Какая фигура является графиком уравнения

Тема урока: «Уравнение с двумя переменными и его график»

Разделы: Математика

ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;

2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;

3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком

4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;

5) Учить учащихся «читать» графики и выполнять построение графиков по

заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;

6) Развивать логическое мышление учащихся.

I.Новый материал — объяснительная лекция с элементами беседы.

(лекция проводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)

У: При изучении линий возникают две задачи:

По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;

Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.

Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.

Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.

Рассмотрим уравнения вида:

– это примеры уравнений с двумя переменными.

Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)= (x,y), где f и – выражения с переменными х и у.

Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,

Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4.

То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +( у 2 — 4 ) 2 = 0 или

Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).

Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.

Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями. Например, уравнение х(х + у 2 ) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 — х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.

Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).

Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.

Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1). Если a = b = c = 0, то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2), если же a = b = 0, а c0, то графиком является пустое множество(рис.3).

График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0 ) – гиперболу(рис.5). Графиком уравнения х 2 + у 2 = r, где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равным r(рис.6). Графиком уравнения является эллипс, где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).

Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений

1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.

2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х.

3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.

4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а 0, и вниз, если b 1, и с помощью растяжения от оси у в раз, если 0 1, и с помощью растяжения от оси x в раз, если 0 0 и 45 0 .

8) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F (-y, x) = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F (y, -x) = 0.

9) График уравнения F (x, y) = 0 в результате поворота около начала координат на угол 45 0 по часовой стрелке переходит в график уравнения F = 0, а против часовой стрелки – в график уравнения F = 0.

Из рассмотренных нами правил преобразования графиков уравнений с двумя переменными легко получаются правила преобразования графиков функций.

Пример 1. Покажем, что графиком уравнения х 2 + у 2 + 2х – 8у + 8 = 0 является окружность (рис.17).

Преобразуем уравнение следующим образом:

1) сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х и содержащие переменную у, и представим каждую группу слагаемых в виде полного квадрата трехчлена: (х 2 + 2х + 1) + (у 2 -2*4*у + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) запишем в виде квадрата суммы (разности) двух выражений полученные трехчлены: (х + 1) 2 + (у – 4) 2 — 9 = 0;

3) проанализируем, согласно правилам преобразования графиков уравнений с двумя переменными, уравнение (х + 1) 2 + (у – 4) 2 = 3 2 : графиком данного уравнения является окружность с центром в точке (-1; 4) и радиусом 3 единицы.

Пример 2. Построим график уравнения х 2 + 4у 2 = 9.

Представим 4у 2 в виде (2у) 2 , получим уравнение х 2 + (2у) 2 = 9, график которого можно получить из окружности х 2 + у 2 = 9 сжатием к оси х в 2 раза.

Начертим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единицы.

Уменьшим в 2 раза расстояние каждой её точки от оси Х, получим график уравнения

Мы получили фигуру с помощью сжатия окружности к одному из её диаметров(к диаметру, который лежит на на оси Х). Такую фигуру называют эллипсом (рис.18).

Пример 3. Выясним, что представляет собой график уравнения х 2 — у 2 = 8.

Воспользуемся формулой F= 0.

Подставим в данное уравнение вместо Х и вместо У, получим:

У: Что представляет собой график уравнения у = ?

Д: Графиком уравнения у = является гипербола.

У: Мы преобразовали уравнение вида х 2 — у 2 = 8 в уравнение у = .

Какая линия будет являться графиком данного уравнения?

Д: Значит, и графиком уравнения х 2 — у 2 = 8 является гипербола.

У: Какие прямые являются асимптотами гиперболы у = .

Д: Асимптотами гиперболы у = являются прямые у = 0 и х = 0.

У: При выполненном повороте эти прямые перейдут в прямые = 0 и =0, т.е в прямые у = х и у = — х. (рис.19).

Пример 4 : Выясним, какой вид примет уравнение у = х 2 параболы при повороте около начала координат на угол 90 0 по часовой стрелке.

Используя формулу F (-у; х) = 0, заменим в уравнении у = х 2 переменную х на – у, а переменную у на х. Получим уравнение х = (-у) 2 , т. е. х = у 2 (рис.20).

Мы рассмотрели примеры графиков уравнений второй степени с двумя переменными и выяснили, что графиками таких уравнений могут быть парабола, гипербола, эллипс (в частности окружность). Кроме того, графиком уравнения второй степени может являться пара прямых (пересекающихся или параллельных).Это так называемый вырожденный случай. Так графиком уравнения х 2 — у 2 = 0 является пара пересекающихся прямых (рис.21а), а графиком уравнения х 2 — 5х + 6 + 0у = 0- параллельных прямых.

(учащимся выдаются «Карточки-инструкции» по выполнению построений графиков уравнений с двумя переменными в программе Agrapher (Приложение 2) и карточки «Практическое задание» (Приложение 3) с формулировкой заданий 1-8 Графики уравнений к заданиям 4-5 учитель демонстрирует на слайдах).

Задание1. Какие из пар (5;4), (1;0), (-5;-4) и (-1; —) являются решениями уравнения:

а) х 2 — у 2 = 0, б) х 3 — 1 = х 2 у + 6у ?

Подставив в заданное уравнение, поочерёдно координаты данных точек убеждаемся, что ни одна данная пара не является решением уравнения х 2 — у 2 = 0, а решениями уравнения х 3 — 1 = х 2 у + 6у являются пары (5;4), (1;0) и (-1; —).

Ответ:

125 — 1 = 100 + 24 (И)

-125 – 1 =-100 – 24 (Л)

-1 – 1 = — — (И)

Ответ: а); б) (5;4), (1; 0), (-1; —).

Задание 2. Найдите такие решения уравнения ху 2 — х 2 у = 12, в которых значение х равно 3.

Решение: 1)Подставим вместо Х в заданное уравнение значение 3.

2)Получим квадратное уравнение относительно переменной У, имеющее вид:

4) Решим это уравнение:

3у 2 — 9у – 12 = 0

Д = 81 + 144 = 225

Ответ: пары (3;4) и (3;-1) являются решениями уравнения ху 2 — х 2 у = 12

Задание3. Определите степень уравнения:

а) 2у 2 — 3х 3 + 4х = 2; в) (3 х 2 + х)(4х — у 2 ) = х;

б) 5у 2 — 3у 2 х 2 + 2х 3 = 0; г) (2у — х 2 ) 2 = х(х 2 + 4ху + 1).

Ответ: а) 3; б) 5; в) 4; г) 4.

Задание4. Какая фигура является графиком уравнения:

а) 2х = 5 + 3у; б) 6 х 2 — 5х = у – 1; в) 2(х + 1) = х 2 — у;

г) (х — 1,5)(х – 4) = 0; д) ху – 1,2 = 0; е) х 2 + у 2 = 9.

Ответ: а) прямая (рис.23а); б) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23б); в) парабола, ветви которой направлены вверх (рис.23в), г) две параллельные прямые х = 1,5 и х = 4 (рис.23г); д) гипербола (рис.23д); е) окружность, с центром в начале координат, радиусом равным 3 (рис.23е).

Задание5. Напишите уравнение, график которого симметричен графику уравнения х 2 — ху + 3 = 0 (рис.24) относительно: а) оси х; б) оси у; в)прямой у = х; г) прямой у = -х.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а) х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24а); б) — х 3 + ху + 3 = 0 (рис.24б); в) у 3 — ух + 3 = 0 (рис.24в); г) (-у 3 ) + ух +3 = 0 (рис.24г).

Задание6. Составьте уравнение, график которого получается растяжением графика уравнения у= х 2 -3 (рис.25):

а) от оси х в 2 раза; б) от оси у в 3 раза.

Проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания.

Ответ: а)у — х 2 + 3 = 0 (рис.25а); б) у-(x) 2 + 3 = 0 (рис.25б).

Задание7. На рисунке (рис.29) изображен график уравнения с двумя переменными. Найдите по графику (приближенно) два решения:

а) с одинаковыми значениями х: х = 1; -2;

б) с противоположными значениями у: у = 1, 2

Ответ: а) если х = 1, то у = -2,5 или у = 2,5, если х = -2, то у = -3,5 или у = -3,5;

б если у = 2,то х = 2,если у =-2, то х =-2; если у = 1, то х = 3,5, если у = -1, то х=-3,5

Задание8. Сравните взаимное расположение данных прямых и определите, каким преобразованием плоскости график первой прямой переводится в график второй прямой.

а) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7у = 5

б) 3х-7у = 5 и 3(х-1)-7(у+3) =5

в) 3х-7у = 5 и 3х + 7у = 5

г) 3х-7у = 5 и -3х-7у = 5

д) 3х-7у = 5 и 3х-7у = -5

е) 3х-7у = 5 и 7х-3у = 5

Ответ: а) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо (рис.26а);

б) прямые параллельны, перемещение параллельно оси х на 1 единицу вправо и параллельно оси у на 3 единицы вниз (рис.26б);

в) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси х (рис.26в);

г) прямые пересекаются, симметричное отображение относительно оси у (рис.26г);

д) прямые параллельны, симметричное отображение относительно начала координат (рис.26д);

е) прямые пересекаются, поворот около начала координат на 90по часовой стрелке и симметричное отображение относительно оси х (рис.26е).

III. Самостоятельная работа обучающего характера.

(учащимся выдаются карточки «Самостоятельная работа» и «Отчётная таблица результатов самостоятельной работы», в которую учащиеся записывают свои ответы и после самопроверки, по предложенной схеме оценивают работу) Приложение 4..

1.Определите степень уравнения:

а) 5х 3 -3х 2 у 2 + 8 = 0; б) (х + у + 1) 2 -(х-у) 2 = 2(х+у).

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 3 + у 3 -5х 2 = 0; б) х 4 +4х 3 у +6х 2 у 2 + 4ху 3 + у 4 = 1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 4 + у 4 -8х 2 + 16 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х + 1) 2 + (у-1) 2 = 4;

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 — 2х + у 2 — 4у = 20.

Укажите координаты центра окружности и её радиус.

6. Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 16 ?

Проверьте свой ответ, выполнив графическое построение, используя программу Agrapher.

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 — 1

1.Определите степень уравнения:

а)3ху = (у-х 3 )(х 2 +у); б) 2у 3 +5х 2 у 2 — 7 = 0.

2. Является ли пара чисел (-2;3) решением уравнения:

а) х 2 -у 2 -3х = 1; б) 8х 3 + 12х 2 у + 6ху 2 +у 3 =-1.

3. Найдите множество решений уравнения:

х 2 + у 2 -2х – 8у + 17 = 0.

4. Какой кривой (гиперболой, окружностью, параболой) является множество точек, если уравнение этой кривой имеет вид:

а) (х-2) 2 + (у + 2) 2 =9

(проверьте с помощью программы Agrapher правильность выполнения задания)

5. Постройте, используя программуAgrapher, график уравнения:

х 2 + у 2 — 6х + 10у = 2.

6.Как следует на координатной плоскости переместить гиперболу у = , чтобы её уравнение приняло вид х 2 — у 2 = 28 ?

7.Как следует на координатной плоскости переместить параболу у = х 2 , чтобы её уравнение приняло вид х = у 2 + 9.

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Какая фигура является графиком уравнения (2x — y — 1)(2x + y + 1) = 0?

Алгебра | 5 — 9 классы

Какая фигура является графиком уравнения (2x — y — 1)(2x + y + 1) = 0?

1) Окружность 2) Точка 3 )Две параллельные прямые 4) Две непараллельные прямые.

Правильный ответ — 4 тк если при равнять к нулю, то получатся пересекающиеся прямые.

Укажите две какие — нибудь точки , через которые проходит график прямой пропорциональности с коэффицентом — 4?

Укажите две какие — нибудь точки , через которые проходит график прямой пропорциональности с коэффицентом — 4.

Даны две не совпадающие параллельные прямые?

Даны две не совпадающие параллельные прямые.

Докажите, что все прямые, которые пересекают эти прямые, лежат на одной плоскости.

Если пересечение двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 градусов , то эти две прямые параллельны?

Если пересечение двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 градусов , то эти две прямые параллельны?

Даны две точки?

Можно ли через эти две точки провести прямую?

Сколько прямых можно провести?

Выберите верное утверждение?

Выберите верное утверждение.

Через две точки можно провести отрезок.

2)Через одну точку можно провести только одну прямую.

3)Две прямые могут иметь только одну общую точку.

4)Через две точки можно провести две прямые.

Ложное высказывание : через три точки в пространстве можно провести плоскость и притом только одну если две прямые в пространстве параллельны третьей, то они параллельны отношения отрезкой одной прямо?

Ложное высказывание : через три точки в пространстве можно провести плоскость и притом только одну если две прямые в пространстве параллельны третьей, то они параллельны отношения отрезкой одной прямой или параллельных прямых при параллельном проектировании сохраняются если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, проведенной через ее основание, то она перпендикулярна наклонной если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой — нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.

Верно ли утверждение?

Верно ли утверждение?

Если две прямые образуют с третьей равные углы, то эти две прямые параллельны.

Какие из следующих утверждений верны?

Какие из следующих утверждений верны?

1. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

2. Через любую точку проходит более одной прямой.

3. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

4. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

Укажите , какие из приведённых ниже утверждений верны : 1)Если две прямые параллельные третьей прямой , то они параллельны между собой?

Укажите , какие из приведённых ниже утверждений верны : 1)Если две прямые параллельные третьей прямой , то они параллельны между собой.

2)Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны , то прямые параллельны .

3)Через точку , не лежащую на данной прямой , проходят две прямые , параллельные данной.

4)Через любые две точки можно провести две прямые .

5)Если сумма односторонних углов при пересечении двух прямых третьей равна 180 градусов , то прямые параллельны.

Какие из следующих утверждений верны?

Какие из следующих утверждений верны?

1. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 70, то две прямые параллельны.

2. Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

3. Через любые две точки проходит не менее одной прямой.

Перед вами страница с вопросом Какая фигура является графиком уравнения (2x — y — 1)(2x + y + 1) = 0?, который относится к категории Алгебра. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.