Какие уравнения называют показательными и логарифмическими

«Показательные и логарифмические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МАОУ «Белоярская средняя общеобразовательная школа №1»

Элементы модульной технологии и групповая работа

на уроках математики.

Выполнила : Попкова Т.Н.

В настоящий период времени, когда с особой остротой встают такие проблемы, как:

— освоение потока знаний, объем которого растет с колоссальной скоростью;

— слабый уровень мыслительной деятельности;

— отсутствие умений самостоятельно работать и приобретать знания, т.к. уровень развития современной технологии позволяет получать информацию достаточно быстро в пассивной форме;

— отсутствие способности объективно оценивать свои силы;

— новый уровень взаимоотношений между учителем и учеником;

— активизация и пробуждение интереса к мыслительной деятельности;

возникает необходимость формирования новых технологий, форм и методов обучения.

В своей практике я объединяю элементы модульной технологии и групповую работу на уроках математики.

Указанные технологии в различных комбинациях позволяют решить основную группу проблем, создают максимальные условия для осуществления деятельностного подхода в обучении и являются средством оптимизации учебного процесса.

При изучении материала я в системе использую групповую работу на всех этапах: изучение нового материала, отработка и закрепление полученных знаний, контроль и оценка знаний.

Обдумывая оптимальный вариант применения названных технологий, я пришла к интересной комбинации учебных занятий, объединив изучение нескольких тем в блоки, используя при этом групповую работу. Подобные уроки имеют высокую воспитательную значимость, так как помимо учебных знаний и умений по теме воспитывают нравственные качества личности: чувство долга, ответственности за себя и окружающих, чувство такта и умения слушать, критически относится к себе и окружающим, адекватно воспринимать критику, стремление к совершенствованию и т. д.

Материал, объединенный в блоки, позволяет за короткий промежуток времени изучить большой объем теоретического материала, освободить время для практических занятий, организовать многократное повторение изученного материала. При этом создаются условия для активной деятельности учащихся, воспитания самостоятельности, чувства ответственности, умений действовать в нестандартных ситуациях и т. д.

Например, повторение и изучение новых видов уравнений, я объединяю в один блок «Уравнения». Изучение темы «Показательные и логарифмические уравнения», разбивается на следующие этапы:

Изучение нового материала ( 1-2ч.): группа сильных учащихся образует команду ( можно назвать, например, «Эрудит») и готовят новый материал для объяснения всему классу; остальная часть класса работает с учителем, выбираются эксперты оценивания ответов, беседуют с учителем по новой теме, заслушивают выступления «эрудитов» и оценивают ответы; проводится конкурс на лучшее оформление конспекта.

Закрепление изученного материала:

а) решение задач и упражнений(1 уровень сложности): работа в группах с выбранными теоретиком и практиком.

б) решение задач и упражнений (2 уровень сложности): класс разбит на группу сильных (решают задачи сложного уровня), группу среднего уровня, слабую группу (решают с помощью учителя); на втором этапе занятия учащиеся знакомят класс со своими решениями, группа экспертов оценивает.

3.Контроль и оценка знаний (урок – зачет): в группах с консультантами.

Приведу пример как организован урок изучения нового материала на первоначальном этапе.

Тема: Показательные и логарифмические уравнения .

Цель обучения темы : обеспечить усвоение обучающихся понятий логарифмического и показательного уравнений, способов их решений.

— развивать мышление : аналитическое: учиться выделять существенные признаки, свойства; синтезирующее: устанавливать общие признаки и свойства целого, составлять план изучения материала; аналитико- синтезирующее: развивать умения классифицировать факты, делать обобщающие выводы;

— развивать самостоятельность, волю: инициативу, уверенность в своих силах, умений самостоятельно действовать;

— развивать умения учебного труда : работать в должном темпе: читать, писать, вычислять, конспектировать;

— развивать познавательные умения : умения выделять главное, составлять алгоритм действий вести конспект;

— развивать обще трудовые и политехнические умения: творческий подход к решению задач; умения планировать, оценивать результаты действий; регулировать и контролировать свои действия;

— стремиться к воспитанию коллективизма, взаимопомощи, отзывчивости, добросовестности, чувства такта, ответственности за порученное дело;

— воспитывать умения управлять эмоциями, бережно относиться друг к другу.

Тип занятия: усвоение новых знаний и умений;

Ресурсы: учебный кабинет, мультимедийный проектор, компьютер

Опишу содержание урока.

Предварительно проводится тестирование по решению уравнений с целью выявления сильных учащихся. Группа сильных учащихся готовит заранее новую тему (можно консультироваться с учителем). На первом этапе урока в процессе беседы учащиеся устанавливают цель учебного занятия, параллельно происходит повторение пройденного материала, важного для изучения новой темы. На данном этапе учащиеся приобретают умения планировать свою деятельность, ставить цели и добиваться их, концентрировать свое внимание. На втором этапе учитель знакомит с этапами работы и знакомит с группой сильных учащихся ( «эрудиты»), работа которых будет оцениваться экспертами. В связи с этим выбирается группа экспертов (отсаживаются отдельно, но работают с классом). Группа «эрудитов» отсаживаются отдельно и приступают к работе по информационной карте, обсуждают найденный материал дома, распределяют вопросы для озвучивания у доски. Остальные учащиеся слушают объяснение учителя (используется мультимедийная доска). На данном этапе сильные учащиеся совершенствуют умения самостоятельно работать, планировать и прогнозировать деятельность, оказывать помощь друг другу, обрабатывать и систематизировать информацию, нести ответственность за порученное дело. Учащиеся со слабыми знаниями формируют научный аппарат, умения слушать, знакомятся с видами уравнений, признаками и методами решений, отрабатывают умения работать с общепринятой символикой и четко отвечать на поставленные вопросы. Таким образом, слабые учащиеся прослушивают материал в первый раз, а сильные -второй раз, совершенствуя приобретенные знания. На третьем этапе: выступления «эрудитов» и оценка их работы экспертами. Каждый из «эрудитов» освещает свой вопрос с разобранными практическими примерами. Учитель корректирует ответы и акцентирует внимание: звучат ли ответы на поставленные вопросы. Обязательно должна прозвучать тема о практическом применении и связи с другими предметами. Если учащиеся упускают этот вопрос, то учитель рассказывает сам. Например, логарифмические и показательные уравнения используются при прогнозировании строительства и планировании городов, железных дорог; прогнозировании роста численности населения, при обработки результатов тестирования в социологии; в экономике, банковском деле, в физике (при вычислении звуковой мощности, уровня звукового давления), в биологии и химии, астрономии и т. д ( показ презентации). Остальные учащиеся конспектируют тему, обдумывая материал ,стараются четко и грамотно вести запись. Таким образом, слабые учащиеся прослушивают новую тему повторно, участвуя в ее обсуждении и самостоятельной обработки информации в целях грамотного оформления. В ходе беседы учитель выявляет наиболее сложные места в усвоении темы. На данном этапе сильные учащиеся совершенствуют умения владеть собой, доходчиво объяснять материал, грамотно строить свою речь, прогнозировать свою деятельность, организовывать себя и окружающих; выделять признаки и способы решения уравнений в зависимости от вида. Для слабых учащихся создается комфортная психологическая обстановка, так как объясняют материал их товарищи. При этом совершенствуются умения слушать, задавать грамотно вопросы, умения обрабатывать и оформлять информацию, отвечать на поставленные вопросы; выделять направления в целях совершенствования знаний (в данной теме основные направления: определения уравнений, область определения или проверка, выделение признаков и способы решений в зависимости от вида). Группа экспертов параллельно обдумывает и проставляет баллы. Обсудив, заполняют оценочный лист ( на парте ). Учитель объявляет о завершении работы, один из экспертов выставляет баллы и оценки на мультимедийном экране. Другой эксперт высказывает мнение о выступлениях «эрудитов», в случае спора отстаивает его. Четвертый этап работы. Учитель объявляет о конкурсе на лучший конспект. Эрудиты, разделившись, собирают конспекты (либо учащиеся сами передают их эрудитам). Эрудиты проверяют работу в конспектах в соответствии с критериями указанными в оценочных листах (при необходимости советуются друг с другом или учителем). Остальные учащиеся пишут математический диктант с зашифрованным словом. Таким образом, полученная информация прорабатывается слабыми учащимися в третий раз (записи основных моментов оставлены на доске после объяснения темы «эрудитами»). Учитель диктует задания диктанта (повторяет3 раза), шифр — на мультимедийной доске. После завершения работы учащиеся сдают листы учителю или одному из эрудитов, который быстро проверяет правильность выполнения заданий в соответствии со словом, которое появляется на мультимедийной доске, делает отметки о выполнении в оценочном листе (зачет, если найдено 5 или более верных букв, в противном случае – незачет). «Эрудиты» проставляют баллы и оценки в оценочных листах (на парте, а затем на мультимедийном экране) за работу в конспекте. В результате деятельности на данном этапе учащиеся приобретают умения и навыки: объективно оценивать свои знания и знания окружающих; стремиться к самосовершенствованию; осуществлять контроль и взаимоконтроль; применять знания для выявления способа решения уравнения. Учатся анализировать ситуацию и принимать решения, логически мыслить, сохранять чувство такта по отношению к окружающим, знакомятся с новым понятием – «октаэдр» (если понятие неизвестно, то получают задание: найти определение дома). Пятый этап работы : подведение итогов. Учитель в беседе с учащимися определяет наиболее сложные моменты для понимания, какие вопросы оказались наиболее легкими, просит продолжить фразу: «Сегодня на уроке я узнал, что…». Отмечает работу «эрудитов» (оценочные листы – на экране), выделяет лучшего по итогам работы и вручает медаль: «Лучшему эрудиту». Один из «эрудитов» знакомит с результатами оценивания работы в конспектах (лист оценивания – на экране), отмечает положительные стороны и недостатки, называет победителя. Учитель вручает медаль: «Самому внимательному!». Работу экспертов оценивает учитель, остальные учащиеся получают оценки в соответствии с оценочными листами. Диктант просматривается учителем, если проверяли «эрудиты». На данном этапе учащиеся приобретают умения: уважительно относиться к мнению окружающих, стремиться к совершенствованию знаний, объективно оценивать свои знания и знания окружающих, отстаивать свою точку зрения, адекватно относиться к критическим замечаниям, планировать свою деятельность в целях совершенствования знаний. Последний этап работы . Домашнее задание выдается в виде карточек, где указаны способы решения и предлагается приготовить творческое задание в виде рисунка, коллажа, презентации, также подготовить вопросы по данной теме.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс Урок №44. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) показательные уравнения и неравенства;

2) логарифмические уравнения и неравенства;

3) системы уравнений.

Глоссарий по теме

Показательными называются уравнения и неравенства, у которых переменная содержится в показатели степени.

Логарифмические уравнения и неравенства — это уравнения и неравенства, в которых переменная величина находится под знаком логарифма.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже умеете решать все виды уравнений и неравенств. Наша задача обобщить изученное, привести знания в систему. Начнем с показательных уравнений.

a х =b. где a>0, a≠1

Если b>0, уравнение имеет один корень: x=log_a b. График функции y=a x пересекает прямую y=b в одной точке.

Если b≤0 корней нет. График функции y=a x не пересекает прямую y=b.

При решении неравенств, обращаем внимание на основание. Если а>0, знак неравенства сохраняется. Если а 0, a≠1.

Логарифмическое уравнение log_ax=b имеет один положительный корень x=a b при любом значении b.

График функции пересекает прямую y=b в одной точке.

Уравнение имеет один положительный корень x=a b при любом b. График функции у= log_ax пересекает прямую y=b в одной точке.

При решении логарифмических неравенств обращаем внимание на область допустимых значений. Затем с учетом ОДЗ и значения решаем неравенство.

Теперь рассмотрим методы решения. Основных приема два: приведение к одинаковому знаменателю и замена переменной.

1 прием. Как в показательном, так и в логарифмическом уравняем основания. Затем сравним показатели или числа, стоящие под знаком логарифма.

2 прием. Замена переменных.

Находим корни и делаем обратную замену. При решении неравенств применяем те же самые приемы.

При решении логарифмических уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо по области определения, либо непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Решить уравнение:

При х= -2 выражение lg(x-1) не имеет смысла, т.е. х=-2 посторонний корень. Ответ: х=2.

Пример 2. Найти значение выражения (х+у). x

Найдем область определения: х>0, у>0.

1. lg(xy)=lg100 ↔ xy=100 ↔ 2xy=200
2. сложим два уравнения: х 2 +2ху+у 2 =425+200=625 ↔ (х+у) 2 =625

Уравнения, часть С

Теория к заданию 13 из ЕГЭ по математике (профильной)

Уравнения, часть $С$

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, — правой частью уравнения.

Схема решения сложных уравнений:

1. Перед решением уравнения надо для него записать область допустимых значений (ОДЗ).
2. Решить уравнение.
3. Выбрать из полученных корней уравнения то, которые удовлетворяют ОДЗ.

ОДЗ различных выражений (под выражением будем понимать буквенно — числовую запись):

1. Выражение, стоящее в знаменателе, не должно равняться нулю.

2. Подкоренное выражение, должно быть не отрицательным.

3. Подкоренное выражение, стоящее в знаменателе, должно быть положительным.

4. У логарифма: подлогарифмическое выражение должно быть положительным; основание должно быть положительным; основание не может равняться единице.

Логарифмические уравнения

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

6. Формула перехода к новому основанию

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

Проверим найденные корни по условиям $\table\<\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

• Метод замены переменной.

В данном методе надо:

Решите уравнение $log_<2>√x+2log_<√x>2-3=0$

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$\table\<\ х>0,\text»так как стоит под знаком корня и логарифма»;\ √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

3. Далее сделаем замену переменной $log_<2>√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

Прологарифмируем правые части уравнений

Приравняем подлогарифмические выражения

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$\<\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

• Уравнения вида $log_x+log_x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

Дробно рациональные уравнения

• Если дробь равна нулю, то числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно-рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)
2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4. Решить получившееся целое уравнение;
5. Исключить из его корней те, которые не удовлетворяют условию ОДЗ.

• Если в уравнении участвуют две дроби и числители их равные выражения, то знаменатели можно приравнять друг к другу и решить полученное уравнение, не обращая внимание на числители. НО учитывая ОДЗ всего первоначального уравнения.

Показательные уравнения

Показательными называют такие уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

Виды показательных уравнений:

1. Простые показательные уравнения:

а) Вида $a^=a^$, где $а >0, a≠1, x$ — неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием ($а >0, a≠1$) равны только тогда, когда равны их показатели.

b) Уравнение вида $a^=b, b>0$

Для решения таких уравнений надо обе части прологарифмировать по основанию $a$, получается

2. Метод уравнивания оснований.

3. Метод разложения на множители и замены переменной.

• Для данного метода во всем уравнении по свойству степеней надо преобразовать степени к одному виду $a^$.
• Сделать замену переменной $a^=t, t > 0$.
• Получаем рациональное уравнение, которое необходимо решить путем разложения на множители выражения.
• Делаем обратные замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

По свойству степеней преобразуем выражение так, чтобы получилась степень 2^x.

Сделаем замену переменной $2^x=t; t>0$

Получаем кубическое уравнение вида

Умножим все уравнение на $2$, чтобы избавиться от знаменателей

Разложим левую часть уравнения методом группировки

Вынесем из первой скобки общий множитель $2$, из второй $7t$

Дополнительно в первой скобке видим формулу разность кубов

Далее скобку $(t-1)$ как общий множитель вынесем вперед

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю

Решим первое уравнение

Решим второе уравнение через дискриминант

Получили три корня, далее делаем обратную замену и получаем три простых показательных уравнения

4. Метод преобразования в квадратное уравнение

• Имеем уравнение вида $А·a^<2f(x)>+В·a^+С=0$, где $А, В$ и $С$ — коэффициенты.
• Делаем замену $a^=t, t > 0$.
• Получается квадратное уравнение вида $A·t^2+B·t+С=0$. Решаем полученное уравнение.
• Делаем обратную замену с учетом того, что $t > 0$. Получаем простейшее показательное уравнение $a^=t$, решаем его и результат записываем в ответ.

Способы разложения на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

1. Определить общий множитель.
2. Разделить на него данный многочлен.
3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Разложить на множители многочлен: $10a^<3>b-8a^<2>b^2+2a$.

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

Это и есть конечный результат разложения на множители.

Применение формул сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе число и плюс квадрат второго числа.

2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа.

3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму.

4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа.

5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа.

6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности.

7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трехчлена