Дифференциальное уравнение свободных колебаний
Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:
. (19.5)
Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).
Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.
Пружинный маятник — Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k.Модель пружинного маятника показана на рис.19.1. Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна .
Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.
Рис. 19.1 |
В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать . Делим на m, получим:
. (19.6)
Учтем, что , получим уравнение (19.5)
Период колебаний пружинного маятника определяется как
. (19.7)
Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:
. (19.8)
Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.
Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α торавнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.
. (19.9)
Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем проекцию равнодействующей силы на ось х
. (19.10)
При малых значениях a (a
4 о ) пренебрегаем движением вдоль оси y
(19.11)
Рис.19.2. |
Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна
,
учтем, что , получим
Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме
. (19.12)
Подставим значение . Получим уравнение (19.5). Отсюда период математического маятника равен
, (19.13)
где l – длина математического маятника.
Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).
При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент , который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:
, (19.14)
где J – момент инерции,
ε – угловое ускорение,
l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14) можно записать в виде: или .
Принимая во внимание или .
Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:
, (19.15)
где — приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.
Рис.19.3. |
Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен
, (19.16)
где J0 –момент инерции центра масс.
На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой — около 1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).
Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии — ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.
18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний
Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:
, (19.17)
и , (19.18)
т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды скорости и ускоренияколебаний соответственно равны υmax = Аw и amax= Аw0 2 . Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.
Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения, которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется, замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.
Рис.19.4. |
График гармонического колебания, который описывается уравнением (19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний (механических и электромагнитных) и его решение. Автоколебания
Рассмотрим свободные затухающие колебания— колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах,
а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.
Закон затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматривают линейные системы— идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейными системами являются, например, пружинный маятник при малых растяжениях пружины (когда справедлив закон Гука), колебательный контур, индуктивность, емкость и сопротивление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. Различные по своей природе линейные системы описываются идентичными линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить к изучению колебаний различной физической природы с единой точки зрения, а также проводить их моделирование, в том числе и на ЭВМ.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебанийлинейной системы задается в виде
где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, d=const — коэффициент затухания,w0 — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при d=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотойколебательной системы.
Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде
где u=u(t). После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и подстановки их в (146.1) получим
Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
w 2 =w 2 0-d 2 (146.4)
(если (w 2 -d 2 )>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1)
решением которого является функция и=А0cos(wt+j)
Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (d 2 2 0)
— амплитуда затухающих колебаний,а
a0— начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис.208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени t=1/d, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.
Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы
Если A(t) и A(t+T)— амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его
— логарифмическим декрементом затухания;Ne — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.
Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротностиQ, которая при малых значениях логарифмического декремента равна
(так как затухание невелико (d 2 2 0), то Т принято равным Т0).
Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
Применим выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).
1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника.Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т. е.
где r — коэффициент сопротивления;знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя формулу w0=Ök/m (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания
получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний, маятника:
Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что маятник колеблется по закону
х=A0е — d t cos(wt+j) с частотой w=Ö(w 2 0-r2/4m 2 ) (см. (146.4)).
Добротность пружинного маятника,
согласно (146.8) и (146.10), Q=1/rÖkm.
Свободные и вынужденные механические колебания
Вы будете перенаправлены на Автор24
Движения или процессы, которые имеют определенную повторяемость, называют колебаниями.
Физическая природа колебаний может быть различной, в этой связи различают:
- механические колебания;
- электромагнитные колебания;
- квантовые;
- смешанные (электромеханические).
Разные по природе колебания описываю при помощи одинаковых параметров и одинаковых уравнений. Общим подходом исследования механических и электромагнитных колебаний пользовались разные ученые –физики, например, Д.У. Рэлеей и А.Г. Столетов, П.Н. Лебедев.
Свободные гармонические колебания
Колебания считают свободными (собственными) в том случае, если они выполняются только за счет энергии, которая была сообщена колебательной системе в начальный момент времени и далее внешние воздействия на эту систему отсутствуют.
Самым простым для математического описания видом колебательных процессов стали гармонические колебания.
Гармоническими колебаниями называют колебания, у которых изменение колеблющегося параметра происходит по закону синуса или косинуса:
$s=s_m cos (\omega_0 t+\varphi) (1),$
где $s_m$ — наибольшее значение переменного параметра $s$ (амплитуда); $\omega_0$ — циклическая частота колебаний; $\varphi$ — начальная фаза колебаний; $(\omega_0 t+\varphi)$ — фаза колебаний в момент времени $t$. $- s_m
Гармонические колебания рассматриваются подробно поскольку:
- колебания, которые происходят в реальной действительности часто близки к гармоническим;
- разные периодические процессы можно представлять как сумму гармонических колебаний.
Состояния колебательной системы, выполняющей гармонические колебания, повторяются спустя промежуток времени, который именуют периодом колебаний ($T$). За время, равное периоду, фаза колебаний изменяется на величину, равную $2\pi$:
Готовые работы на аналогичную тему
$(\omega_0 (t+T)+\varphi)=(\omega_0 t+\varphi)+2\pi (2)$,
в результате можем записать:
Величину, обратную периоду, называют частотой колебаний:
Частота – это физическая величина, равная количеству полных колебаний которое система совершает за единицу времени. При этом выполняется равенство:
$\omega_0 = 2\pi \nu (5).$
Дифференциальные уравнения свободных гармонических колебаний
Поведем дифференцирование по времени выражения (1), тогда первая производная равна:
$\frac
Вторая производная по времени от (1):
$\frac
В выражении (6) мы получили скорость колебаний, в (7) ускорение. Данные параметры движения колеблются с той же циклической частотой и амплитудами равными:
$v_m=s_m \omega_0$; $a_m= s_m \omega_0^2$.
Из формулы (6) мы видим, что фаза скорости отлична от фазы смещения $s$ на $\frac<\pi><2>$, тогда как фаза ускорения смещена на $\pi$. Это означает то, что в тот момент времени, когда смещение равно нулю ($s=0$), скорость наибольшая. Если $s$ максимально и отрицательно, то ускорение имеет наибольшую положительную величину.
Из выражений (1) и (7) легко сделать вывод о том, что дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний записывается в виде:
Решением данного уравнения служит $s(t)$ вида (1).
Затухающие колебания
В реальной действительности любые свободные колебания являются затухающими.
Колебания называют затухающими, если их амплитуда в результате энергетических потерь с течением времени уменьшается.
Самым простым механизмом уменьшения энергии в колебательной системе является ее трансформация в тепловую энергию, в результате наличия сил трения.
Формула, которая описывает затухание колебаний, определена свойствами системы, выполняющей движения.
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы можно представить в виде:
где $\delta$ — коэффициент затухания; $\omega_0$ — круговая частота свободных незатухающих колебаний этой же колебательной системы (если $\delta =0$) называется собственной частотой.
Если затухание колебаний мало ($\delta^2 \ll \omega_0^2$), то решением дифференциального уравнения (9) является функция вида:
$s=s_0 e^ <-\delta t>\cos (\omega t +\varphi) (10),$
где $\omega = \omega_0^2-\delta^2$; $s_0=s_m e^<-\delta t>$ — амплитуда колебаний при их затухании ($s_m $- начальная амплитуда).
Строго говоря, затухающие колебания нельзя отнести к периодическим. К ним нельзя применять понятия:
Иногда при очень малом затухании понятие период используют для обозначения отрезка времени между парой соседних максимумов (минимумов) параметра колебания. В этом случае период затухающих колебаний вычисляют как:
Конечным результатом эволюции колебательной системы с затухающими колебаниями является стремление ее к состоянию равновесия. Данное поведение понятно, поскольку связано с потерей энергетического запаса на совершение работы против сил трения в механической системе.
Вынужденные колебания
Вынужденными называют колебания, если на колебательную систему происходит периодическое воздействие внешней силы (имеется источник энергии).
Вынужденными механическими колебаниями можно назвать звуковую волну, которая распространяется в веществе при наличии источника звука.
Для получения в реальной системе незатухающих колебаний, следует компенсировать потери энергии. Данная компенсация возможна при действии, например, периодического фактора $X(t)$, который изменяется в соответствии с законом:
$X(t)=X_0 \cos (\omega t)(12).$
При механических колебаниях вместо $X(t)$ можно записать внешнюю вынуждающую силу:
$F=F_0 \cos (\omega t) (13).$
Рассмотрим колебания тела на упругой пружине. Уравнением его колебаний будет:
где $r$ — коэффициент сопротивления; $\omega_0 = \sqrt<\frac
Уравнения вынужденных колебаний с учетом (13) запишем в виде:
$m \ddot < x>=-kx-r\dot
$\ddot
Уравнение (17) — это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 17 05 2021
http://allrefrs.ru/1-25816.html
http://spravochnick.ru/fizika/mehanicheskie_kolebaniya_i_volny/svobodnye_i_vynuzhdennye_mehanicheskie_kolebaniya/