Три значения самого знаменитого уравнения Эйнштейна
Эйнштейн выводит СТО перед аудиторией; 1934.
Сотни лет в физике присутствовал непреложный закон, в котором никогда не сомневались: в любой реакции, происходящей во Вселенной, сохраняется масса. Неважно, какие ингредиенты использовать, какая реакция произошла, и что получилось – сумма того, с чего вы начинали, и сумма того, с чем вы оказывались, будут равными по массе. Но по законам специальной теории относительности масса не может быть сохраняющейся величиной, поскольку различные наблюдатели не согласятся по поводу того, какой энергией обладает система. Вместо этого Эйнштейн смог вывести закон, который мы используем и по сей день, управляемый одним из простых и наиболее мощных уравнений: E=mc 2 .
Ядерную ракету готовят к испытаниям в 1967. Ракета работает на преобразовании массы в энергию, E = mc 2 .
У самого знаменитого уравнения Эйнштейна всего три составляющих:
- E, или энергия, полностью занимающая одну часть уравнения, и представляющая полную энергию системы.
- m, масса, связанная с энергией через преобразовательный множитель.
- c 2 , квадрат скорости света – нужный фактор, обеспечивающий эквивалентность массы и энергии.
Нильс Бор и Альберт Эйнштейн обсуждают множество тем дома у Пауля Эренфеста в 1925. Дебаты Бора с Эйнштейном были наиболее влиятельным фактором во время разработки квантовой механики. Сегодня Бор наиболее известен своим вкладом в квантовую физику, а Эйнштейн – за вклад в теорию относительности и эквивалентность энергии и массы.
Смысл этого уравнения изменил весь мир. Как писал сам Эйнштейн:
Из специальной теории относительности следовало, что масса и энергия – разные проявления одной вещи. Эта концепция была незнакома среднему человеку.
И вот три самых значимых следствия этого простого уравнения.
Кварки, антикварки и глюоны Стандартной модели обладают цветным зарядом, в дополнение ко всем другим свойствам вроде массы и электрического заряда. Не имеют массы только глюоны и фотоны; все остальные, даже нейтрино, обладают ненулевой массой покоя.
Даже у покоящихся масс есть присущая им энергия. В школе вы изучали все типы энергий – механическую, химическую, электрическую, кинетическую. Все эти виды энергий присущи движущимся или реагирующим объектам, и эти формы энергии можно использовать для выполнения работы, например, для запуска двигателя, свечения лампочки или перемалывания зерна в муку. Но даже обычная масса покоя обладает присущей ей энергией: и огромным количеством. Это ведёт к потрясающему следствию: гравитация, возникающая между двумя любыми массами в ньютоновой вселенной, тоже должна работать на основании энергии, эквивалентной массе согласно уравнению E = mc 2 .
Создание пар частиц из материи/антиматерии из чистой энергии (слева) – реакция полностью обратимая (справа), ведь материя и антиматерия могут аннигилировать, породив чистую энергию. Этот процесс сотворения и аннигиляции подчиняется уравнению E = mc 2 , и является единственным известным способом создания и уничтожения материи и антиматерии.
Массу можно преобразовать в чистую энергию. Это второе значение уравнения, и E = mc 2 сообщает нам, сколько точно энергии можно получить при преобразовании массы. На каждый килограмм массы, превращающейся в энергию, получится 9 × 10 16 Дж энергии, что эквивалентно 21 мегатонн ТНТ. Наблюдая за радиоактивным распадом, или реакциями деления или синтеза ядер, можно видеть, что итоговая масса оказывается меньше начальной; закон сохранения массы не работает. Но разница равняется количеству освобождённой энергии! Это работает для всех случаев, от распада урана и атомных бомб до ядерного синтеза в ядре Солнца и аннигиляции частиц материи/антиматерии. Уничтожаемая масса превращается в энергию, количество которой рассчитывается по формуле E = mc 2 .
Следы частиц, порождаемых высокоэнергетическими столкновениями на Большом адронном коллайдере, 2014. Композитные частицы распадаются на компоненты, которые рассеиваются в пространстве, но также появляются и новые частицы, благодаря энергии, доступной при столкновении.
Энергию можно использовать для создания массы практически из ничего – просто из чистой энергии. Последнее значение формулы наиболее выдающееся. Если взять два бильярдных шара и сильно столкнуть их вместе, то на выходе получится два бильярдных шара. Если взять фотон и электрон и столкнуть их вместе, то получится фотон и электрон. Но если столкнуть их с достаточно большой энергией, то получится фотон, электрон и новая пара частиц материи/антиматерии. Иначе говоря, можно создать две новые массивные частицы:
- частицу материи, например, электрон, протон, нейтрон, и т.п.,
- частицу антиматерии, например, позитрон, антипротон, антинейтрон и т.п.
которые появятся, только если вложить в эксперимент достаточно энергии. Именно так на ускорителях, таких, как БАК в ЦЕРН, ищут новые, нестабильные высокоэнергетические частицы (такие, как бозон Хиггса или верхний кварк): создавая новые частицы из чистой энергии. Получающаяся масса возникает из доступной энергии: m = E/c 2 . Это также означает, что время жизни частицы ограничено, то из-за принципа неопределённости Гейзенберга ей присуща неопределённость значения массы, поскольку δE δt
ℏ, и, следовательно, из уравнения Эйнштейна следует и соответствующая δm. Когда физики рассуждают о ширине частицы, они имеют в виду эту внутреннюю неопределённость массы.
Искривление пространства-времени гравитационными массами в картине мира ОТО
Эквивалентность энергии и массы также привела Эйнштейна к такому великому достижению, как общая теория относительности. Представьте, что у вас имеется частица материи и частица антиматерии, с одинаковыми массами покоя. Их можно аннигилировать, и они превратятся в фотоны с определённой энергией, точно по формуле E = mc 2 . Теперь представьте, что эта пара частица/античастица быстро двигается, будто бы упав к нам из глубокого космоса, а затем аннигилирует вблизи поверхности Земли. У этих фотонов окажется дополнительная энергия – не только E из E = mc 2 , но и дополнительная E, кинетическая энергия, приобретённая из-за падения.
Если два объекта из материи и антиматерии, находясь в покое, аннигилируют, они превратятся в фотоны совершенно определённой энергии. Если эти фотоны появятся после падения в гравитационном поле, энергия у них будет выше. Значит, должно существовать гравитационное красное или синее смещение, не предсказанное гравитацией Ньютона – иначе энергия бы не сохранялась.
Если энергия должна сохраняться, то гравитационное красное (и синее) смещения должны быть реальными. У гравитации Ньютона нет способа объяснить этот эффект, но в Эйнштейновской ОТО кривизна пространства означает, что падение в гравитационное поле добавляет вам энергии, а выход из гравитационного поля заставляет вас тратить энергию. Получается, что полная и общая взаимосвязь для любого движущегося объекта будет не E = mc 2 , а E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (где p – импульс). И только обобщая всю информацию, включая в описание энергию, импульс и гравитацию, можно по-настоящему описать Вселенную.
Когда квант излучения покидает гравитационное поле, его частота испытывает красное смещение из-за сохранения энергии; когда он падает в поле, он должен испытывать синее смещение. А это имеет смысл, только если гравитация связана не только с массой, но и с энергией.
Величайшее уравнение Эйнштейна, E = mc 2 , является триумфом мощи и простоты фундаментальной физики. У материи есть присущая ей энергия, массу можно превратить (при определённых условиях) в чистую энергию, а энергию можно использовать для создания массивных объектов, не существовавших ранее. Такой метод размышлений даёт нам возможность открывать фундаментальные частицы, из которых состоит наша Вселенная, изобретать ядерную энергию и ядерное оружие, открывать теорию гравитации, описывающую взаимодействие всех объектов во Вселенной. Ключом к нахождению этого уравнения послужил скромный мысленный эксперимент, основанный на простом предположении: сохранении энергии и импульса. Остальное оказывается неизбежным следствием схемы работы Вселенной.
Уравнения Эйнштейна
Десять лет понадобилось Эйнштейну чтобы обобщить специальную теорию относительности (1905 г.) до общей теории относительности (1916 г.). Принцип эквивалентности позволил осознать, что гравитация как-то связана с искривлением самого пространства-времени. Кульминацией усилий по точной количественной формулировке данного факта являются уравнения Эйнштейна:
Они записаны с помощью математики, никогда прежде не появлявшейся в уравнениях физики — Римановой геометрии. Буквы с индексами есть не что иное как тензоры: \( \displaystyle R_<\mu \nu>\) — тензор Риччи, \( \displaystyle g_<\mu \nu>\) — метрический тензор, \( \displaystyle T_<\mu \nu>\) — тензор энергии-импульса. Само тензорное исчисление появилось всего несколькими годами ранее теории относительности.
Индексы \( \displaystyle\mu \) и \( \displaystyle \nu\) в уравнениях Эйнштейна могут принимать значения от единицы до четырех, соответственно тензоры можно представить матрицами 4х4. Поскольку они симметричны относительно диагонали, независимы друг от друга оказываются только десять компонент. Таким образом, в развернутом виде имеем систему из десяти нелинейных дифференциальных уравнений — уравнений Эйнштейна.
Задачей решения уравнений Эйнштейна является нахождение явного вида метрического тензора \( \displaystyle g_<\mu \nu>\), полностью характеризующего геометрию пространства-времени. Исходными данными являются тензор энергии-импульса \( \displaystyle T_<\mu \nu>\) и начальные/граничные условия. Тензор Риччи \( \displaystyle R_<\mu \nu>\) и скалярная кривизна Гаусса \( \displaystyle R\) являются функциями метрического тензора и его производных и характеризуют кривизну пространства-времени. Концептуально уравнения Эйнштейна можно представить как:
геометрия (левая часть) = энергия (правая часть)
Правая часть уравнений Эйнштейна это начальные условия в виде распределения масс (помним, \( \displaystyle E=mc^<2>\)), а левая это чисто геометрические величины. То есть уравнения говорят, что масса (энергия) влияет на геометрию пространства-времени.
Искривленная геометрия в свою очередь определяет траектории движения материальных тел. То есть согласно Эйнштейну — гравитация это и есть пространство-время. Просто оно в отличие от Ньютоновской теории не является статическим неизменным объектом, а может деформироваться, искривляться.
Метрический тензор — решение уравнений Эйнштейна — в общем случае разный в разных точках пространства, то есть является функцией координат. По-сути само пространство-время становится динамическим объектом (полем), аналогично другим физическим величинам типа электромагнитного поля.
Внешне уравнения Эйнштейна совсем не похожи на закон всемирного тяготения Ньютона:
Но в приближении малых масс и скоростей они повторяют результаты Ньютоновской теории. Из-за множества тензорных компонент аналитические вычисления крайне запутаны, благо сейчас все моделирование можно производить на компьютере.
В рамках ОТО существуют эффекты отсутствующие в Ньютоновской гравитации, например, увлечение систем отсчета вблизи вращающихся массивных тел или недавно экспериментально обнаруженные гравитационные волны.
Гравитация остается единственным полем для которого так и не построена соответствующая квантовая теория. Даже для кварков (составляющих нейтронов и протонов), теоретически предсказанных только в 1960-х, уже давно построена квантовая теория поля.
Это объясняется тем, что все физические величины обычно выражаются в виде функций от пространственных координат и времени \( \displaystyle x=f(t)\). Что делать когда само пространство \( \displaystyle x\) и время \( \displaystyle t\) теряют классический смысл? По-сути стоит задача построить квантовую теорию самого пространства-времени. Наивные подходы, вводящие минимальную длину и минимальный промежуток времени, несостоятельны вследствие относительности этих величин (изменении при преобразованиях Лоренца).
Среди физиков бытует мнение, что квантовая механика более тесно связана с гравитацией чем предполагалось ранее и их объединение приведет к качественно новой теории.
Теория гравитации Эйнштейна
Гравитации появилась как наука о притяжении тел. До первой половины 20 века все теория гравитации опиралась лишь на законы Ньютона. Иногда ее так и называют – Ньютоновская гравитация. На момент начала 20 века накопилось не мало экспериментальных и теоретических фактов, свидетельствующих о неточности гравитации Ньютона.
К экспериментальным фактам относится например сдвиг перегелия орбиты Меркурия. Известно, что орбита вращения Меркурия вокруг солнца представляет собой эллипс, ближайшую к солнцу точку которого называется перегелий. Это эллипс не стоит на месте, а медленно поворачивается, изменяя тем самым положение перегелия. Как обнаружили в началу 20 века эксперименты — перегелий движется быстрее, чем предсказывают законы Ньютона.
К теоретическим неточностям можно отнести следующий факт. Как известно, хорошей инерциальной системой отсчета является свободно падающий лифт. Все процессы во всех свободно падающих лифтах идут одинаково. Однако представим себе два падающих лифта. Один, например в африке, п другой в южной америке. Лба лифта будут инерциальными системами отсчета, однако относительно друг друга они будут двигаться с ускорением. Этот факт противоречит первому закону Ньютона.
Кроме того, теория гравитации Ньютона основана на понятии силы тяготения, которая является дальнодействующей силой: она действует мгновенно на любом расстоянии. Этот мгновенный характер действия несовместим с специальной теорией относительности. В этой теории никакая информация не может распространиться быстрее скорости света в вакууме.
В 1920х годах Эйнштей предложил совершенно новую теорию гравитации. В рамках этой теории постулируется, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействием тел и полей, находящихся в пространстве-времени, а деформацией самого пространства-времени, которая связана, в частности, с присутствием массы-энергии.
Сделаем небольшое отступление. Согласно теории Эйншейна масса и энергия представляют собой один и тот-же параметр тела. Связь между массой и энергией дает простой формулой E = m c^2. Как известно из СТО (здесь ссылка) масса тела увеличивается, если ему сообщают кинетическую энергию. Эффект становится заметен, если скорость тела приближается к скорость света. Аналогичный эффект будет, например, при нагревании тела. Однако из-за большого параметра с = 300000 км/с заметить такой эффект довольно трудно. При дальнейшем описании мы постараемся избежать сходным математических формулировок.
Итак, описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию пространства-времени, в котором двигаются тела. Естественно предположить, что тела двигаются по инерции, то есть так, что их ускорение в собственной системе отсчета равно нулю. Траектории тел тогда будут так называемые геодезические линии. Точное определение геодезической линии довольно сложное. Скажем лишь что для плоского пространства, геодезическая линия это просто прямая. Геодезическая линия, например, для земли в солнечной системе представляет собой эллипс – это и есть земная орбита.
Попытаемся наглядно описать механизм взаимодействия двух массивных тел. Легче всего это сделать в двумерном случае (а не в 4 мерным, как на самом деле). В качестве массивных тел будем представлять собой тяжелые шарики, а в качестве пространства, которое искривляется, если в него помещают массивные тела можно взять мягкий резиновый коврик. Напомним, что это только модель для наглядного представления Эйнштейновской гравитации. Поместим шарик на коврик, под весом этого шарика коврик немного прогнется. Образовавшаяся ямка является моделью искривленного пространства. Если рядом поместить второй шарик то он как-бы начнем притягиваться к первому за счет того, что первый находится как-бы в ямке. 
Аналогичный эффект можно наблюдать непосредственно, если запустить два шарика параллельно друг другу по резиновой мембране, на которую в центр положен массивный предмет. Шарики разойдутся: тот, который был ближе к предмету, продавливающему мембрану, будет стремиться к центру сильнее, чем более удалённый шарик. Это расхождение обусловлено кривизной мембраны.
Теория Эйнштейна не дает ответ на то, почему массивные тела искривляют пространство. А также почему тела движется именно по геодезическим линиями. Все это является лишь предположением, и как говорится в самой теории все это свойства самого пространства в котором мы живем. Однако уравнения теории гравитации Эйнштейна дают, на сегодняшний момент, самую точную картину движения объектов во вселенной.
Полезно привести уравнение гравитации Эйнштейна.
Справа В этом уравнении стоит так называемый тензор энергии-импульса. Именно он описываем массу и энергию вещества в данной точке пространства. Слева стоит два слагаемых, первое это тензор Эйнштейна – величина описывающая кривизна пространства. Таким образом, это уравнение и дает связь между, массой тел в пространстве и кривизной этого самого пространства.
В левой части уравнения находится еще один член – это так называемый лямда член. Именно этот член вызывает самые большие споры ученых. Исторические факты говорят о том, что Эйнштейн приписал этот член в уравнение в последний момент – когда все расчеты уже были произведены, и совершенно неизвестны причины почему этот этот член должен быть добавлен в уравнение. Дело в том что этот член, по смыслу, отвечает за свойство самого пространства. А именно за то, что пространства, независимо от помещенных в него тел, будет ускоренно расширяться. Ускорение, с которым расширяется пространство очень мало, и померить экспериментально его черезвычайно трудно.
В настоящий момент существует множество решений уравнения Эйнштейна как в предположении наличия лямда члена так и при его отсутствии. Последние экспериментальные данные говорят о том, что существование лямла члена весьма вероятно.
Теория гравитации Эйнштейна дала большой вклад в физику 20 века. Именно благодаря решениям уравнений Эйнштейна были описаны такие объекты как черные дыры, уточнено движение планет, звезд и целый галактик. Современная теория развития вселенной опирается именно на это уравнение.
Автор статьи: Михаил Карневский
| Теория относительности |  |  » > | Механика Ньютона |
Вы можете приложить к своему отзыву картинки.
http://lightcone.ru/einstein-equations/
http://www.astrotime.ru/grav.html