Система линейных уравнений
Линейные уравнения
В общем случае линейное уравнение имеет вид:
Любой n-мерный вектор Х = (x1, x2. xn) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.
Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.
Три случая при решении линейных уравнений
- Если коэффициенты при неизвестных a1 = a2 = . = an =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+. +0*xn=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
- Если коэффициенты a1 = a2 = . = an =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x1+0*x2+. +0*xn= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
- Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.
Пусть а1 ≠0. В этом случае можно разрешить уравнение относительно x1:
Важно: При этом x1 называется разрешенной неизвестной, x2, x3. xn называются свободными неизвестными. Если свободными неизвестным придать любые конкретные значения x2=k2, x3=k3. xn=kn, то вектор K=(k2, k3. kn) является решением исходного уравнения.
Системы линейных уравнений
Классификация систем линейных уравнений по количеству решений
В общем случае система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n уравнений имеет вид:
где, aij (i=1,2. m; j=1,2. n) и bi (i=1,2. m), постоянные величины.
Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (x1, x2. xn), который одновременно является решением каждого из уравнений системы.
Векторная и матричная формы записи систем линейных уравнений
Векторная форма записи
Система уравнений может быть записана в векторном виде:
Пример 1. Записать в векторном виде.
Матричная форма записи
В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:
AX=B
Пример 2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера
Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды
Определение СЛАУ
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:
$$\left\<\begin
Упорядоченный набор значений $$\left\
Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin
Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:
$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$
Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.
Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin
Виды систем
СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.
В противном случае система называется несовместной.
Система $\left\<\begin
Система $\left\<\begin
Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.
В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.
Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.
Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.
Система $\left\<\begin
Матричная запись систем уравнений
Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:
Задание. Систему $\left\<\begin
Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:
$$A=\left(\begin
то есть, запись СЛАУ в матричной форме:
$$\left(\begin
Расширенная матрица системы
Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin
Решение. Матрица системы $A=\left(\begin
Система линейных алгебраических уравнений
В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.
Определение системы линейных уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:
Индексы коэффициентов ( aij ) формируются следующим образом:
- i – номер линейного уравнения;
- j – номер переменной, к которой относится коэффициент.
Решение СЛАУ – такие числа c1, c2,…, cn , при постановке которых вместо x1, x2,…, xn , все уравнения системы превратятся в тождества.
Виды СЛАУ
- Однородная – все свободные члены системы равны нулю ( b1 = b2 = … = bm = 0 ).
В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:
- Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: , y = 3 . - Несовместная – система не имеет решений.
Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.
Матричная форма записи системы
СЛАУ можно представить в матричной форме:
- A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
- X – столбец переменных:
- B – столбец свободных членов:
Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:
Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.
Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:
Расширенная матрица СЛАУ
Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B , разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.
Для примера выше получается так:
– обозначение расширенной матрицы.
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_5_1.php
http://microexcel.ru/slau/