Какими дифференциальными уравнениями динамики описывается плоскопараллельное движение

Плоскопараллельное движение твердого тела.

1. Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью Oxy, параллельной плоскости П. При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ / , перпендикулярны к сечению (S), то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости Oxy.

(4.1)

Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

2. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное

вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса

Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение Sдвижущегося тела в моменты времени t₁ и t₂= t₁ + Δt. Легко видеть, что сечение S, а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А, двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А₂. При этом отрезок A₁B₁займет положение , а затем повернем сечение вокруг полюса А₂ на угол Δφ₁.

Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.

При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А. Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А.

Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А — третьим из уравнений (2. 1).

Основные кинематические характеристики плоского движения

В качестве полюса можно выбирать любую точку тела

Вывод : вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение e являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры

Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры

3. Определение скоростей точек тела

Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью v_А и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox₁y₁ – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А».

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.

Геометрическая интерпретация теоремы

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

Следствие 2. Концы скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части пропорциональные

расстояниям между соответствующими точками отрезка

4. План скоростей

Планом скоростей называется диаграмма, на которой из произвольно выбранного полюса откладываются скорости точек, а вращательные скорости звеньев из плюса не выходят и располагаются перпендикулярно звеньям.

Построение плана скоростей базируется на соотношениях (3.6)

Откуда следует, что отрезки, соединяющие концы векторов скоростей на плане скоростей, перпендикулярны отрезкам, соединяющим соответствующие точки плана, и по модулю пропорциональны этим отрезкам, а их отношение равно угловой скорости плоской фигуры.

(3. 6′)

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

• Используйте теорему о движении центра масс для относительного движения системы к системе и изменения момента движения системы относительно центра масс Рисунок 57 вес тела Для координат, которые постепенно перемещаются в центре тяжести, вы получаете дифференциальное уравнение для плоского движения твердого тела.

Эти пары сил могут быть получены из пар сил, произвольно расположенных в плоскости пересечения путем перемещения в плоскости действия, вращения и одновременного изменения парных плеч и сил. Людмила Фирмаль

Для плоскости движения центра тяжести тела, которое выполняет плоское движение, выберите фиксированную систему координат Oxtylt, которая учитывает движение, и систему Cxu, которая движется вместе с центром тяжести (рисунок 57). Установите xc и yc в качестве координат центра Стационарная система координат. Далее по теореме о движении центра тяжести получены следующие два дифференциальных уравнения для плоского движения твердого тела. Где М — вес.

• Дифференциальное уравнение третьего порядка для плоского движения твердого тела получается из теоремы об изменении момента движения относительно центра масс (38) в проекции на движущуюся ось Cz. dK ^ ldl = LMC2 (F \ e>). Плоское движение твердого тела можно представить как вращение и перемещение относительно центра тяжести C и оси движения Cz. Для вращения вокруг оси момент движения вокруг этой оси рассчитывается как Где со — угловая скорость. JCl — Момент инерции объекта вокруг оси Cz.

Понятия пространства и времени также остаются прежними,и только пространство для принятого понятия инерции должно обладать свойством сопротивляться движению в нем материальных объектов. Людмила Фирмаль

Поскольку JCz является постоянной величиной, подставляя изменение в момент относительного движения в теорему с помощью Kc’g, оно становится следующим. Введение угла поворота ; JCzip = YMCz \ (39) Эти уравнения могут быть использованы для решения двух основных задач. Данное плоское движение твердого тела находит внешнюю силу, действующую на тело, и движение определяется данной внешней силой и начальным условием. При решении этих задач необходимо дать вес L / и момент его инерции.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Плоскопараллельное движение тела в теоретической механике

Плоскопараллельное движение тела:

Сложное плоскопараллельное движение твердого тела составляется из поступательного и вращательного движений. Это свойство является основой первого способа определения скорости любой точки тела, находящегося в плоскопараллельном движении.

1. Поступательная часть плоскопараллельного движения принимается за переносное и зависит от движения какой-либо произвольно выбранной точки, называемой полюсом. За полюс принимают всегда ту точку, скорость которой в данный момент известна.

Если движение является только поступательным, то все точки тела, в том числе и точка А (рис. 222, а), имеют ту же скорость, что и полюс О.

2. Вращательная часть плоскопараллельного движения вокруг выбранного полюса принимается за относительное.

Если движение тела является только вращательным, то точка А совершает движение по окружности с центром в полюсе О со скоростью

3. Абсолютная скорость точки А равна геометрической сумме переносной скорости полюса и ее относительной скорости вокруг полюса О (рис. 222, в). Таким образом, абсолютная скорость определяется либо при помощи правила параллелограмма, либо правила треугольника.

Второй способ определения скорости любой точки тела при его плоскопараллельным движении основан на использовании в качестве полюса мгновенного центра скоростей.

1. Как известно, мгновенным центром скоростей называется расположенная в плоскости сечения точка, абсолютная скорость которой в данный момент равняется нулю.

2. Если за полюс принять мгновенный центр скоростей, то в этот момент переносные (поступательные) скорости всех точек тела равны нулю и абсолютная скорость любой точки определяется по формуле

где —угловая скорость плоского сечения, которая не зависит от выбора полюса;

р—расстояние от мгновенного центра скоростей С до данной точки (рис. 223).

Для скоростей любых точек сечения имеем зависимость

В приведенных решениях задач -показаны оба способа. При самостоятельном решении задач можно использовать любой из двух.

При решении некоторых задач оказывается целесообразным использовать теорему о равенстве между собой проекций скоростей двух точек плоского сечения на прямую, соединяющую эти точки.

Задача №1

Стержень АВ двигается в плоскости чертежа. В момент, когда стержень занимает горизонтальное положение (рис. 224, а), скорость его точки А равна 2 м/сек и направлена под углом а=60° к прямой АВ. Определить скорость точки В, если известно, что она направлена вдоль АВ.

Решение 1—сложение переносной и относительной скоростей (рис. 224, б).

1. Примем за полюс точку А. Вместе с полюсом стержень АВ движется поступательно, поэтому точка В как слагаемая скорость имеет скорость полюса, т. е. которую изобразим у точки В вектором ВК

2. Вследствие вращения стержня вокруг полюса точка В имеет вторую слагаемую скорость — относительную скорость, направленную перпендикулярно к стержню.

3. Построим параллелограмм скоростей. В параллелограмме известно направление диагонали, которая изобразит искомую скорость поэтому из точки К проведем до пересечения с продолжением АВ отрезок KL, параллельный направлению относительной скорости Затем из точки L проведем прямую LD, параллельную КВ (или вектору , до пересечения в точке D с линией, характеризующей направление Получается параллелограмм BKLD, в котором диагональ BL изображает —скорость точки В.

4. Находим числовое значение

BLK —прямоугольный (KL BL), поэтому

Решение 2 — при помощи мгновенного центра скоростей (рис. 224, в).

1. Из точек А и В проведем две прямые, перпендикулярные к направлениям скоростей Точка С пересечения этих прямых и определит положение мгновенного центра скоростей.

2. Вращение стержня АВ вокруг мгновенного центра скохарактеризуется угловой скоростью
Поэтому
Отсюда

Решение 3—с применением теоремы о проекциях скоростей двух точек плоского сечения.

1. В рассматриваемом случае искомая скорость направлена вдоль прямой, соединяющей точки A и В; при этом известен угол между данной скоростью и той же прямой АВ. Поэтому удобно применить теорему: проекции скоростей двух точек плоского сечения на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.

2. Спроектировав данную скорость и искомую на прямую АВ (см. рис. 224, в) и приравняв эти проекции, получим

При решении подобных задач иногда приходится выполнять довольно много промежуточных вычислений. Их можно избежать, если решить задачу графическим методом, но с приближенным результатом.

Поясним это на примере следующей задачи.

Задача №2

Кривошип кривошипно шатунного механизма (рис. 225, а) вращается с угловой скоростью= 25 рад/сек. Длина шатуна, приводящего ползун В в возвратно-поступательное движение вдоль горнтальных направляющих, равна Определить скорость ползуна В в тот момент, когда ОА образует с горнзонталью угол а = 30°.

Решение 1 — при помощи мгновенного центра скоростей (решение путем сложения переносной и относительной скоростей рекомендуется выполнить самостоятельно).

1. Изобразим на рис. 225, б расчетную схему. Схематично покажем кривошип ОА и шатун АВ в заданном положении. Ползун В, можно отождествить с точкой В.

2. Замечаем, что кривошип cobcj ползун В движется поступательно, ■ параллельное движение.

3. Скоростьточки А направлю шипу 0/1 (по касательной к окр точка А). Ее числовое значение

Скорость точки В направлена

Проведем из точек А и В пря правлениям скоростей Пай мгновенный центр скоростей шатунг

4. Найдя положение мгновенноп центра скоростей, получим = 0).

Отсюда

но предварительно нужно узнать значение отношения которое,

как легко заметить, равно отношению синусов противолежащих углов (теорема синусов):

5. Чтобы определить величину этого отношения, необходимо определить углы

Замечая, что (см. рис. 225, б)

найдем угол применив теорему синусов к

Из того же рис. 225, б видно, что угол является одним из внешних углов ОВА, поэтому

6. Теперь можно определить числовое значение скорости ползуна В:

Решение 2—графическим методом.

1. Построим в масштабе=2,22 см/мм схему кривошипношатунного механизма в заданном положении (рис. 226).

2. Скорость = 10 м/сек точки А изобразим отрезком АК =18 мм. Значит масштаб скоростей

3. Из точки В построим вектор (вектор ВЬ равен вектору и параллелен отрезку АК)- Из точки b построим до пересечения с линией ВО (направлением скорости отрезок bа, перпендикулярный к- ВА. Получившийся на линии ВО вектор Ва изображает искомую скорость

4. Измерив длину отрезка Ва, найдем, что Ва — 12 мм. Следовательно, числовое значение скоростей точки В

5. Как видно, между результатом, вычисленным при помощи мгновенного центра скоростей (6,75), и результатом, найденным при графическом решении (6,66), имеется расхождение, равное

0,09 (абсолютная ошибка). Следовательно, относительная ошибка, допущенная в графическом решении, составляет

Задача №3

Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости, причем ось колеса перемещается равномерно со скоростью = 5 м/сек. Определить абсолютную скорость точки А на ободе колеса и точки В, находящейся на том же радиусе, в момент, когда радиус колеса, равный ОА = г=40 см, образует с вертикалью угол а=60° (рис. 227). Расстояние ОВ = 15 см.

Решение 1—при помощи мгновенного центра скоростей.

1. Колесо катится без скольжения, следовательно, точка С соприкосновения колеса с горизонтальной плоскостью является мгновенным центром скоростей, так как абсолютная скорость этой точки ос=0 Если принять точку С за полюс, то можно считать, что в данный момент колесо совершает вращение вокруг так называемой мгновенной оси, перпендикулярной к плоскости колеса и проходящей через точку С (мгновенный центр скоростей).

2. Определяем угловую скорость колеса:

3. Определяем абсолютную скорость точки А. Скорость направлена перпендикулярно к прямой АС, соединяющей точку А с мгновенным центром скоростей С,

4. Определяем абсолютную скорость точки В. Скорость у0 направлена перпендикулярно к примой СВ и численно равна

Решение 2 —при помощи сложения переносной и относительной скоростей.

1. Катящееся колесо совершает сложное движение, складывающееся из поступательного движения колеса вместе с осью О (переносного движения) и вращения колеса вокруг оси О (относительного движения).

2. Абсолютная скорость точки А при таком рассмотрении движения колеса равна диагонали параллелограмма ACDE, построенного на переносной и относительной скоростях точки А (рис. 228).

3. Переносная скорость точки А равна скорости колеса.

Найдем относительную скорость

точки А; Но угловая скорость относительного вращательного движения, как известно, не зависит от выбора полюса, поэтому, приняв за полюс

точку С (см. рис. 227), найдем, что Следовательно, с

(так как СО = АО — радиус колеса).

Таким образом, для точки, расположенной на ободе катящегося без скольжения колеса,

^пер — Vao === Последовательно, параллелограмм ACDE есть ромб с углом САЕ = а = 60°, поэтому

4. Абсолютная скорость vB точки В равна диагонали параллелограмма BFGH, построенного на переносной скорости и па относительной скорости и ее числовое значение можно определить по формуле

Но предварительно необходимо найти скорость которая определяется из соотношения

Задача №4

Две параллельные рейки (рис. 229, а) движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями = 8 м/сек и = 2 м/сек. Между рейками зажат диск радиусом r = 0,5 м, катящийся по рейкам без скольжения.

Найти угловую скорость диска и скорость его центра.

Решение 1— при помощи мгновенного центра скоростей.

1. В данном случае известны скорости реек. Но так как диск катится между ними без скольжения, точки А и В в местах соприкосновения диска с рейками имеют те же скорости. Следовательно, Как видно, точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной к направлениям этих скоростей. Соединив концы D и E векторов AD и BE, изображающих скорости найдем на прямой АВ точку С — мгновенный центр скоростей диска.

2. Скорость центра диска определяется по формуле

где — угловая скорость диска.

3. Величины угловой скорости и расстояния ОС находим из равенств:

Так как левые части обоих равенств равны между собой, то

4. Находим скорость

Решение 2—методом последовательной остановки реек.

1. Плоское движение диска образуется вследствие независим мого друг от друга перемещения реек. Поэтому скорость центра диска можно получить как результат геометрического сложения скоростей, получаемых точкой О от перемещения каждой рейки.

2. Мысленно остановим нижнюю рейку (рис. 229,в). Тогда благодаря передвижению верхней рейки диск будет катиться по нижней без скольжения и в точке В образуется мгновенный центр скоростей.

Соединим точку В с точкой D (концом вектора и получим треугольник BAD, в котором вектор изображает скорость центра диска при неподвижной нижней рейке.

Так как ОК — средняя линия треугольника BAD,

Угловая скорость диска в этом движении

3. Теперь мысленно остановим верхнюю рейку (рис. 229 г). Диск будет катиться без скольжения по верхней рейке, имея мгновенный центр скоростей в точке А.

Соединив точку А с концом Е вектора получим треугольник АВЕ, определяющий скорость центра диска при неподвижной верхней рейке.

И здесь OL — средняя линия треугольника АВЕ, поэтому

Угловая скорость диска в этом движении

4. При одновременном движении обеих реек скорость центра диска

так как обе скорости направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны.

5. Угловая скорость диска определяется как сумма угловых скоростейнайденных выше:

• Определение передаточных отношений различных передач
• Задачи на поступательное движение тела
• Задачи на вращательное движение тела
• Равновесие тяжелой рамы
• Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
• Равномерное вращательное движение
• Равнопеременное вращательное движение
• Неравномерное вращательное движение

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.