Какие задачи приводят к дифференциальным уравнениям

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Электронная лекция на тему:

«Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Общие и частные решения»

Студентка: Мирошина Виктория

Преподаватель: Литвинова И.А.

Рекомендуемые файлы

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функцияy(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y‘(x),y»(x). y (n) (x) до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения вида

или ,

где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число называется порядком дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

где — независимые переменные, а — функция этих переменных.

y» + 9y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C₁cos(3x) + C₂sin(3x)), где C₁ и C₂ — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения , где m — масса тела, x — его координата, F(x,t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением , где u = u(x,t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

Частное решение дифференциального уравнения

Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале .

Зная общее решениеоднородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) называется общим решением дифференциального уравнения.

Пусть y(x) — некоторая функция, y‘(x) — ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отношения бесконечно малых приращений — дифференциалов. Дифференциал dx — приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy — малое приращение функции, dy = f(x + dx) − f(x) = y‘(x)dx. Пусть f(x) и g(y) — некоторые функции от x и y. Рассмотрим уравнение

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на :

Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при x = x₀y = y₀ и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования — от y₀ до y для левой части и от x₀ для x для правой части уравнения:

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить y(x).

Значения x₀ и y₀ называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если начальные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Используя неопределенный интеграл — обозначение множества первообразных — , где F(x) — первообразная f(x), C — произвольная постоянная, запишем это в виде

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут существовать так называемые нулевые решения — постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y) = 0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

Решить дифференциальное уравнение .

Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:

Осталось лишь выразить y через x:

Найдем также нулевые решения:

Ответ:.

Определить максимальную скорость, которую может развить ракета в космосе. Начальная скорость ракеты равна нулю. Масса ракеты без топлива равна m, с топливом — m₀. Скорость выброса топлива относительно ракеты равна u. Ракета движется вдали от звезд и планет.

Пусть ракета движется вдоль оси Ox (Рис. 1). В некоторый момент от нее отделяется малая масса топлива ( − dm). При этом скорость ракеты увеличивается на dv. Запишем закон сохранения импульса в проекции на Ox:

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

Величина dvdm — произведение двух бесконечно малых величин. Поэтому ею можно пренебречь:

Впервые эта формула была получена К. Э. Циолковским.

Ответ:.

Пружина жесткостью k с прикрепленным к ней грузом массой m находятся в горизонтальной плоскости в положении равновесия, совпадающем с началом координат. Свободный конец пружины закреплен. Пружина параллельна оси Ox. В начальный момент времени грузу сообщают скорость v₀ вдоль Ox. Найти зависимость координаты груза от времени.

В произвольный момент времени координата груза равна x, скорость — v (Рис. 2). Запишем закон сохранения энергии:

Выполним следующие преобразования:

Введя обозначение и записав скорость в виде , получим дифференциальное уравнения с разделяющимися переменными:

Для этого выполним замену . Тогда . Выразим дифференциал dx: , . Теперь интегрируем:

«2.3 Кривые Безье» — тут тоже много полезного для Вас.

. Подставляя в уравнение, имеем:

Движения, происходящие по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями. Рассмотренная система называется пружинным маятником. Видно, что в нашем случае максимальный модуль координаты равен . Он часто обозначается буковой A и называется амплитудой колебаний. Амплитуда гармонических колебаний всегда определяется начальными условиями.

Ответ:

Лекция 1. Понятие дифференциального уравнения

Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям

Рост населения. Мальтузианская модель

Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени $ t $ через $ x(t) $. Тогда мгновенная скорость роста равна \( \frac

\). Обычно производная по переменной $ t $ обозначается точкой $ \dot x(t) $, а не штрихом. Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать таким образом: $$ \begin \dot x(t)=kx(t), \label <_auto1>\end $$ где $ k>0 $ — коэффициент пропорциональности (константа).

Зависимость от $ t $ обычно опускают, и пишут просто $$ \begin \dot x=kx. \label <_auto2>\end $$ Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестной величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не вектор (как в линейной алгебре), а функция $ x(t) $.

Рост экономики. Модель Солоу

Согласно модели Солоу, скорость прироста капитоловооруженности экономики (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста населения, описывается формулой $$ \dot k=sf(k)-\delta k, $$ где $ k=k(t) $ — капиталовооруженность экономики в момент времени $ t $, $ s $ — норма сбережения, $ \delta $ — норма выбытия капитала.

Механическая система. Падающий шарик

Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз с ускорением. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.

Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени $ t $ есть $ y(t) $. Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой высоте) действует сила тяжести, равная $$ F=-mg, $$ где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения (примерно равно 10 м/с 2 ), знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (против направления роста $ y $).

С другой стороны, второй закон Ньютона гласит, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе: $$ a=F/m\quad\Leftrightarrow\quad F=ma. $$ Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначается двумя точками. Таким образом, для шарика, имеем дифференциальное уравнение: $$ \ddot y=-g. $$

Простейшие дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение общего вида

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида $$ \dot x=f(t, x), $$ где $ x=x(t) $ — неизвестная функция, $ f(t, x) $ — известная функция двух переменных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областью значений неизвестной функции являются вещественные числа $ \mathbb R $, но чуть позже обсудим и более сложные случаи, когда $ x $ принимает значение в многомерных пространствах.

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция $ \newcommand<\ph><\varphi>x=\ph(t) $, такая, что при подстановке её в уравнение получается верное равенство: $$ \dot \ph(t)=f(t, \ph(t))\quad \forall t\in D(f), $$ где $ D(f) $ — область определения функции $ f $: это может быть вся числовая ось, луч, отрезок, интервал и т.д.

Рассмотрим несколько примеров.

Нулевая правая часть

Постоянная правая часть

Заметим, что в этом случае $ C $ задаёт значение функции в начальный момент времени $ t=0 $.

Правая часть, зависящая только от времени

Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать константу интегрирования явным образом.

Начальные условия. Задача Коши

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое начальным условием — значение решение в какой-то момент времени (не обязательно $ t=0 $).

Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена задача Коши.

Например, можно рассмотреть такую задачу: $$ \begin \label \dot x=f(t),\quad x(5)=0 \end $$

Eё решением будет уже только одна функция: $$ \begin \label x(t)=\int_5^t f(\tau)d\tau \end $$ Действительно, любой интеграл вида \eqref является решением уравнения \eqref, а значит и функция в \eqref им является. Остаётся проверить начальное условие. При подстановке $ t=5 $ решение $ x(5)=\int_5^5 f(\tau)d\tau = 0 $, то есть начальное условие выполняется.

источники:

http://math-info.hse.ru/f/2015-16/nes-ode/Lecture01.html