхние знаки, либо только нижние. В первом случае

Love Soft

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Навигация

Загрузки всякие

Связь

Содержание

Уравнение прямой

Прямая — ГМТ, равноудаленных от двух точек.

(I) Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой имеет вид $Ax + By + C = 0$, где $A$, $B$ и $C$ — некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны 0 одновременно.

При $A=0$ прямая параллельна оси oX, при $B=0$ — параллельна оси oY.

При $C=0$ прямая проходит через начало координат.

Вектор с координатами $(A;B)$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

Также уравнение можно переписать в виде $$A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$$

(II) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнением вида $y = kx + b$ можно задать не любую прямую — а именно, нельзя задать прямую, перпендикулярную оси абсцисс.

(III) Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках $$\frac x a + \frac = 1$$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

(IV) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две несовпадающие точки A(x1;y1) и B(x2;y2). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1;y1) и B(x2;y2) имеет вид:

(V) Каноническое уравнение прямой

Если известны координаты точки $P(x_0, y_0)$ лежащей на прямой и направляющего вектора $ \vec v = (a; b)$, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу:

(VI) Параметрическое уравнение прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом $$ x = a t + x_0, y = b t + y_0$$ где $(x_0, y_0)$ — координаты точки лежащей на прямой, $(a, b)$ — координаты направляющего вектора прямой.

(VII) Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой с углом наклона $\alpha$ в полярных координатах $r$ и $\phi$: $$r \cos(\phi-\alpha)=p$$

Калькулятор

Калькулятор для составления уравнения прямой — показывает ход решения

Переход к другой форме записи

От общего уравнения к уравнению с угловым коэффициентом

Выразить переменную y: $Ax + By + C = 0$

$y = -\frac A B x- \frac C B$

От уравнения с угловым коэффициентом к общему уравнению

Перенести все члены в левую часть уравнения

Угловой коэффициент прямой

Угловой коэффициент прямой $k$ = численно равен тангенсу угла между прямой и положительным направлением оси абсцисс.

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему.

Slope — угловой коэффициент — наклон, склон холма, показатель насколько крутой холм или гора.

Чтобы найти наклон между двумя точками на плоскости используется формула:

Иногда горизонтальное изменение называют «пробег», а вертикальное изменение — «подъем» или «снижение, спад».

Наклон биссектрисы первого координатного угла равен 1, так как скорость изменения по оси X и по оси Y одинаковы.

Например, найдем наклон между точками (2, 1) и (-9, 7)

Найдем наклон между точками (-1, -3) и (1, 1)

Чем больше модуль числа, чем круче склон. Положительное число означает, что наклон идет вверх при движении слева направо (прямая возрастает). Отрицательное число означает, что наклон идет вниз при движении слева направо (прямая убывает).

Угол между двумя прямыми

Пусть две неперпендикулярные прямые представляются уравнениями $$y= a_1 x+ b_1 \\ y= a_2 x+ b_2$$ Тогда угол между двумя прямыми найдется по формуле $$tg(θ)=\frac<1+ a_1 \cdot a_2>$$

Условие параллельности двух прямых

Две прямые параллельны (или совпадают), если равны их угловые коэффициенты.

Теорема. Прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $k_1 = k_2$ и $b_1 \ne b_2$.

Задача

Проверить, выполняется ли условие параллельности прямых $2x-3y+1=0$ и $4x-6y-5=0$.

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(1;2)$ параллельно прямой $2x-3y+1=0$.

Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности прямых заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно –1: $$k_1 \cdot k_2=-1$$

Задача

При каком значении $k$ уравнение $y=kx+1$ определяет прямую, перпендикулярную к прямой $y=2x-1$?

Задача

Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку $(-1;1)$ перпендикулярно к прямой $3x-y+2=0$.

Сводная таблица

Задачи — угловой коэффициент на бумаге в клетку

Определить угловой коэффициент прямой:

Расстояние от точки до прямой

Когда прямая на плоскости задана уравнением $ax + by + c = 0$, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки $(x_0,y_0)$ равно

Точка на прямой, наиболее близкая к $(x_0,y_0)$, имеет координаты