Какие параметры связывает основное уравнение турбомашин

Основное уравнение турбомашин (уравнение Эйлера) и его анализ

Теоретическая работа, сообщенная 1 кг газа (напор), Дж/кг, при изоэнтропном (адиабатном) сжатии его от давления Р₁ до давления Р₂ может быть вычислена по известному из термодинамики соотношению (6.2):

= .

Эта же работа может быть найдена из уравнения Эйлера:

, (6.19)

где u₂ и u₁ – окружные скорости концов рабочих лопаток, м/с; с_2u и c_1u – окружные составляющие абсолютных скоростей потока на выходе и входе рабочего колеса (см. рис. 6.2).

Рис. 6.2. Треугольники скоростей газового потока на входе и выходе рабочего колеса центробежного компрессора (ЦБК)

Используя соотношения для треугольников скоростей, преобразуем уравнение Эйлера. В соответствии с теоремой косинусов из выходного треугольника можно записать:

, где ,

. (6.20)

Аналогично из входного треугольника:

. (6.21)

Подставив эти выражения в уравнение Эйлера (6.19) получим:

. (6.22)

Это преобразованное уравнение Эйлера, удобное для анализа. Здесь два последних члена выражают часть работы ТК, затраченной на прирост давления газа в рабочем колесе. Это статический напор колеса. Первый член – это динамический напор колеса, который может быть преобразован в статический напор в диффузоре ТК.

Из уравнения (6.19) видно, что максимальный напор, а следовательно, максимальное давление, развиваемое ступенью ТК, будут при , т.е. при a₁=90° (вход потока в колесо без предварительной закрутки): . Иначе

, (6.23)

где – коэффициент закрутки потока, который является характеристикой геометрии рабочего колеса. Отсюда важный вывод:

· при постоянном значении j (для одного и того же колеса), напор (удельная работа сжатия) развиваемый компрессором пропорционален квадрату частоты вращения колеса.

Максимальная окружная скорость u₂ лимитируется условиями прочности. В стационарном компрессоростроении при загнутых рабочих лопатках для применяемых материалов обычно принимают u₂@250 м/с. В таких ступенях ЦБК степени повышения давления составляют e_ст=1,3-1,5.

На практике в ЦБК могут быть использованы рабочие колеса с лопатками следующих форм (см. рис. 6.3):

Рис. 6.3. Схемы рабочих колес ЦБК: а – лопатки загнуты назад; б – лопатки радиальные; в – лопатки загнуты вперед

В соответствии с (6.23), если все три колеса одного диаметра, то при неизменной частоте вращения (u₂=const) и одинаковых условиях входа потока наименьший напор будет в колесе а) и наибольший – в колесе в).

Преобразование кинетической энергии потока в потенциальную происходит в диффузоре и обратном направляющем аппарате. Оно сопровождается значительными газодинамическими потерями. Эти потери растут с увеличением скорости c₂ (в соответствии с законом Дарси). Отсюда области применения центробежных компрессоров с разными типами колес:

1) в стационарных крупных компрессорах, для которых экономичность имеет первостепенное значение, используют рабочие колеса с лопатками, загнутыми назад (b_2л=35-55°);

2) загнутые вперед лопатки применяют в тех случаях, когда необходимо получить высокий напор в одной ступени, а величина КПД играет второстепенную роль;

3) наиболее прочные – радиальные лопатки. Они позволяют получать окружную скорость до 500 м/с. Кроме того, эти лопатки обеспечивают максимальную диффузорность, т.е. наибольший член уравнения (6.22): .

Благодаря этому в одном колесе с радиальными лопатками достижимы более высокие статические давления. Такие колеса применяются тогда, когда требуются высокие давления при минимальных габаритах и массе. Обычно в транспортных конструкциях.

В осевых компрессорах (ОК) обычно u₁=u₂, т.е. в уравнении (6.22) отсутствует член , отражающий влияние центробежных сил.

Вследствие этого ступень ОК развивает значительно меньший напор, чем ступень ЦБК. Так что при равных степенях повышения давления и других равных условиях ОК имеет значительно большее число ступеней, чем ЦБК.

Лекция на тему: Теоретические характеристики турбомашины

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Основное уравнение колеса турбомашины. Теоретические характеристики турбомашины. График скорости жидкости в колесе. Типы рабочих колес турбомашины и их теоретические характеристики. Анализ теоретических характеристик.

Основное уравнение колеса турбомашины .

График скорости жидкости в колесе турбомашины

Анализ уравнения теоретического напора в турбомашине

Теоретическая производительность центробежной и осевой турбомашины

1.Понятие о характеристике турбомашины.

Работа турбомашины характеризуется развиваемым давлением и производительностью. Зависимость между теоретической подачей Q т центробежной турбомашины и создаваемым теоретическим напором Нт устанавливается в предположении отсутствия трения в турбомашине, утечек жидкости через неплотности и наличия в рабочем колесе бесконечно большого числа лопастей бесконечно малой толщины. Характеристики турбомашины могут быть теоретическими и действительными.

2. График скоростей жидкости в колесе турбомашины.

Частица жидкости в межлопастном канале участвует одновременно в переносном движении, вращаясь вместе с колесом с окружной скоростью U, и в относительном движении, передвигаясь вдоль лопасти с относительной скоростью ω, направленной по отношению к скорости U под углом ∠ β.

Геометрическая сумма скоростей U и ωназываетсяабсолютной скоростью С жидкости. Скорость С относительно скорости U направлена под углом ∠ α, называемым углом абсолютной скорости.

Положение начального I и конечного II элементов лопасти определяет характер движения жидкости в межлопастном канале. Положение элементов устанавливается величиной угла ∠ β1на входе в колесо (окружность диаметром D1) и угла ∠ β2 на выходе жидкости из колеса (окружность диаметром D2).

На рисунке показаны планы скоростей на входе и выходе колеса и траектория I-II движения частицы жидкости. Векторы абсолютной скорости на любых радиусах колеса будут касательными к кривой I и II.

При идеальном процессе в турбомашине мощность N, переданная двигателем на вал турбомашины, полностью передаётся и определяется как произведение момента приложенных к потоку внешних сил на угловую скорость ω рабочего колеса.

Рабочие процессы в вентиляторах и насосах сходны, так как можно считать, что процессы в таких машинах протекают при по­стоянной плотности текучих тел: вода практически не сжимается (при увеличении давления на 1 ат объем воды уменьшается на 0,00005 первоначального объема) и плотность воздуха тоже можно принять постоянной (максимальное давление, создаваемое вентиля­тором, обычно не превосходит 500 кгс/м 2 ).

Рис. 1. Скорости на входе и выходе рабочего колеса цен­тробежной турбомашины

Зависимость между теоретической производительностью центробежной турбомашины и создаваемым турбомашиной теоре­тическим давлением устанавливается при предположении отсут­ствия вредных сопротивлений в турбомашине, утечек текучего через неплотности и наличия в рабочем колесе бесконечно большого числа лопаток бесконечно малой толщины. В таком случае поток текучего разделился бы лопатками на элементарные струйки.

Частица текучего в межлопаточном канале участвует одновре­менно в переносном движении, вращаясь вместе с колесом с окруж­ной скоростью и, и в относительном движении, передвигаясь вдоль лопатки с относительной скоростью и>, направленной по отношению к скорости и под углом Р (рис. 1). Геометрическая сумма скоростей и и ω называется абсолютной скоростью с частицы текучего. Скорость с относительно скорости и направлена под углом а.

Положение начального 1 и конечного 2 элементов лопатки опре­деляет характер движения текучего в межлопаточном канале. По­ложение элементов устанавливается величиной угла β 1 на входе в колесо (окружность диаметром D ₁ ) и угла β2 на выходе текучего из колеса (окружность диаметром D ₂ ).

На рисунке1 показана диаграмма скоростей на входе и выходе и траектория 1—2 абсолютного движения частицы текучего. Век­торы абсолютной скорости на любых радиусах колеса будут каса­тельными к кривой 1 — 2.

При идеальном процессе в турбомашине мощность N , передан­ная на вал турбомашины, полностью передается потоку и опреде­ляется как произведение момента М приложенных к потоку внешних сил на угловую скорость вращения ω рабочего колеса

В соответствии с теоремой момента количества движения устано­вившегося потока, согласно которой изменение момента количества движения от М ₁ до М ₂ массы т, протекающей в 1 сек от одного се­чения к другому, равно моменту М внешних сил, приложенных к потоку между этими сечениями (применительно к рис. 1 начальное и конечное сечения потока — элементы круговых соосных цилиндров с диаметром основания соответственно D ₁ и D ₂ ), имеем

Учитывая, что и выражая из соответствующих треуголь­ников плечи 1 _г и 1 ₂ через радиусы R1 и R2 получим

Получим основное уравнение центробежной турбомашины, выведенное Л. Эй­лером,

Проекция скорости на окружную скорость и, называется окружной проекцией абсолютной скорости.

Рис. 6. Схема вихревого движения (циркуляции) по контуру лопатки: а — осевой турбомашины; б — цен­тробежной турбомашины

является второй формой основного уравнения турбомашины, причем для вентиляторов в формулу вместо 1/ g подставляется плотность воздуха р.

В осевых турбомашинах:

где D ₂ — диаметр рабочего колеса; d _вс — диаметр втулки.

В центробежных турбомашинах:

где b ₂ — ширина рабочего колеса на выходе.

Из рис. 2 видно, что при увеличении производительности давление Q _т турбомашин с колесами, имеющими лопатки, загнутые вперед, возрастает, при радиальных лопатках остается постоянным, а при лопатках, загнутых назад, падает.

В отношении увеличения давления колеса с лопатками, за­гнутыми вперед, предпочтительнее. Однако наибольшая ско­рость с ₂ была в колесах с лопатками, загнутыми вперед, а наи­меньшая — в колесах с лопатками, загнутыми назад (см. рис. 2 ); для уменьшения потерь желательно, чтобы скорость с ₂ была меньше, однако не менее известного предела, так как при уменьшении с ₂ уменьшается Н _т . Значения с ₂ , обеспечивающие максимальный к. п. д. колеса, имеют место при 155° > β ₂ > 130°, т. е. при лопатках, загнутых назад. Мини­мальный к. п. д. будет при лопатках, загну­тых вперед.

Рис. 2. Теоретические ин­дивидуальные характеристи­ки турбомашин:

1 — с рабочим колесом, име­ющим лопатки загнутые впе­ред; 2 — то же, с радиаль­ными лопатками; 3 — то же* с лопатками, загнутыми на­зад

Шахтные вентиляторы по сравнению с на­сосами характеризуются значительными про­изводительностями и небольшими давле­ниями, поэтому приходится иметь колесо большого диаметра. В центробежных венти­ляторах желательно иметь одно колесо во избежание больших габаритов вентилятора в горизонтальном направлении. В центро­бежных вентиляторах небольшой, а иногда и средней производительности применяются колеса с лопатками, загнутыми вперед, при этом несколько снижается к. п. д., который в известной степени компенсируется примене­нием последующего диффузора. В венти­ляторах большой производительности применяются рабочие ко­леса с лопатками, загнутыми назад, обеспечивающие более высокии м к. п. д.

Шах тные насосы по сравнению с вентиляторами характеризу ются значительными давлениями и небольшими подачами. Поэтому приходится иметь несколько последовательно соединенных колес небольших размеров. Для насосов применяются колеса с лопатками, загнутыми назад. Такого же типа колеса применяются для турбо­компрессоров.

Действительная индивидуальная характе­ристика турбомашины представляет собой зависимость между действительным давлением Н и действительной производительностью Q турбомашины при известных размерах машины и определенной скорости вращения рабочего колеса. Действительное давление меньше теоретического из-за потерь давления в турбомашине, за­висящих от: 1) конечного числа лопаток колеса; 2) трения текучего о стенки и лопатки турбомашин на поворотах при пре­образовании кинетической энергии текучего в давление; 3) потерь на удар от вихревых движений текучего внутри турбомашины.

В реальной турбомашине, имеющей известное число лопаток определенной толщины, скорости текучего по сечению данного радиуса различны, а давление у передней стороны лопатки выше, чем у задней стороны; поток текучего на выходе из колеса скошен в сторону, обратную направлению вращения.

Действительная индивидуальная характеристика турбомашины определяется опытным путем: измерением давлений, создаваемых конкретной турбомашиной, при различных производительностях и постоянной скорости вращения рабочего колеса.

Действительная индивидуальная характеристика турбомашины дается заводом-изготовителем, причем кроме кривой — Н при­водятся еще кривая к. п. д. —η и кривая мощности Q — N . В совокупности эти кривые называются эксплуатацион­ными характеристиками турбомашины.

К. п. д. турбомашины учитывает потери гидравлического (по­тери давления от трения текучего и т. п.) и механического (потери на трение в подшипниках, сальниках и т. п.) характера. Зависимость Н от Q устанавливается по формуле и данным опытных замеров производительности, давления и потребляемой мощности.

Действительная индивидуальная характеристика обычно дается заводом-изготовителем для одного колеса. При последовательном соединении колес характеристика турбомашины получается увели­чением ординат характеристики одноколесной турбомашины.

Вопросы для самоконтроля:

1. В чем заключается принцип работы центробежной и осевой турбомашин?

2. Назовите величины, характери­зующие работу турбомашины.

3. Что называется теоретическим напором турбомашины, основное уравнения турбомашин?

4. Теоретические и действительные напорные характеристики турбомашин?

5. Законы пропорциональности турбомашин?

6. Что такое удельная быстроходность турбомашин? Как она влияет на конструктивные размеры рабочих колес?

1.Хаджиков Р.Н., Бутаков С.А. Горная механика. М.: Недра, 1982 с. 3-11.

Центробежные насосы

В центробежном насосе, схематическое изображение которого представлено на рис. 3.1, передача энергии осуществляется за счет силового взаимодействия лопастного аппарата рабочего колеса с жидкостью.

Рис. 3.1. Схема рабочего колеса центробежного насоса

В межлопаточных каналах рабочего колеса частицы жидкости участвуют в сложном движении. Вектор абсолютной скорости частицы может быть представлен суммой переносной (окружной) скорости и относительной скорости

.

Относительная скорость частицы в любой точке профиля лопатки направлена по касательной к нему, а переносная – по касательной к окружности рабочего колеса.

Абсолютную скорость раскладывают на окружную V_iu и меридианную (нормальную по отношению к окружной скорости) V_iм составляющие, которые рассчитывают по следующим формулам

где i=1, 2. Индекс «₁» соответствует параметрам жидкости на входе в рабочее колесо, а «₂» – на выходе из него.

Основное уравнение турбомашин (турбинное уравнение Эйлера)

Основное уравнение турбомашин связывает геометрические и кинематические характеристики рабочего колеса с развиваемым им напором. При его выводе принимают, что траектория частиц жидкости в межлопаточных каналах повторяет очертания профиля лопасти.

Вывод основан на теореме момента количества движения: при установившемся течении в равномерно вращающемся канале изменение во времени главного момента количества движения частиц жидкости, равно главному моменту действующих на них внешних сил

, (3.1)

где W – объем жидкости в канале; M_o – главный момент внешних сил относительно оси вращения.

Производная физической величины по времени включает локальную и конвективную составляющие. В случае стационарности физической величины локальная производная по времени отсутствует. В /12/ приводится доказательство того, что конвективная производная по времени от интеграла некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равна переносу той же величины сквозь контрольную поверхность.

Неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую в данный момент времени, рассматриваемый движущийся объем, называют контрольной поверхностью. Перемещаясь в пространстве, жидкий объем протекает сквозь свою контрольную поверхность. Произведение физической величины, например, , представляющей момент количества движения единицы объема жидкости, на объемный расход среды сквозь элементарную площадку , ориентированную в соответствии с ортом нормали n, определяет перенос рассматриваемой физической величины через эту площадку.

Для нашего случая это приводит к следующему выражению

. (3.2)

Контрольной поверхностью для жидкости, находящейся в межлопаточном пространстве рабочего колеса насоса (см. рис. 3.1), является поверхность, образованная боковыми поверхностями лопаток S_б и поверхностями колеса на входе S₁ и выходе S₂ из него жидкости. Интеграл, стоящий в правой части уравнения представим в виде суммы интегралов по всем составляющим поверхностям. Интеграл через боковые поверхности равен нулю, поскольку отсутствует нормальная составляющая вектора скорости к этой поверхности. Интегралы через поверхность жидкости на входе и выходе из колеса имеют разные знаки, поскольку орты нормалей к этим поверхностям (n₁ и n₂) ориентированы в противоположные стороны (внутрь и наружу) относительно объема жидкости, находящейся в межлопаточном пространстве. На основании этого сделаем следующие преобразования

Численное значение последнего интеграла равно

,

где – окружная составляющая вектора абсолютной скорости жидкой частицы; – объемный расход жидкости, проходящей через каналы рабочего колеса.

Объединив полученное выражение с уравнениями (3.1) и (3.2), получим

. (3.3)

К внешним силам, действующим на жидкость, находящуюся в канале рабочего колеса, относят силы давления, трения, тяжести и силы взаимодействия с ней стенок канала. Анализ показывает, что равнодействующие сил давления на внутренней и внешней образующих колеса проходят через ось вращения. Поэтому момента они не создают. Силы тяжести из-за симметрии рабочего колеса уравновешаны, а силы трения, действующие по периферийным поверхностям вращения малы. На этом основании предполагают, что момент создают только силы, возникающие от взаимодействия стенок рабочих каналов с жидкостью, находящейся в них.

Этот момент внешних сил связан с гидравлической мощностью насоса N_г и угловой скоростью вращения w следующим соотношением

.

Подставляя найденные величины в (3.3), получим основное уравнение турбомашин (турбинное уравнение Эйлера)

. (3.4)

Уравнение Эйлера связывает теоретический напор насоса со скоростями движения жидкости, которые зависят от подачи насоса, угловой скорости вращения рабочего колеса, а также с его геометрическими характеристиками.

Поток на входе в рабочее колесо создается предшествующим ему устройством (подводом). Следовательно, момент скорости (закрутка) определяется конструкцией подвода. Подводящие устройства многих насосов не закручивают поток и момент скорости на входе равен нулю. В этом случае теоретический напор определится по следующему уравнению

, (3.5)

где – окружная скорость на периферии колеса.

,

где n – частота вращения, об/мин,

а окружная составляющая абсолютной скорости на выходе из колеса, (см. рис.3.1), определяется выражением

,

уравнение для теоретического напора примет вид

. (3.6)

Это уравнение показывает, что напор зависит от величины меридианной составляющей абсолютной скорости на выходе из колеса, которая связана с подачей насоса уравнением

, (3.7)

где b₂ – ширина канала рабочего колеса на выходе.

Анализ уравнения Эйлера позволяет сделать следующие выводы:

× в выражение теоретического напора не входит вес жидкости. Следовательно, развиваемый насосом напор не зависит от рода перекачиваемой жидкости;

× при скорости движения газа значительно меньшей скорости распространения звука в нем, газ ведет себя как капельная жидкость. В связи с этим полученное уравнение справедливо и для газов;

× на величину напора, а, следовательно, и на работу центробежного насоса значительное влияние оказывает форма лопастей рабочего колеса, особенно угол наклона их на выходе b₂. Высокие значения КПД можно получить лишь при оптимальном значении этого угла.

Рис.3.2. Типы лопастей рабочих колес

На рис. 3.2 представлены схемы рабочих колес с различно изогнутыми лопастями: с лопастями, загнутыми назад b₂ o ; с радиальными лопастями b₂=90 o ; с лопастями, загнутыми вперед b₂>90 o .

В высокоэкономичных насосах, у которых гидравлические потери минимальны, применяют рабочие колеса с лопатками, загнутыми назад, причем угол b₂ назначают в пределах диапазона (15…30) о .

Уравнение (3.5) показывает, что в случае равенства нулю окружной составляющей абсолютной скорости на выходе из колеса , напор также равен нулю. Из плана скоростей (см. рис.3.1) видно, что это имеет место при некотором угле , при котором . Приравняв в формуле (3.6) напор к нулю, найдем

.

Для лопастей, у которых b₂=90 о , , следовательно

.

Для лопаток, загнутых вперед, с увеличением b₂ растет абсолютная скорость на выходе из колеса, что приводит к росту напора. При очень больших абсолютных скоростях режим работы насоса становится неустойчивым и КПД насоса уменьшается вследствие возрастания гидравлических сопротивлений. Однако колеса с большими углами b₂ имеют меньшие радиальные размеры или частоту вращения при том же напоре.

На рисунке справа представлена зависимость теоретических напоров от угла b₂.

Величина входного угла определяется из условия безударного входа жидкости на лопасть колеса. Так как жидкость при входе в межлопаточное пространство движется в радиальном направлении, то угол . В этом случае

.

В используемых на практике рабочих колесах с лопатками загнутыми назад угол наклона на входе b₁ принимают равным (14…25) о .

Число лопаток должно быть таким, чтобы каждая последующая лопатка своим выходным концом перекрывала входной конец предыдущей. Число лопаток определяют по следующей формуле

.

Дата добавления: 2015-01-29 ; просмотров: 66 ; Нарушение авторских прав