Какие системы линейных уравнений называются определенными неопределенными

Система линейных уравнений

Линейные уравнения

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

Любой n-мерный вектор Х = (x₁, x₂. x_n) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Три случая при решении линейных уравнений

1. Если коэффициенты при неизвестных a₁ = a₂ = . = a_n =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+. +0*x_n=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
2. Если коэффициенты a₁ = a₂ = . = a_n =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+. +0*x_n= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
3. Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Пусть а₁ ≠0. В этом случае можно разрешить уравнение относительно x₁:

Важно: При этом x₁ называется разрешенной неизвестной, x₂, x₃. x_n называются свободными неизвестными. Если свободными неизвестным придать любые конкретные значения x₂=k₂, x₃=k₃. x_n=k_n, то вектор K=(k₂, k₃. k_n) является решением исходного уравнения.

Системы линейных уравнений

Классификация систем линейных уравнений по количеству решений

В общем случае система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n уравнений имеет вид:

где, a_ij (i=1,2. m; j=1,2. n) и b_i (i=1,2. m), постоянные величины.

Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (x₁, x₂. x_n), который одновременно является решением каждого из уравнений системы.

Векторная и матричная формы записи систем линейных уравнений

Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

Пример 1. Записать в векторном виде.

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Пример 2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера

Системы линейных алгебраических уравнений: основные понятия, виды

Определение СЛАУ

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

$$\left\<\begin a_ <11>\cdot x_<1>+a_ <12>\cdot x_<2>+\ldots+a_ <1 n>\cdot x_=b_ <1>\\ a_ <21>\cdot x_<1>+a_ <22>\cdot x_<2>+\ldots+a_ <2 n>\cdot x_=b_ <2>\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . \\ a_ \cdot x_<1>+a_ \cdot x_<2>+\ldots+a_ \cdot x_=b_ \end\right.$$

Упорядоченный набор значений $$\left\^<0>, x_<2>^<0>, \ldots, x_^<0>\right\>$$ называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

Задание. Проверить, является ли набор $<0,3>$ решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Решение. Подставляем в каждое из уравнений системы $x=0$ и $y=3$:

$$5 x+y=3 \Rightarrow 5 \cdot 0+3=3 \Rightarrow 3=3$$

Так как в результате подстановки получили верные равенства, то делаем вывод, что заданный набор является решением указанной СЛАУ.

Ответ. Набор $<0,3>$ является решением системы $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$

Виды систем

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ является совместной, так как она имеет, по крайней мере, одно решение $x=0$, $y=3$

Система $\left\<\begin 5 x+y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ является несовместной, так как выражения, стоящие в левых частях уравнений системы равны, но правые части не равны друг другу. Ни для каких наборов $$ это не выполняется.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.

Система $\left\<\begin 3 x-2 y=-6 \\ 5 x+y=3 \end\right.$ квадратная, так как неизвестных две и это число равно количеству уравнений системы.

Матричная запись систем уравнений

Исходную СЛАУ можно записать в матричном виде:

Задание. Систему $\left\<\begin x-y+z-4 t=0 \\ 5 x+y+t=-11 \end\right.$ записать в матричной форме и выписать все матрицы, которые ей соответствуют.

Решение. Заданную СЛАУ записываем в матричной форме $A. X=B$ , где матрица системы:

$$A=\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)$$

то есть, запись СЛАУ в матричной форме:

$$\left(\begin 1 & -1 & 1 & -4 \\ 5 & 1 & 0 & 1 \end\right)\left(\begin x \\ y \\ z \\ t \end\right)=\left(\begin 0 \\ -11 \end\right)$$

Расширенная матрица системы

Задание. Записать матрицу и расширенную матрицу системы $\left\<\begin 2 x_<1>+x_<2>-x_<3>=4 \\ x_<1>-x_<2>=5 \end\right.$

Решение. Матрица системы $A=\left(\begin 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end\right)$ , тогда расширенная матрица $\tilde=(A \mid B)=\left(\begin 2 & 1 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 5 \end\right)$

Системы линейных уравнений: основные понятия

— это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

— это последовательность чисел ( k ₁, k ₂, . k_n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x ₁, x ₂, . x_n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.

Переменная x_i называется , если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x_i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x ₁, x ₃ и x ₄. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x ₁, x ₃ и x ₅. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x ₅ = x ₄.

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x ₁ = b ₁, x ₂ = b ₂, . x_k = b_k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r k . Остальные ( k − r ) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x ₂, x ₅, x ₆ (для первой системы) и x ₂, x ₅ (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x ₁, x ₂, . x_r — разрешенные, а x _{r + 1}, x _{r + 2}, . x _k — свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным ( x _{r + 1} = t _{r + 1}, x _{r + 2} = t _{r + 2}, . x_k = t_k ), а затем найти значения x ₁, x ₂, . x_r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует метод Гаусса.