Каким уравнением описывается интегрирующее звено

Интегрирующее звено

Интегрирующим звеном называется типовое звено, которое описывается уравнением

(5.27)

или x (1) = kg , (5.28)

где — «постоянная времени» звена, имеющая размерность времени лишь при одинаковых размерностях величин x и g ;

— передаточный коэффициент звена, характеризующий отношение скорости изменения выходной величины x (1) к входной величине g .

Иногда уравнение интегрирующего звена записывают в виде

, (5.29)

т.е. выходная величина является интегралом от входной величины.

Передаточная функция интегрирующего звена имеет вид

(5.30)

. (5.31)

Полагая в выражениях (5.30) и (5.31) p=jw, получим выражение для частотной передаточной функции звена

. (5.32)

Совершенно очевидно, что вещественная частотная характеристика U(w)=0, а мнимая частотная характеристика .

Пользуясь выражением (5.32) и изменяя частоту w от 0 до ¥, построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ). Очевидно, конец вектора W(jw) движется по отрицательной части мнимой оси от -¥ до 0 (рис.5.10,а).

Рис.5.10. Частотные характеристики интегрирующего звена:

а — амплитудно-фазовая; б — амплитудная, в — фазовая

Амплитудная и фазовая частотные характеристики определяются соответственно выражениями:

(5.33)

q(w) = arctg (-¥) = -90° . (5.34)

Из выражения (5.33) следует, что при w®0 A(w)®¥, при A(w)=1, а при w®¥ A(w)®0, т.е. амплитуда выходного сигнала x(t) интегрирующего звена при неизменной по величине амплитуде входного сигнала g(t) будет тем меньше, чем больше частота входного сигнала. Из выражения (5.34) следует, что фаза выходного сигнала звена на всех частотах отстает на 90° от фазы входного сигнала. Интегрирующее звено, таким образом, создает отставание (запаздывание) по фазе выходного сигнала относительно входного сигнала независимо от частоты. Графики амплитудной и фазовой частотных характеристик приведены на рис.5.10,б,в.

Как следует из рис.5.10,б и выражения (5.33), характеристика A(w) является разносторонней гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена определяются выражениями:

L(w) = 20 lg A(w) = 20 lg k – 20 lg w (5.35)

j(w) = arctg (-¥) = -90° . (5.36)

Нетрудно показать, что ЛАЧХ звена является прямой с наклоном –20 дБ\дек, которая при k=1 пересекает ось частот в точке w=1. Действительно, полагая k=1, получим уравнение прямой L(w) = –20lgw, где w — переменная величина.

Изменим частоту w_i в 10 раз и найдем значение ЛАЧХ, соответствующее частоте 10w_i , т.е. L(10w_i). Определяя разность значений ЛАЧХ в точках w=w_i и w=10w_i , получим

Следовательно, наклон L(w) интегрирующего звена равен –20дБ\дек. Если k¹1, то характеристика смещается параллельно самой себе на 20lgk вверх при k>1 или вниз при k

Рис.5.11. Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена

Рис.5.12. Примеры интегрирующих звеньев

Если можно пренебречь влиянием на переходный процесс двигателя момента инерции J подвижных частей в силу его малости, т.е. пренебречь величиной электромеханической постоянной времени двигателя Т_эм , то

.

Это уравнение является уравнением интегрирующего звена, входной величиной которого является напряжение U , выходной — a (угол поворота вала двигателя).

2. Электронный усилитель постоянного тока (УПТ) с большим коэффициентом усиления по напряжению и с конденсатором в цепи отрицательной обратной связи (рис.5.12,б).

Учитывая, что U_вых(p)=-k_уU_с(p) , где знак «минус» означает, что полярность выходного напряжения изменяется на противоположную по сравнению с полярностью напряжения U_с за счет нечетного числа каскадов УПТ, и подставляя L₁(p) и L₂(p) в первое уравнение, получим

.

Так как коэффициент усиления k_у>>1 (например, у выпускаемых отечественной промышленностью УПТ k_у=1×10 8 ¸10 16 , то можно записать:

,

где Z₁(p) и Z₂(p) – символические (операторные) сопротивления входного сопротивления усилителя и конденсатора в цепи обратной связи усилителя: Z₁(p)=R₁ ; Z₂(p)=1/pC₁ .

Теперь найдем передаточную функцию усилителя

.

Видим, что это – передаточная функция интегрирующего звена с постоянной времени Т= R₁ C₁.

3.8 Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением)

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами» читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки» факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность!

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

Для вывода уравнения инерционно-интегрирующего звена интегрирующеезвеносзамедлением обратимся к нашему любимому гидравлическому демпферу.

Мы уже рассматривали систему уравнений и динамическую модель вот в этой Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13.

Немного модифицируем исходную модель, заменив пружину на внешнее воздействие. Схема видоизменной модели приведена на рисунке 1.

Рисунок 3.8.0. Схема гидравлического демпфера.

Уравнения движения плунжера при данной схеме принимают вид:

— масса плунжера;

— ускорение плунжера;

— давление в камере гидроцелиндра;

— площадь плунжера;

— сила действующая на плунжер возмущающее воздействие;

— коэффициент трения скольжения;

— корость перемещения плунжера;

— сила трения.

Если объем камеры достаточно большой, а модуль объемной упругости маленький, то малые перемещения плунжера не меняют давление в камере. Можно перенять, что p = cost; Тогда начальное значение силы, при которой систем находится в равновесии:

А входное воздействие можно записать как:

Получим уравнение в виде:

Заменим переменные. Пусть для звена входным xt воздействием будет относительное отклонение силы от начального равновесного состояния, тогда изменив обозначение получим:

А выходным значение yt будет относительное отклонение от начального положения плунжера:

тогда для производных:

Подставляя в уравнения, получим:

Если разделить все уравнение на Fполучим уравнение инерционно интегрирующего звена:

Мы опять получили размерность времени для коэффициентов уравнения динамики.

Если разделить обе части уравнения на T₁ 3.8.1, можно получить вторую форму уравнения для инерционно-интегрирующего звена:

Во втором случае размерность коэффициента

Используя преобразования по Лапласу, получим две формы уравнения в изображениях:

Передаточная функция в двух вариантах:

где -безразмерный кофээфицента, а

АФЧХ:

Анализ формул и при разных значения показывает что:

Рисунок 3.8.1 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k – безразмерный коэффициент)

Для воторого варианта передаточной функции:

Анализ формул и при разных значения показывает что:

Рисунок 3.8.2 АФЧХ инерционно-интегрирующего звена (если k имеет размерность 1/с)

Амплитуда модуль:

Сдвиг фазы:

Логарифмическая амплитудная характеристика ЛАХ:

Построим соответствующие графики:

Рисунок 3.8.3 АЧХ и ФЧХ инерционно-интегрирующего звена Рисунок 3.8.4 ЛАХ и ЛФЧХ инерционно-интегрирующего звена

Переходная функция находится, с использованием передаточной функции и функции единичесного сутпенчатого воздействия 1t, в изображениях единичное ступенчатое воздействие —

Для нахождения оригинала по изображению воспользуемся формулой Хэвисайда, для изображений имеющих вид:

, где D₁s и D₀s – полиномы по степеням «s», оригинал принимает вид:

где s_j – полюса изображения, т.е. те значения «s» при которых полином D₀s обращается в ноль; k_j – кратность j – го полюса.

Полиномы функции функции

Полюса полинома

Рисунок 3.8.5 Переходная функция инерционно-интегрирующего звена

Весовая функция получается дифференцированием по времени переходной:

Примерами инерционно-интегрирующих звеньев являются:

Интегрирующий привод (например, электродвигатель с редуктором с учетом механической инерционности якоря двигателя и зубчатых колес редуктора), где входное воздействие – напряжение в обмотке возбуждения, выходное – угол поворота выходного вала редуктора)

Гидравлический демпфер, если учитывать инерционность поршня и сопротивление трения (F(t) – входное воздействие, y(t) – выходной параметр).

Пример

Мы уже обращали внимание, что абсолютно разные физические системы с помощью волшебства «Теории Автоматического Управления» превращаются в абсолютно одинаковые математические модели. Например, в лекции «Апериодическое звено 1-го порядка» камера смешения реактора (теплогидравлические уравнения) и электрическая цепь (уравнения электротехники) описываются одинаковыми передаточными функциями. И при моделировании выдают одинаковые графики АФЧХ и годографов!

В этой лекции у нас обратное волшебство: одна и та же физическая система может быть представлена разными передаточными функциями. Попробуем посмотреть на это волшебство на примере сравнения разных математических моделей для одной и той же системы – гидравлического демпфера. Сравнивать будем отклик на ступенчатое воздействие.

В статье «Математическое описание систем автоматического управления ч. 2.9 — 2.13» мы уже разбирали способы создания математической модели такого гидравлического демпфера. Для удобства построения графика изменим направление оси х так, чтобы положительное направление совпадало с направление действия силы. См. схему на рисунке 3.8.10:

Рисунок 3.8.10. Схема модели гидравлического демпфера

Тогда уравнение движения плунжера примет следующий вид:

В начале лекции мы принимаем допущение, что объем камеры большой, а величина перемещения плунжера и модуль упругости среды малые настолько, что перемещение не вызывает изменения давления. И получаем уравнения для инерционно-интегрирующего звена. Составим модель в виде структурной схемы из типовых блоков:

Рисунок 3.8.11. Структурная схема модели плунжера при p = const

В качестве параметров возьмем основные технические характеристики, которые были использованы при решении подобной задачи ранее, и запишем их в глобальном скрипте модели:

Рисунок 3.8.12. Параметры модели.

В начальный момент входное воздействие уравновешивает давление в камере, на первой секунде происходит увеличение на 10Н. Параметры блока приведены на рисунке 5.

Рисунок 3.8.13. Параметры ступенчатого воздействия

Результат такого воздействия вызывает перемещение плунжера в полном соответствии с теоретическим решением в лекции. На рисунке 3.8.14 представлен график перемещения плунжера в течение 3 секунд, а также увеличенный участок сразу после ступенчатого изменения воздействия.

Рисунок 3.8.14 Перемещение плунжера.

Модель в виде структурной схемы, повторяющей уравнения движения, можно представить в виде одного блока «Инерционно-интегрирующее звено». Как было показано в начале, параметры блока будут следующими:

В формуле коэффициента усиления присутствует начальное положение x₀, которое необходимо для пересчета из относительной величины перемещения в абсолютную. Но поскольку сам пересчет заключается в умножении на x_{0 ,} то ее можно сократить, Таким образом, мы получим сразу перемещение в абсолютных единицах [м], а параметры блока инерционно-интегрирующего звена будут такими, как показано на рисунке 3.8.15

Рисунок 3.8.15. Параметры модели в виде одного блока.

Для использования данного блока в модели необходимо размерные параметры силы перевести в безрамные с помощью блока линейное преобразование. Тогда общая модель будет выглядеть так, как показано на рисунке 3.8.16:

3.8.16. Сравнение модели в виде блока и схемы

Результаты моделирования показывают полное совпадение модели в виде одного блока и модели в виде структурной схемы см. рис. 3.8.17

Рисунок 3.8.17 Сравнение схемы и блока.

Сравним модель с постоянным давлением в камере с моделью, где учитывается сжимаемость жидкости и изменение объема при перемещении плунжера, но расход со стороны дросселя Q равен 0.

В общем случае производная давления в камере будет описываться следующим уравнением:

Где: Q – расход в камере (у нас он равен 0), V — объем камеры, Ap – площадь плунжера, x’- скорость перемещения, E — объемный модуль упругости. Поскольку мы изменили направление х, то положительная величина скорости будет увеличивать давление в камере (см. рис. 3.8.10).

Создадим вторую модель с учетом сжимания в среды камере демпфера (см. рис. 3.8.18)

Рисунок 3.8.18 Модель плунжера с камерой

Сравнение расчёта двух моделей показывает, что учет сжимаемости жидкости в камере сразу приводит к кардинально другим результатам: вместо линейного роста перемещения мы получаем колебательный процесс и новое положение равновесия, жидкость в камере с учетом сжимаемости ведет себя как пружина, однако на масштабированном графике видно, что в начальный момент времени графики двух моделей достаточно хорошо совпадают (см. рис. 3.8.19):

Рисунок 3.8.19 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда — жидкость)

Таким образом упрощенная модель может достаточно точно описывать поведение демпфера при малых перемещениях и нагрузках.

В примере выше в качестве среды используется жидкость с модулем объемной упругости E = 13e8. Если вместо жидкости в демпфере будет использоваться воздух с модулем упругости E = 1.42e5, при тех же воздействиях мы увидим переходной процесс, приведенный на рисунке 3.8.20, где совпадения процессов идут в более широком диапазоне перемещения.

Рисунок 3.8.20 Сравнение моделей с камерой и без камеры (среда – воздух).

Как мы видим, принятое упрощение модели работает только в ограниченном диапазоне перемещения. Как только перемещения плунжера становятся значительными, давление в камере начинает изменяться, и принятые допущения уже не работают. Еще раз усложним модель, добавив в модель дроссель, который соединяет камеру демпфера с источником постоянного давления.

Такая модель будет более точно отображать гидравлическую систему, в которой есть источник давления (например, магистраль) и исполнительные механизмы (гидроцилиндры).

Расход через дроссель определяется по формуле:

Q – расход через дроссель, μ — коэффициент расхода, f – площадь сечения дросселя, p_n – давление в линии нагнетания, p – давление в камере.

Значения для этих параметров возьмем из предыдущего примера и добавим в общий скрипт проекта (см. ниже). Закомментированные строки позволяют менять среду в модели (воздух или гидравлическая жидкость).

Рисунок 3.8.21 Модель с учетом дросселя.

Графики перемещения для всех трех моделей в случае среды гидравлической жидкости приведены на рисунке 3.8.22 Видно, что добавление дросселя и объема с постоянным давлением делает отклик системы более похожим на отклик одного звена (отличается только угол наклона, который соотвесвует установившемуся давление в камере).

Рисунок 3.8.22 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда — жидкость).

Увеличенный график показывает, что при малых перемещениях, в начале процесса все три модели дают очень близкий результат.

Если заменить в модели жидкость на воздух (изменить модуль объемной упругости и плотность среды), то все 3 модели дают очень близкий результат в большем диапазоне перемещения плунжера. (см. рис. 3.8.23). Увеличение показывает, что все три модели ведут себя практически аналогично инерционно-интегрирующему звену.

Рисунок 3.8.23 Перемещения плунжера для разных вариантов модели (среда — воздух).

Выводы.

Приведенные примеры показывают, что при малых перемещениях плунжера демпфера вполне можно обходиться одним расчетным блоком вместо полной модели. Например, если мы исследуем вибрации с малой амплитудой. Однако, всегда нужно помнить о границах применимости принятых допущений. В рассмотренном примере при замене среды жидкости на газ упрощенная модель из одного блока работает практически идентично полной модели из трех дифференциальных уравнений и одного алгебраического.

Как показывет разобранный пример, одна и та же физическая система может моделироваться различными моделями и различными передаточными функциями в зависимости от параметров моделируемого процесса.

Интегрирующие звенья

1. Идеальное интегрирующее звено. Звено описывается дифференциальным уравнением

Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 4.18. Часто в качестве такого звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования (рис. 4.18, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер (рис. 4.18, б). Входной величиной здесь является сила F, действующая на поршень, а выходной — перемещение поршня х2. Так как скорость движения поршня пропорциональна приложенной силе (без учета инерционных сил):

где 5 — коэффициент скоростного сопротивления; его перемещение будет пропорциональным интегралу от приложенной силы:

Часто в качестве интегрирующего звена используется интегрирующий привод (рис, 4.18, г). Это особенно удобно делать при необходимости длительного иитегрирования

(часы, дни и даже месяцы), например в автоматических путепрокладчиках и навигационных системах.

(в зоне линейности).

Из уравнений гироскопа, приведенных в предыдущем параграфе, можно получить:

откуда передаточная функция для угла прецессии

Временные характеристики звена приведены в табл. 4.4, а частотные — в табл. 4.5.

Амплитудно-фазовая характеристика сливается с отрицательной частью мнимой оси.

Построение л, а. х. делается но выражению

, параллельную вещественной оси.

2. Интегрирующее звено с замедлением. Звено описывается дифференциальным уравнением

Примером такого звена является двигатель (рис. 4.10, а), если в качестве выходной величины рассматривать не угловую скорость, а угол поворота, являющийся интегралом от угловой скорости. К такому же типу звена сводятся демпфер (рис. 4.18, 6) серводвигатель (рис. 4.18, в), интегрирующий привод (рис. 4,18, г), если более точно рассматривать их уравнения движения, и др.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух включенных последовательно звеньев — идеального интегрирующего и апериодического первого порядка.

Для нахождения временных характера удобно передаточную функцию представить в виде алгебраической суммы

что позволяет представить решение дифференциального уравнения (4.44) в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена нервого порядка.

Временные характеристики приведены в табл.

4.4, а частотные — в табл. 4.5.

Л.а.х. строится по выражению

и -40 дБ/дек (при со > 1/7). 3. Изодромное звено. Звено описывается уравнением

— постоянная времени изодромного звена.

.

где с — жесткость пружины, и перемещения поршня

где 5 — коэффициент скоростного сопротивления демпфера.

точки

При использовании операционного усилителя (рис. 4.19, а) изодромное звено может быть получено посредством применения КС-цепи в обратной связи.

Таким образом, для схемы, изображенной на рис. 4.19, в,

Временные характеристики звена представлены в табл. 4.4, а частотные — в табл. 4.5.

Л. а. х. строится по выражению

Из рассмотрения л. а. х. и л. ф. х. видно, что в области малых частот (меньших, чем сопрягающая частота) звено ведет себя как идеальное интегрирующее и тем точнее, чем меньше частота.

Свойство звена вводить интегрирующее действие в области малых частот используется для улучшения качественных показателей систем автоматического регулирования (см. главу 9).