Какими уравнениями аппроксимируется динамика численности народонаселения

Центр стратегических оценок и прогнозов

Автономная некоммерческая организация

Если за 1900 лет с начала новой эры количество людей выросло примерно в 5,8 раз, то за последующие 117 лет с 1990 по 2017 гг. лет оно увеличилось в 4,6 раза. Т.е. темпы роста возросли примерно в 13 раз.

Большое количество людей в мире провоцирует возникновение войн, в т.ч. мировых, военных конфликтов на экономической, национальной и религиозной почвах, способствует обострению экологических проблем.

Поэтому для формирования обоснованных долгосрочных прогнозов и стратегических планов развития необходимо постоянно совершенствовать методический аппарат научного прогнозирования глобальных и фундаментальных факторов роста.

Такой аппарат существует и постоянно совершенствуется. В этом участвуют большое количество известных людей.

При формировании долгосрочных прогнозов можно воспользоваться этими результатами. Но, по нашему мнению, многие из этих результатов – далеко не бесспорны. Поэтому Центр стратегических оценок и прогнозов решил обозначить свою позицию по вопросу роста численности населения на Земле.

Понятно, при анализе будущих вызовов необходимо учитывать не только общую численность населения во всём мире, но и распределение количества людей по разным странам и регионам. Но при этом общая численность населения представляет главный тренд, который модулируется специфическими региональными особенностями.

И в глобальном масштабе ситуация приобретает взрывной характер. Аналогия с взрывом ещё больше усиливается, если рассмотреть математические модели динамики общей численности населения в мире.

Введение

Количество проживающих на Земле людей является одним из главных системообразующих факторов, во многом определяющих будущее развитие человечества. Если ещё 100 лет назад увеличение численности населения в большинстве стран представляло основной драйвер их экономического и политического развития, то в последние десятилетия оно изменило свой «знак», трансформировавшись из достоинства в большую проблему. Если не принять неотложных и глобальных мер по её решению, она может не только существенно деформировать многие аспекты жизнедеятельности людей во все мире, но и обострить другие фундаментальные проблемы по схеме «идеального шторма».

Конечно, при анализе будущих вызовов необходимо учитывать не только общую численность населения во всём мире, но и распределение количества людей по разным странам и регионам. Но при этом общая численность населения представляет главный тренд, который модулируется специфическими региональными особенностями.

Особую значимость рост численности проживающих на Земле людей представляет для сырьёвого сектора мировой экономики. Такие проблемы, как обеспечение продовольствием, необходимым количеством пресной воды, энергоресурсами, металлами вступают во всё усиливающее противоречие с высоким темпом роста численности населения. Несмотря на совершенствование технологий извлечения и получения сырья, в ближайшее время они уже могут не успевать за ростом населения в мире. В первую очередь это относится к нефтегазовому сектору, который уже фактически презентовал надвигающийся кризис адаптационными планами освоения дорогостоящих и труднодоступных месторождений с соответствующим увеличением цен на нефть и газ. Коротко говоря, от хорошей жизни в Арктику не пойдёшь.

Модели динамики численности населения в мире базируются на известных данных по количеству проживающих на Земле людей. По данным работ 2 они представлены в табл. 1. Мы ограничились временным периодом длительностью 2017 лет, т.е. новой эрой, оставляя историкам исследование этого интересной темы в период от нескольких миллионов – сотен тысяч лет до новой эры.

На основе данных табл. 1 определяются темпы роста численности населения на Земле – рис. 1.

Рис. 1. Темп изменения численности населения на Земле в 0-2000 гг., %/год

Видно, что до 1150 г. темпы роста были относительно низкими, а в некоторые периоды известных войн в Европе и Азии – даже отрицательными. Затем, примерно с 1700 г., скорость роста увеличилось, и к 1900 г. численность превысила 1,6 млрд. человек.

Табл.1 Исходные данные по динамике численности населения в мире

А после окончания Первой мировой войны скорость роста населения выросла ещё в 2-4 раза (рис. 2), а к окончанию 2017 г. ожидается что число людей на Земле может достигнуть около 7,6 млрд. (табл. 1).

Рис. 2. Темп изменения численности населения на Земле в 1900-2010 гг., %/год

Но существуют и некоторые позитивные тенденции изменения глобальной демографической ситуации: после 1968 г. темпы стали замедляться (рис. 3).

Рис. 3. Темп изменения численности населения на Земле в 1950-2016 гг., %/год

Пока не станем акцентировать внимание на странном поведении темпа роста около 1986 г. Возможно, оно обусловлено каким-то изменением порядка формирования статистических данных. Но может быть, это знак проявления неких важных закономерностей: достаточно вспомнить, что происходило в мире в 1985 – 1986 гг., и предположить, как это могло стимулировать рост рождаемости.

Важно другое: после 1968 г. наблюдается снижение темпов роста общей численности населения в мире, хотя они остаются положительными. Т.е. количество людей на Земле продолжает увеличиваться, хотя и меньшими темпами.

Таким образом, если за 1900 лет с начала новой эры количество людей выросло примерно в 5,8 раз, то за последующие 117 лет оно увеличилось в 4,6 раза. Т.е. за указанные периоды темпы роста возросли примерно в 13 раз.

Ситуация приобретает взрывной характер. Аналогия с взрывом ещё больше усиливается, если рассмотреть математические модели динамики общей численности населения в мире.

Существующие математические модели и их критический анализ

Наиболее известной математической моделью, описывающей динамику численности N населения в мире, является модель гиперболического закона эволюции 5, полученная Мором, Форстером и Эмиотом на основе обработки известных им статистических данных до 1960 г.:

где t – время в годах, отсчитываемое от начала новой эры (т.е. привычный нам номер года);

C – константа, величина которой зависит от того, в каких единицах измеряется N: если – в млрд. человек, то С оценивалась авторами модели в 200 млрд. человек [5,6];

T₁ – другая константа, имеющая размерность «год» и равная 2026,8685 лет.

Эта гиперболическая математическая модель (будем её обозначать как «Модель 1»), в которой присутствуют только 2 постоянные C и T₁, является очень простой, но при этом удивительно точной для описания динамики численности населения на протяжении не только веков, но и тысячелетий.

Если ограничиться только новой эрой, то можно определить величины C и T₁из условия минимизации суммы квадратов относительных значений рассогласований между модельными и фактическими значениями численности населения.

Эти данные представлены в табл. 2 для различных значений начала статистического ряда.

Табл. 2. Модель 1 (до 1960 г.)

Например, если год t₀ начала статистического ряда данных равен 1500, то это означает, что C и T₁были определены за период 1500-1960 гг.

Из табл. 2 видно, что среднеквадратические относительные величины рассогласования составляют несколько процентов. И только, если начало статистики выбрать в нулевом году (начало новой эры), то получается около 14%.

Кроме этого, можно считать, что полученные указанным способом величины C и T₁ близки к тем, которые предложили авторы Модели 1.

Временная зависимость N(t) для интервала 1500-2100 гг. представлена на рис. 4. При этом для наглядности в период 1950-2017 гг. маркеры, соответствующие реальным значениям численности населения, обозначены не для каждого года, а только для тех, номера которых делятся нацело на 5: 1950, 1955, 1960, 1965 и т.д. Это сделано для того, чтобы на рисунке маркеры не слились друг с другом. Аналогично – для других подобных рисунков, соответствующих другим моделям.

Теперь начинается самое интересное.

Дело в том, что Модель 1 имеет особую точку T₁ = 2026,8685, которая, по оценкам авторов модели, соответствует 13 ноября 2026 г. Согласно формуле (1), в этом день численность населения на Земле должна стать бесконечной.

Данные табл. 2 этой особенности принципиально не изменяют: если ориентироваться на цифры с 1900 г. (правый столбец табл. 4), то вместо 13 ноября 2026 г. получается 27 сентября 2030 г.

Рис. 4. Динамика численности населения на Земле (модель 1)

Напрашивается аналогия с вышедшем из-под контроля ядерным реактором, который скоро должен пойти в разнос. Поэтому наличие особой точки является самым серьёзным недостатком Модели 1.

С.П. Капица считал, что существенным фактором, который не был учтён в Модели 1, являются времена жизни и наступления репродуктивной способности человека. Эти два фактора он смоделировал при помощи одного параметра τ следующим образом.

Сначала записал (1) в дифференциальной форме:

dN/dt = C/(T₂ – t) 2 (2)

А затем в знаменателе заменил (T₁ – t) 2 на

(T₂ – t) 2 + τ 2

Получилось дифференциальное уравнение

dN/dt = C/< (T₂ – t) 2 + τ 2 >, (3)

решая которое при условии:

при (T₂ – T)/τ → ∞ (т.е. в далёком прошлом) N → 0,

можно получить простое аналитическое выражении для N(t):

В (4) константы C, T₂ и τ должны определяться также из условия минимизации суммы квадратов относительных рассогласований между модельными и реальными значениями. Для этого приходится решать численным методом задачу оптимизации функции 3-х переменных. Впрочем, для любителей математики можно специально отметить: эту задачу можно свести к минимизации функции 2-х переменных, что несколько упрощает процедуру решения и повышает точность.

С.П. Капица предложил следующие значения параметров своей модели, которую далее будем называться «Модель 2» (N измеряется в млрд. человек):

C = 186 млрд. чел.×лет; T₂ = 2007; τ = 42 года.

В более поздней своей работе [6] он уточнил этот набор параметров:

C = 172 млрд. чел.×лет; T₂ = 2000; τ = 45 года.

Если с указанным в табл. 1 набором данных проделать операцию, как для Модели 1, то получится таблица 3.

Эти цифры близки к оценкам С.П. Капицы. Рассогласования Модели 2 с имеющими фактическими данными также весьма малы.

Данные по динамике численности населения, рассчитанной по Модели 2, представлены на рис. 5.

Табл.3. Модель 2 (до 2000 г.)

Модель 2, которая при малых t переходит в Модель 1, по сравнению с ней имеет 2 существенных достоинства.

Во-первых, в ней отсутствует критическая точка, что соответствует реальности.

Во-вторых, из Модели 2 следует существование предела N_max, к которой будет асимтотически стремиться численность человечества:

По оценкам [6] автора Модели 2, этот предел равен 12 млрд. человек, по данным табл. 3 – 13,322 млрд. человек.

Рис. 5. Динамика численности населения на Земле (модель 2)

Для указанного изменения характера роста численности населения придумали специальное словосочетание – глобальный демографический переход. Что-то вроде фазового перехода 2-го рода в физике.

Основной недостаток Модели 2 заключается в неясности физического смысла параметра τ: если он определяет среднее время жизни, то 42-45 лет – мало, а если темп смены поколений – то много; для этого больше подходит цифра 15-25 лет.

Но главное даже не в этом. Если τ рассматривать, как некую задержку по времени, то логично записать дифференциальное уравнение динамики численности населения не в виде (3), а в виде

dN/dt = C/(T₂ + τ – t) 2 ,

из которого достаточно очевидно получается (1), в котором T₁ = T₂ + τ, а критическая точка никуда не исчезает. Более того, она остаётся на прежнем месте. Поэтому проблема устранения сингулярности не решается.

Параметр τ можно рассматривать, как время задержки только при t ≈ T₂. Действительно, т.к.

(T₂ + τ – t) 2 = (T₂ – t) 2 + 2×(T₂ – t)×τ + τ 2 ,

то (T₂ + τ – t) 2 ≈ (T₂ – t) 2 + τ 2 только когда мало отличается от T₂.

Во всех остальных случаях τ не может считаться временной задержкой. В лучшем случае – это некоторый моделирующий параметр, имеющий размерность времени, но не имеющий чёткого физического смысла.

И поэтому логически зависает, превращаясь в математическую абстракцию, важное для Модели 2 понятие глобального демографического перехода – не ясны его движущие факторы.

Как видно из выражений (1-4) для рассмотренных Моделей 1,2, они предполагают, что рост численности N населения Земли на протяжении тысячелетий зависит только от самой численности населения N и не связан с другими внешними факторами: параметрами окружающей среды, технологиями, ресурсными ограничениями и т.д. Это достаточно смелое предположение получило название «демографический императив».

Название, конечно, красивое, но мало, что объясняет; поэтому оно недостаточно конструктивно.

В работе [4] рассмотрены другие возможные модели роста населения Земли. Основная задача этих подходов, многие из которых весьма остроумны, заключается в попытках объяснения феномена последних десятилетий – замедления темпов роста численности населения после 1967-1968 гг.

Действительно, всё довольно странно: больших войн и эпидемий не было, большие астероиды на Землю не падали, а темпы роста вдруг стали падать. С точки зрения демографического императива это – необъяснимо, и поэтому неприятно для его последователей.

Из рассматриваемых в [4] подходов можно выделить модели М. Кремера, А.В. Подлазова, модель самих авторов работы [4]. Любопытны также попытки связать снижение рождаемости с уровнем грамотности населения. Правда, где здесь причина, а где следствие – тоже не очень понятно: если в семье 10 негритят или семеро по лавкам, то это как-то не стимулирует получение хорошего образования.

Для объяснения снижения темпов роста большинство авторов предполагают создание вспомогательных моделей 2-го и 3-го уровней. По их мнению, это поможет решить исходную задачу.

А по нашему мнению, эти исследователи попадают в методическую ловушку. Дело в том, что математические модели более низких системных уровней для своей калибровки требуют наличия больших объёмов исходных данных. А их как раз и недостаточно. Это известная эконометрическая дилемма – выбор рациональной сложности математической модели, чтобы она соответствовала располагаемым фактическим данным: часто приходится упрощать математическую модель, поскольку для более адекватных и более сложных моделей недостаточно количества и качества исходных данных.

Поэтому ниже сделана попытка таких модификаций первичных Моделей 1 и 2 для того, чтобы учесть новые факторы, но при этом не сильно усложнить сами модели. С тем, чтобы они были совместимы с имеющимися исходными данными.

Математические модели на основе модификаций исходного уравнения динамики численности населения

Зададимся простым вопросом: почему Модель 1 правильно описывала динамику численности населения на протяжении тысячелетий, а потом вдруг в последние 50 лет стала давать сбои? Почему такое произошло, что изменилось за последние полвека?

Попытаемся ответить на первую часть вопроса: почему Модель 1 очень хорошо описывала динамику общего количества людей в предыдущие годы?

Получение формул, обеспечивающих малые ошибки интерполирования – дело нехитрое: например, студенты первых курсов знакомятся с интерполяционной формулой Лагранжа, которая вообще обнуляет величины всех рассогласований между фактическими значениями и величинами интерполяционного полинома. Правда для целей прогнозирования (т.е. для значений независимой переменной вне интервала интерполирования) такой полином применять нельзя – он для этого не годится из-за больших ошибок. Причём, чем выше степень полинома, тем больше ошибки прогнозирования.

Может быть, и здесь – то же самое: внутри интервала наблюдения ошибки малы, а при выходе за него – резко нарастают?

Нет, не похоже: в интерполяционном полиноме много коэффициентов, а в Модели 1 – только 2. С двумя степенями свободы малые рассогласования можно получить только, если аппроксимирующая функция соответствует основным закономерностям рассматриваемого процесса. Поэтому, следует признать, что Модель 1 объективно описывает динамику численности, по крайней мере, до 1960 г.

Теперь попробуем ответить на поставленный вопрос с позиций демографического императива, у которого имеются много приверженцев. В соответствии с этим подходом, причину следует искать только в одном – в численности N населения.

Она резко возросла за последние 50 лет. Иначе говоря, изменились закономерности, связывающие темпы роста dN/dt и его численности при N > 3,5 млрд. человек. Причём они модифицировались таким образом, что при малых N работает старая, проверенная на тысячелетиях схема, а в последние десятилетия из-за роста N она трансформировалась в другую, более общую. Которая при малых N имеет своим предельным случаем старую схему.

Теперь изложим вышесказанное на более конкретном языке математических формул. Возьмём за основу выражения (1) и (2) для определения N .

Легко видеть, что их можно записать не в виде дифференциального соотношения, а виде дифференциального уравнения:

dN/dt = N 2 /C (5)

Обычно темп роста численности живых организмов пропорционален N, а не N 2 . Почему у людей всё не так?

А.В. Подлазов предлагает объяснение с точки зрения развития жизнесберегающих технологий. Причём, в этот термин он вкладывает очень широкий смысл. Жизнесберегающие технологии – это технологии продления жизни и предотвращения смерти безотносительно к тому, каким образом это достигается: от производства продовольствия до религиозных норм морали.

Следующий этап – считается, что развитие и обновление жизнесберегающих технологий осуществляется посредством значимых социальных изобретений, количество которых пропорционально количеству N живущих людей: чем больше людей, тем больше среди них потенциальных изобретателей, тем больше изобретений. И результаты этих изобретений затем начинают тиражироваться и использоваться всем человечеством.

Другими словами, в этом предположении выражение (5) может быть переписано в виде:

dN/dt = (N/α)×(N/β) = (N/α)×(N×α/C), (6)

где для обеспечения соответствия (5) и (6) следует положить α×β = C.

В (6) первый сомножитель определяется динамику количества живущих на Земле людей, как биологического вида, а второй – как динамику совершенствования жизнесберегающих технологий.

Но понятно, что жизнесберегающие технологии, скорее всего, не могут развиваться бесконечно с ростом N, как это записано в (6) Для их эффективности W существуют физические и биологические пределы.

Обычно динамика параметра W определяется из дифференциального уравнения:

dW = (1 – W)×η×dN (7)

Уравнение (7) указывает, что:

предельная эффективность некоторых действий (в данном случае – жизнесберегающих технологий) равна 100% или в безразмерном выражении – 1;
в каждый момент времени изменение эффективности пропорционально изменению определяющего фактора, в данном случае – N;
кроме этого, в каждый момент времени изменение эффективности пропорционально потенциальным возможностям (1 – W) по её дальнейшему изменению: чем меньше этот, пока нереализованный, остаток, тем труднее добиться изменения.

Почти очевидно, что уравнение (7) имеет решение

W = 1 – exp(– η×N ), (8)

которое удовлетворяет также очевидному условию: при N = 0 также W = 0.

При малых N

W = 1 – exp(– η×N ) ≈ η×N

Теперь становится понятным, как следует модифицировать (5) и (6), чтобы учесть изменение закономерности, определяющей темп роста численности населения: вместо (6) нужно записать

Это дифференциальное уравнение при малых N переходит в уравнение (5). Но при больших N, когда экспонента проявляет свои нелинейные свойства, в решении (9) отсутствует сингулярная точка. При этом с увеличением t продолжается неограниченный рост N, но уже не по гиперболическому, а по экспоненциальному закону.

Это – очень важная методическая особенность (9).

В отличие от предыдущих уравнений, дифференциальное уравнение (9) не может быть решено аналитически. Для этого потребуются численные методы, например, метод Эйлера с малым шагом по времени. Величину шага выберем равной 1-му месяцу, т.е. 1/12 года.

Потребуется также задать начальное условие. Его естественно записать в виде:

где j(t₀) – где номер строки в массиве ML, соответствующей году t₀ начала статистических данных по численности населения;

γ – корректирующий безразмерный параметр.

В результате численного решения (9) для заданного значения t₀ устанавливается следующая функциональная зависимость

N(t) = N(t, α, C, γ)

Далее в интервале наблюдения определяется среднеквадратическое относительное рассогласование Δ модельных и фактических значений по численности населения:

₍₁₀₎

Следующим этапом является определение такого набора параметров α₀, C₀, γ₀, который минимизирует Δ(α, C, γ), лучше всего соответствуя совокупности фактических данных по численности населения в мире в рассматриваемом временном периоде:

В этой оптимизационной задаче Δ(α, C, γ) играет роль минимизируемой целевой функции.

Наконец, на последнем этапе для любого t рассчитываются значения N(t) = N(t, α₀, C₀, γ₀).

Посмотрим, как математическая модель на основе дифференциального уравнения (9), которую далее назовём «Модель 3», соответствует реальности, т.е. имеющимся исходным данным.

Результаты соответствующих расчётов представлены в табл. 4 по примерно такой же форме, как при иллюстрациях Модели 1 и Модели 2.

Табл.4. Модель 3 (до 1960 г.)

То, что полученные значения C₀оказались очень близки к соответствующим значениям табл. 2 – не удивительно: Модель 1 и Модель 3 имеют одну основу.

Также понятно, почему Модель 3 приводит к несколько меньшим ошибкам среднеквадратического рассогласования – в ней не 2, а 3 свободных параметра. Поэтому её способность адаптироваться к набору исходных данных выше, чем у Модели 1, т.е. с точностью до погрешностей численного интегрирования дифференциального уравнения средняя величина рассогласования должна быть ниже.

Но главное достоинство Модели 3 состоит в том, что в ней нет сингулярной точки, в которой N → ∞.

Прежде, чем переходить к описанию следующих математических моделей, нужно сделать одно пояснение.

Оптимизационная задача (11) представляет собой не очень хорошо определённую задачу. Дело в том, что параметры γ₀ и С₀ устанавливаются довольно однозначно, а вот насчёт параметров α₀ и β₀ = С₀/α₀ это сказать сложно: достаточно точно устанавливается лишь их произведение, т.е. С₀. Поэтому, как это видно из табл. 4, оптимальные значения α₀ и β₀ сильно волатильны. И поэтому нужно отдельно рассмотреть вопрос о реальных значениях какого-либо одного из этих параметров, например, параметра α₀.

По своему физическому смыслу α₀ представляет собой постоянную времени роста численности населения Земли в комфортных условиях, когда

W = 1 – exp(– η×N) = 1,

т.е. когда жизнесберегающие технологии отработаны по максимуму, по крайней мере, на обозримый период до 2100 г.

Для определённости последующих оценок положим, что это соответствует средней продолжительности жизни людей 80 лет и тому, что они могут видеть не только своих внуков, но правнуков.

Кроме этого, проблем с жильём, детскими садами, школами, пенсионным обеспечением и т.д. не существует. Доходы семьи также вполне достаточны. Поэтому каждая семья может завести и воспитывать столько детей, сколько ей будет не в тягость для своей комфортной жизни.

Но понятие «комфортная жизнь» у каждого своё.

Пусть родители считают, что им достаточно k детей, а оставшееся от их воспитания личное время должно пойти на работу, отдых, самосовершенствование. Пусть такого же мнения придерживаются их дети и внуки. Тогда степень участия родителей 1-го поколения в росте численности населения может быть оценена следующим образом:

k + k 2 /2 + k 3 /4 = k×<1 + (k/2) + (k/2) 2 ]

Деление на 2 и на 4 производится потому, что в рождении потомства опосредованно принимают участие родители из других аналогичных семей.

После того, как родители 1-го поколения после 80 лет жизни умрут, количество людей, рождённых при их участии, составит

или в расчёте на 1-го родителя 1-го поколения:

(k/2) + (k/2) 2 + (k/2) 3 – 1

Тогда оценкой для минимального значения величины α будет

При k = 3 минимальное значение параметра α оценивается в 13,06 лет. Учитывая приближённый характер этой оценки, задачи минимизации Δ, типа (11) далее будут решаться при ограничении α ≥ 13 год –1 – так соответствие реальности будет точнее.

В табл. 5. представлены результаты такого решения.

Из сопоставления данных табл. 4 и 5 видно, что минимальное значение целевой функции изменилось очень незначительно, что было ожидаемо.

На рис. 6 представлен график временной зависимости N(t) для случая, когда статистический ряд начинается с 1500 г., т.е. при t₀ = 1500.

Табл.5. Модель 3 (до 1960 г.; α ≥ 13 год –1 )

Рис. 6. Динамика численности населения на Земле (модель 3)

В целом этот график напоминает рис. 4, но он не имеет особой точки, в которой N(t) обращается в бесконечность.

Хотя и не указывает на снижение темпов роста при t > 1967 г. Поэтому Модель 3 также нуждается в доработке.

Например, в правую часть (9) можно ввести запаздывание τ – у людей рождаются дети, и начинается изобретение жизнесберегающих технологий не с момента рождения, а начиная с некоторого возраста τ.

Назовём такую модификацию Модель 4.

Уравнение динамики численности населения в Модели 4 будет выглядеть следующим образом:

Решения такого уравнения усложняется, поскольку нужно учитывать не текущие, а запаздывающие значения N. Для этого в вычислительной программе формируются дополнительный массив, в который записывается история процесса.

Теперь целевая функция Δ(α, C, γ, τ) в задаче минимизации зависит от 4-х переменных.

α ≥ 13

Решая оптимизационную задачу (13) при t₀ = 1900 и различных временах t_k окончания статистического ряда, получим значения, представленные в табл. 6.

Табл.6. Модель 4 (от 1900 г. ; α ≥ 13 год –1 )

Значения времени τ₀ оказываются равными нулю, что делает нецелесообразным применение более сложной Модели 4. А величины α₀, и С₀ существенно разнятся при различных значениях t_k. В действительности такого быть не должно, эти величины должны быть примерно одинаковыми для разных t_k.

Поэтому объяснить снижение темпов роста численности населения после 1967-1968 г.г. только учётом запаздывания τ не получается. Опять нужно рассматривать какой-то механизм изменения тенденции роста.

Фактические данные по ограничению численности населения в мире

Дальнейший анализ будет основываться на предположении, что основным движущим фактором снижения темпов роста населения в период 1967-2017 гг. являются меры, предпринимаемые рядом стран по ограничению скорости роста его численности [7,8].

Такие меры в разных странах имеют свои национальные особенности.

В Индии обсуждение вопросов роста населения и демографической политики началось ещё до завоевания страной независимости, когда в 1938 г. Переходное правительство образовало при Национальном плановом комитете подкомитет по населению.

С 1952 г. государство начало реализацию политики снижения рождаемости. Проводилась массовая, спонсируемая государством, стерилизация женщин и избирательные аборты. Правительство Индиры Ганди ввело денежные поощрения стерилизации, а затем приняло решение о насильственной стерилизации двухдетных мужчин. Кампания проводилась на протяжении нескольких лет в условиях особого положения.

Начиная с конца 1960-х годов, одна развивающаяся страна за другой принимали программы планирования семьи, адаптируя чужой опыт к своим национальным условиям.

В Китае в период 1978-2016 гг. существовала программа «Одна семья – один ребёнок», которая, согласно официальной статистике, предотвратила более 400 млн. рождений. Правда, после 2016 г. эта программа была отменена, и введено разрешение иметь 2-х детей, что по существу также является ограничением.

Политика одного ребёнка включала меры контроля, поощрения и наказания. Если брачная пара уже имела 2-х детей, женщина (или, реже, мужчина) должна была подвергнуться стерилизации. Любая беременность без предварительного официального разрешения должна была прекращаться абортом. Принудительные кампании достигли кульминации в 1983 г., когда было проведено 21 млн. стерилизаций, 14 млн. абортов.

Превышение разрешенного числа детей влекло карательные санкции, включая крупные штрафы, вычеты из зарплаты или лишение работы, конфискацию или разрушение семейного дома или имущества, политические преследования.

Поощрительный пакет включал регулярные пособия на единственного ребёнка, приоритетный доступ к услугам здравоохранения и образования, преимущества родителям в получении хорошей работы.

В итоге в городах суммарная рождаемость снизилась до 1,4 ребёнка на женщину. С 1984 г. правительство начало видоизменять политику одного ребёнка в сельской местности. В 18 провинциях женщинам было разрешено рожать 2-го ребенка, если первой родилась девочка. В 5 провинциях всем сельским супружеским парам было разрешено иметь 2-х детей. В других 5 провинциях с преобладанием этнических меньшинств был установлен 3-детный предел. В 2-х провинциях и 4-х районах со статусом провинции оставлена 1-детная норма. Точное значение коэффициента суммарной рождаемости в сельской местности неизвестно, но по оценкам он составляет 2 ребёнка на женщину.

Пример успешной программы планирования семьи в экстремально плохих экономических условиях реализован в Бангладеш. В 1970-х годах в сельском районе Матлаб был начат эксперимент по комплексному предоставлению услуг планирования семьи и репродуктивного здоровья. Женщинам предлагался широкий выбор методов, консультации высококвалифицированных специалистов и современная акушерская и гинекологическая помощь. В зоне действия эксперимента использование контрацепции резко возросло, а рождаемость снизилась, чего не наблюдалось в контрольной зоне. Правительство страны приняло решение распространить матлабский эксперимент на всю страну и добилось немалых успехов.

В Иране провозглашённая в 1979 г. Исламская Республика сначала свернула начатые при монархическом строе программы планирования семьи на том основании, что исламу и стране нужно большое население. Минимальный возраст вступления в брак был снижен до 9 лет для мальчиков и 12 лет для девочек. Рождаемость выросла на одного ребенка на женщину.

После смерти айятоллы Хомейни в 1989 г. правительство Хаменеи-Рафсаджани круто изменило курс на ограничения рождаемости, осознав, что стремительный рост населения быстро исчерпает возможности обеспечения его продовольствием, образованием, жильём и рабочими местами. Было провозглашено, что ислам благословляет только 2-детные семьи. Министерство здравоохранения развернуло общенациональную программу планирования семьи, предлагавшую широкий выбор контрацептивных методов. В 1993 г. парламент принял законы, лишившие третьих детей и детей более высоких порядков рождения продовольственных талонов и социальных субсидий, а их матерей – декретных отпусков. Прохождение учебного курса планирования семьи стало условием заключения брака. В результате уровень использования современной контрацепции поднялся с 26% в 1975 г. до 59% в 2002 г., а суммарная рождаемость снизилась с 6,2-6,5 ребёнка на женщину в начале 1970-х годов до 2 детей на женщину в 2002 г. (рис. 7).

В настоящее время в Китае, Индии, Бангладеш и Иране проживает более 40% населения Земли. Поэтому меры, принимаемые этими странами, являются очень значимыми.

К 2009 г. только 9 из 136 развивающихся государств не оказывали прямой государственной поддержки программам планирования семьи.

В целом эти программы зарекомендовали себя как эффективный инструмент гашения демографического взрыва и средство улучшения здоровья женщин, младенцев и маленьких детей. По оценкам, реализация программ в 1985-2010 гг. обеспечили снижение рождаемости в развивающихся странах с 6 детей на женщину в 1960-1965 гг. до 2-3-х детей, т.е. в 2,5-3 раза.

Рис.7. Коэффициент суммарной рождаемости в Китае, Бангладеш и Иране в 1950-2010 гг. ([8])

Формализация процесса ограничения численности населения в мире

Как формализовать процесс ограничения численности населения в мире и учесть его в математических моделях динамики?

Можно по общей схеме (8) ввести показатель W* эффективности проводимых мероприятий по снижения скорости роста численности населения в мире с 1967 г.:

W* = 1 – exp (14)

Обоснование вида соотношения (14) – такое же, как для соотношения (8). Здесь фактор, определяющий эффективность – время t. В качестве точки отсчёта принят 1967 г., как год, предшествующий году максимума темпов увеличения численности. Поскольку понятно, что должна быть небольшая задержка, чтобы проявилась эффективность проводимых мероприятий.

Тогда скорость V роста численности населения в условиях новых ограничений будет иметь вид

где ω – темп снижения скорости роста, величина которого далее будет установлена.

Таким образом, основное уравнение динамики численности населения записывается в виде:

Дифференциальное уравнение (15) должно интегрироваться при начальном условии

где t₀ – год начала статистического ряда.

Назовём эту расчётную схему «Модель 5».

Полагая t₀ = 1950, можно получить зависимость численности населения в виде N(t) = N(t, α, C, γ, τ, ω).

Для определения совокупности параметров α, C, γ, τ, ω, наилучшим образом соответствующих статистическому ряду при t = t₀ – 2017, опять составляем функцию Δ, определяющую среднеквадратическое относительное рассогласование между модельными и реальными значениями численности населения в обозначенном интервале.

Запишем это подробно:

(16)

Целевая функция Δ(α, C, γ, τ, ω) – функция 5 переменных.

Набор параметров α₀, C₀, γ₀, τ₀, ω₀ , наилучшим образом соответствующих статистическому ряду, определяется в результате численного решения оптимизационной задачи

α ≥ 13

В результате получаем следующие значения: α₀ = 20,5278 год, С₀ = 113,287 млрд. чел.×лет, γ₀ = 1,001, τ₀ = 2,8468 лет, ω₀ = 0,025 год –1 .

При этом для 68 опорных точек минимальное значение Δ₀ составляет только 0,328%. Т.е. Модель 5 верно отражает реальность, по крайней мере, до 2017 г. Количество параметров Модели 5, равное 5, относительно невелико, что усиливает предположение об её адекватности.

Результаты моделирования графически представлены на рис. 8, 9 из которых видно уже упомянутое хорошее совпадение реальных и расчётных данных.

И которые показывают, что существует предел роста численности населения на Земле – 11-12 млрд. человек.

Рис. 8. Динамика численности населения на Земле (модель 5)

Рис. 9. Темп роста численности населения Земли (модель 5)

Последнее требует уточнения: полученный результат, наилучшим образом соответствующий современным статистически данным по количеству живущих на Земле людей.

Кроме этого, он позволяет в глобальном масштабе оценить эффективность мер по ограничению рождаемости, предпринятыми странами к настоящему времени. Она равна

1 – exp<– ω₀×(2017 – 1967)> = 1 – e –1,25

Иначе говоря, ограничение рождаемости позволило снизить темп роста численности населения в e 1,25 = 3,49 раз.

На всякий случай, для ясности: указанная величина определяет снижение скорости роста численности не по отношению к 1967-1968 гг., а к той величине, которая была бы в 2017 г. при отсутствии ограничительных мер.

Это соответствует другим независимым оценкам эффективности реализации политики ограничения рождаемости.

Заключение

Проведённый анализ динамики численности населения Земли был основан на последовательности обобщений ранее разработанных математических моделей.

Результатом явилось формирование достаточно точной модели, адекватно отражающей существующую динамику.

Новая математическая модель позволяет учесть факторы, которые начали заметно проявлять себя в последние десятилетия.

Отличительная особенность предлагаемой модели состоит не в неком аналитическом соотношении, а в алгоритме численного решение уравнения динамики численности населения Земли.

Установлено, что рост численности имеет предел около 12 млрд. человек, что соответствует оценкам С.П. Капицы.

Однако объяснение существования этого предела основано не на демографическом императиве, а на учёте и формализации более понятных, широко известных и эффективных мерах по ограничению рождаемости, принимаемых многими странами в рамках реализации своей демографической и экономической политики при содействии международных организаций.

Поэтому в предлагаемой математической модели глобальный демографический переход связывается с конкретными мерами по ограничению рождаемости.

Список использованных источников

Население Земли // Country meters, 2017 – http://countrymeters.info/ru/World
Население Земли // Википедия – https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8
История население Земли // Википедия – https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BD%D0%B0%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D0%B8
Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А. «Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования» – М., ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 2005 – http://www.keldysh.ru/papers/2005/prep13/prep2005_13.html
Капица С.П. «Рост населения Земли и его математическая модель» – М., «Наука и жизнь» № 3, 1998 – https://www.nkj.ru/archive/articles/10393/
Капица С.П. «Модель роста населения Земли и предвиденное будущее цивилизации» – М., Институт физических проблем РАН, 2000, – http://www.chronos.msu.ru/old/RREPORTS/kapitsa_teoria.htm
Политика ограничения рождаемости // Википедия – https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%BE%D0%B6%D0%B4%D0%B0%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8
Иванов С.В. «Снижение рождаемости в странах Юга» // Экономический журнал ВШЭ, № 11, 2011, с.565-582 – М., Демоскоп Weekly № 587-588, 2011 – http://demoscope.ru/weekly/2014/0587/analit02.php

И.В. Самарин, А.Н. Фомин

Мировое народонаселение и вариации климата

Об авторе

Алексей Владимирович Бялко — доктор физико-математических наук, ассоциированный сотрудник Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, заместитель главного редактора журнала «Природа». Область научных интересов — теоретическая физика, науки о Земле.

Эта статья готовилась как отклик на публикацию серии статей Е. Н. Черныха об эволюции человечества. Заключительная часть серии — «Эпоха Нового времени: планетарные метаморфозы», в отличие от предшествующих, основана не на археологических открытиях, а на письменных источниках. История, написанная людьми, в первую очередь показывает влияние человеческого фактора на развитие событий, подчеркивает роль личности в истории. Конечно, письменные источники описывают также следствия событий, не зависящих от воли людей: землетрясений, эпидемий, череды неурожаев. В летописях и в сознании современников эти негативные явления чаще всего воспринимаются как «божья воля». Они были непредсказуемыми, но в какой степени случайными? Попробуем ответить на этот вопрос, сравнив динамику численности людей с известным нам объективным внешним фактором — колебаниями климата.

Человек — уникальный биологический вид. Во-первых, его численность росла аномально быстро, по гиперболическому закону. Иные примеры такого роста в биологии отсутствуют. Во-вторых, человечество сумело победить голод: на сегодняшний день оно обеспечено питанием. Способ, правда, оказался довольно жестоким [1]: сейчас из всех млекопитающих только 4% (по массе) — дикие, 60% — домашний скот, а остальные 36% приходятся на людей. Дикие птицы составляют лишь 40% от общей птичьей массы, а ее основная часть — домашняя птица, которую люди выращивают для еды. В-третьих, человек так изменил атмосферу планеты, что началось потепление климата, и оно происходит все заметнее. Как мы увидим (это главный качественный вывод этой работы), в истории последнего тысячелетия потепление положительно сказывалось на росте народонаселения. По этой причине оно вольно или невольно приобрело психологически позитивную окраску. Это приведет нас к выводу, что сегодня человечество находится в ситуации неустойчивого и плохо предсказуемого развития, которое к тому же сопровождается ошибочным моральным оправданием.

Рост мирового народонаселения

В середине прошлого века австрийский физик Хейнц фон Фёрстер (1911–2002) заметил, что численность человечества N(t) с достаточно высокой точностью возрастает по гиперболическому закону, асимптотически стремясь к бесконечности [2]. Такая зависимость подчиняется дифференциальному уравнению dN/dt = N 2 /K, где K — некоторая постоянная, имеющая размерность человеко-год. Решение этого уравнения есть N(t) = K/(t₀ − t), где постоянная интегрирования t₀ есть момент асимптотической бесконечности. Сопоставление с данными о численности, известными к середине XX в., дало Фёрстеру следующую величину предельного времени t₀ = 2026,87, или 13 ноября 2026 г. Естественно, при приближении к этому пределу отклонения от гиперболического роста должны были нарастать.

С момента появления первых статей Фёрстера прошло немало времени, отклонения от гиперболы стали весьма заметны, появились уточненные данные о мировом народонаселении в прошлом. По этой тематике возникла обширная литература. Отметим прежде всего книги Сергея Петровича Капицы [3, 4]. Он был членом редколлегии «Природы» и в 1995 г. предлагал напечатать в нашем журнале свою статью о гиперболическом росте численности человечества. Приходится только сожалеть, что по ряду соображений его предложение тогда не было принято.

Капица и многие другие авторы [5–9] предложили свои объяснения гиперболического поведения численности человечества. Их суть в двух словах состоит в том, что благосостояние, обеспеченное техническим прогрессом, стимулирует прогрессивное увеличение численности. Но поскольку рост людей на Земле явление уникальное, то возможность экспериментально проверить истинность теорий отсутствует. По этой причине к объяснениям гиперболического роста приходится относиться только как к гипотезам.

Здесь будет предложен иной метод исследования динамики народонаселения. Математически он очень прост, но не имеет своей целью объяснение факта почти гиперболического роста. Его результат — меняющийся во времени, но ограниченный по амплитуде индекс народонаселения. В силу этой ограниченности он более удобен для сравнения его с вариациями климата.

Сравнение данных по народонаселению и их аппроксимаций

Обратимся к результатам недавних исследований изменения народонаселения за последние два тысячелетия, показанным на рис. 1. В течение последних 70 лет данные из двух источников совпадают с точностью 0,5%, что в логарифмической шкале неразличимо. Расхождения в течение остального времени использованы для определения переменного уровня ошибок, с избытком покрывающего их разность.

Рис. 1. Мировое народонаселение. Красная кривая показывает данные Всемирного банка; оранжевая ломаная — данные сайта Worldometers. Две синие штриховые гиперболы построены по приближениям Фёрстера (верхняя) и Капицы (нижняя), красная — по формуле (1). На врезе синяя кривая есть функция N −1 (t), обратная народонаселению, голубая заливка вокруг нее — область возможных ошибок, штриховая синяя кривая — ее квадратичное приближение A(t)

Функция, обратная к гиперболе, вблизи асимптотической точки линейна по времени. Поэтому имеет смысл анализировать обратную функцию N −1 (t). Эта функция пропорциональна плотности людей, равномерно распределенных по площади суши или по всему земному шару. Аппроксимация почти линейной функции позволяет увеличить точность. Найдем ее квадратичное приближение:

Здесь t₀ = 2063 ± 5 есть момент асимптотической бесконечности. Первый, линейный, член (1) при обращении дает гиперболическую зависимость N(t) ≈ 247/(t₀ − t) (в миллиардах человек). Второй, квадратичный, член описывает отклонения от гиперболы при ранних временах. Функция N −1 (t) и ее приближение A(t) показаны на врезе рис. 1.

Отметим, что момент асимптотики t₀ с улучшением статистики заметно вырос. У Фёрстера и Капицы он приходился на 2025–2027 гг., а для современных данных отдалился до 60-х годов текущего столетия.

Возможные ошибки использованных данных можно оценить, сравнивая данные разных источников. Естественно, они довольно велики в начале нашей эры и в Средневековье, но для последних двух столетий в логарифмическом масштабе ошибки незаметны.

Найдем относительную разность между фактической численностью народонаселения и его параболической аппроксимацией:

Эта функция безразмерна и ограниченна. Ее среднее значение на интервале (1–2000) почти равно нулю. Максимумы соответствуют ускоренному росту населения, минимумы — его замедлению, глубокие минимумы — падению численности людей, что случалось довольно редко. Назовем функцию I_P(t) индексом народонаселения. Он вместе с интервалом ошибок изображен на рис. 2, где дано его сравнение с вариациями климата.

Рис. 2. Температура приземного воздуха и индекс народонаселения. Красными точками показана температура [11], смещенная вверх на 0,35°, красной кривой — усреднение точечных данных по скользящему интервалу 100 лет. Синяя кривая — индекс народонаселения (голубая заливка — диапазон ошибок). Среднее значение обеих кривых по интервалу 50–1930 гг. равно нулю

Индекс народонаселения и вариации климата

Суша Земли расположена преимущественно в Северном полушарии, где и обитает большая часть человечества. Глобальный климат определяется главным образом состоянием поверхности океана, а для нашей задачи основной интерес представляет климат полушария за последние два тысячелетия. Есть несколько исследований [10–12], которые восстанавливают региональные и средние температуры суши по историческим хроникам и косвенным данным. Последние состоят из результатов дендрохронологического и изотопного анализов озерных осадков и сталагмитов пещер. Очень важна и методика обработки этих разнородных данных. Их дисперсия в любом случае оказывается высокой. В качестве основной базы данных был выбран список температур с 1-го по 1979 г. [11] и его столетняя скользящая средняя. Поскольку для сравнения с индексом представляют интерес только относительные вариации температуры, то исходные данные на графике смещены вверх на 0,35° с целью обнуления средней температуры по интервалу (1–1979).

События истории на фоне климата и народонаселения

Посмотрим на рис. 2, вспоминая историю. В течение первой тысячи лет не было заметных экстремумов ни температуры, ни индекса мирового населения: их максимумы и минимумы лежат в пределах ошибок. Тем не менее рост и убывание индекса населения отвечают расцвету и падению Римской империи, а небольшой климатический минимум VI в. предваряет длительный застой индекса в Средневековье.

Первый существенный максимум температур отмечен в XI в., он называется средневековым климатическим оптимумом. За ним вскоре последовал и максимум народонаселения. Растущая плотность населения Европы, возможно, стала одной из причин походов крестоносцев XII–XIII вв. Не исключено также, что экспансия монголов, начавшаяся в XIII в., также была следствием средневекового климатического оптимума. Но в этом случае личная роль Чингисхана оказалась настолько значительной, что влияние климата на монгольские завоевания не выглядит убедительно.

Температурный минимум конца XIII в. привел к Великому голоду 1315 г., обезлюдившему значительную часть Европы. За ним последовала «Черная смерть» — чума, начавшаяся в Азии в 1330-х и продолжившаяся в Европе в 1340–1350-х годах. Восстановление населения после этих двух катастроф происходило очень медленно: индекс достиг максимума только через 150 лет, после небольшого потепления в начале XV в. Но вскоре, в начале XVII в., наступило существенное похолодание, известное как малый ледниковый период. За ним последовало падение индекса, а минимум народонаселения пришелся на окончание XVII в.

Причины запаздывания отклика на вариации климата

Разница между последовательными экстремумами температуры и индекса народонаселения оказалась весьма значительной, она составляет 103 ± 23 года (табл.). Такое запаздывание подтверждает корреляционная функция температуры и индекса народонаселения, она имеет максимум при запаздывании индекса на 91 год.

Таблица. Экстремумы температуры и индекса населения

В чем же причины такой задержки индекса на 3–4 поколения относительно температуры? Одна из них очевидна: от максимума рождаемости до максимума населенности (и от минимума рождаемости до минимума населенности) проходит время, близкое к средней продолжительности жизни. В течение последних двух тысячелетий она менялась, поэтому для оценки будем считать ее равной 50 годам. Но максимум рождаемости тоже не обязан быть близок по времени к периодам роста урожайности, которые в Северном полушарии долго были связаны с потеплением климата. Между ними пролегало время постепенного накопления богатства (или траты накопленного добра при плохих урожаях либо стихийных бедствиях). Длительность периода смены благосостояния трудно определить количественно, для оценки можно принять те же два поколения. В сумме и получится примерно столетие запаздывания.

Нарастающие противоречия динамики народонаселения и потепления климата

Число людей, как видно из рис. 1, изменяется во времени достаточно гладко. Причина непрерывности функции N(t) и ее первых производных ясна из исторического анализа: численность населения отстает от момента изменения рождаемости на среднюю продолжительность жизни. Конечно, разрывность этой функции в принципе может возникнуть вследствие неожиданной пандемии или, скажем, падения на Землю крупного астероида. Если считать вероятности этих событий низкими, то реальны предсказания численности людей на Земле на достаточно длительные сроки. В настоящий момент ожидаемая продолжительность жизни по разным странам варьируется от 50 до 83 лет, а по миру в среднем она составляет 67 лет. Таким образом, можно было бы оценить численность человечества примерно до 2085 г. К сожалению, так это не получается.

Есть разные методики предсказания будущего народонаселения планеты. Наиболее распространенный подход основан на предположении, что в будущем число людей должно достичь некоторого предела в диапазоне 10–12 млрд человек, и эта численность окажется устойчивой. Плавный переход к этому пределу предполагает, что ежегодный прирост численности будет монотонно убывать до нуля и около него остановится. Но принципиального запрета отрицательного прироста населения не существует.

Здесь для предсказания будут использованы методы экстраполяции как прямой, так и обратной численности народонаселения; последний близок к способу, примененному для интерполяции в начале этой статьи; ранее он использовался в работах [13, 14]. При этом мы будем искать экстраполяции в виде полиномов разной степени, оставляя только те из них, которые приводят к максимуму численности, а не уходят в бесконечность. Поэтому среди полиномиальных приближений обратной функции N −1 (t) оставим лишь те из них, которые не пересекают нуля.

Используются данные о народонаселении Всемирного банка за 1950–2015 гг. (будем обозначать эти данные и результаты экстраполяций как A), а также сайта Worldometers за 1951,5–2018,5 гг. (обозначим их B). Оказалось, что небольшие различия исходных данных A и B в 1980–1990-х годах приводят к существенной разнице в прогнозах.

Прямая экстраполяция численности мирового народонаселения N(t) дает только кубические полиномы с максимумами, обозначим их как A и B; полиномы остальных степеней неудовлетворительны, поскольку на больших временах они устремляются к бесконечности.

Экстраполяции обращения N −1 (t) исходных данных численности полиномами от третьей до седьмой степени изображены на рис. 3. При этом полиномы четвертой степени пересекают нуль и, следовательно, не представляют дальнейшего интереса для прогноза. Приближения пятой, шестой и седьмой степеней обоих исходных данных оказались близкими друг к другу, что повышает вероятность развития по этим сценариям по сравнению с кубическими экстраполяциями.

Рис. 3. Обратная численность (плотность) народонаселения с 1950 г. по настоящее время (синяя кривая, исходные варианты А и В неразличимы) и ее экстраполяции полиномами. Степени полиномов обозначены после букв А или В. Полиномы четвертой степени пересекают нуль, эти экстраполяции неприемлемы. Экстраполяции А5, А6, А7, а также В5, В6, В7 близки между собой. Область наиболее вероятных прогнозов плотности населения показана голубой заливкой для вариантов А и синей для В

Прогнозы численности человечества, полученные всеми перечисленными способами, показаны на рис. 4. Максимумы народонаселения, соответствующие разным степеням экстраполяций В, оказались достаточно близкими по времени: 2039 г. для кубической аппроксимации при численности 8,1 млрд и 2045–2046 гг. при численности 9,8–10,4 млрд человек. Экстраполяции обратных данных A приводят к худшей предсказуемости, их максимумы лежат в более широких диапазонах по сравнению с вариантами B, они отстоят дальше по времени. Максимальное народонаселение Земли в диапазоне 12,5–13,5 млрд человек достигается при обращении экстраполяций A5, A6, A7 в 2055–2060 гг., после чего происходит резкое снижение численности. Наиболее узкий диапазон дают прямые экстраполяции численности: они проходят свои максимумы в 2049 г. (8,7 млрд) и в 2057 г. (9,2 млрд).

Рис. 4. Численность народонаселения с 1950 г. по настоящее время (красная кривая), прогноз Worldometers до 2050 г. (черная штриховая кривая), а также обращения полиномиальных экстраполяций плотности населения, показанных на рис. 3 (штриховые кривые). Степени обратных экстраполяционных полиномов показаны цифрами после букв A или B. Области наиболее вероятных прогнозов численности населения показаны розовой заливкой для исходных данных A, красной для данных B, зеленой для прямых экстраполяций A и B третьего порядка

Таким образом, рассчитать численность населения на ожидаемую сегодня продолжительность жизни, т.е. на 60–65 лет вперед, к сожалению, не удается. Надежный прогноз ограничивается всего лишь 40–45 годами, достигая 60-х годов текущего столетия. Причины этой ограниченности кроются как в небольших ошибках исходных данных, так и в том обстоятельстве, что после достижения максимума прогноз становится неустойчивым вследствие непредсказуемого влияния социальных факторов.

Каким именно социальным напряжением будет сопровождаться снижение численности мирового народонаселения, сказать трудно. Предыдущие снижения в течение двух тысячелетий были следствиями неурожаев и пандемий, сравнение предстоящих событий с ними вряд ли уместны. Уменьшение рождаемости в глобальном масштабе уже происходит, и в случае его постепенного продолжения оно не предвещает миру значительных кризисов. Такой сценарий, по-видимому, соответствует кубическим полиномам A и B (рис. 4), т.е. плавному достижению относительно невысокого максимума около 9 млрд человек и последующему плавному снижению. Но вполне вероятным сценарием представляется и достижение высокого максимума около 12 млрд человек, за которым следует снижение численности. В этом случае само падение, более похожее на катастрофу, скорее всего, станет следствием чрезвычайных социальных напряжений.

Используя полученные прогнозы, вычислим индекс народонаселения на будущее и сравним его с предстоящими изменениями климата. Ранее мы видели, что индекс уже прошел максимум в 1996 г. Отклонения от гиперболы только нарастают со временем, поэтому снижение индекса продолжится. С климатом ситуация несколько сложнее. Ранее для оценок использовалась температура Северного полушария, рассчитанная до 1979 г. и смещенная на 0,35°. Примерно такой же сдвиг соответствует приведению температурных данных от средней высоты Евразии к уровню моря. Поэтому для оценки температур второй половины будем использовать глобальные данные, которые зависят главным образом от температуры океана.

Начиная с 1996 г. углубляется расхождение между растущей глобальной температурой и падающим индексом народонаселения (рис. 5). Тот факт, что климат теплеет, уже мало у кого вызывает сомнения; два с половиной года назад он был признан мировым сообществом. Напомню, что Парижский климатический договор 2015 г. планирует предельное повышение температуры на 1,5° или 2° к концу столетия. Достижение этих целей требует согласованного снижения выбросов в атмосферу диоксида углерода, т.е. сокращения сжигания ископаемых топлив, в первую очередь угля. Но даже при сокращении выбросов ведущими индустриальными странами, цели, намеченные на 2100 г., труднодостижимы.

Рис. 5. Индекс народонаселения (синяя кривая и синяя заливка прогнозного диапазона) и глобальная температура (красная кривая и розовая заливка диапазона прогнозов). В текущем столетии тенденция их противоположного изменения практически необратима

Возможность их выполнения становится еще более сомнительной, когда в действие вступают непредсказуемые негативные факторы, такие, например, как производство криптовалют. Недавно было отмечено влияние биржевой торговли биткойнами (рис. 6) на выбросы CO₂ * . Производство каждого биткойна сегодня требует объемных вычислений на мощных компьютерах. Они потребляют электроэнергию в количестве, заметном в мировом масштабе [15]. Для ее получения используются в основном ископаемые топлива. Так, в Китае и США в 2017 г. заметно увеличилось сжигание угля. Поэтому выбросы в атмосферу CO₂ в прошлом году возросли, хотя за предыдущий год намечалось если еще не снижение выбросов, то, по крайней мере, их выход на постоянный уровень.

Рис. 6. Курс биткойна и его гиперболическая аппроксимация

Как может сказаться на выбросах парниковых газов сокращение численности мирового населения, которое, вполне вероятно, начнется в 2060-х годах, сказать достаточно сложно. Возможно, даже положительно, если сокращающееся население перестанет сжигать ископаемое топливо ранее сроков, предусмотренных Парижским соглашением. Но может развиться и обратная ситуация: стресс, вызванный убыванием числа людей, приведет к пренебрежению ранее достигнутыми договоренностями. В любом случае что-то планировать на конец текущего столетия затруднительно: никто пока не принимает во внимание, что кризис народонаселения наступит всего лишь через 30–40 лет, и именно он определит дальнейшее развитие событий. Насколько справедливы высказанные здесь прогнозы, станет ясно заметно раньше 2060 г., когда численность человечества станет приближаться к своему максимуму. Осталось ждать недолго.

Подведем итоги. «Встарь, во время оно» потепление климата приводило к ускорению роста населения, а похолодание — к его угнетению. В настоящее время и в ближайшем будущем имеет место обратная ситуация: климат становится теплее, а рост народонаселения все более замедляется.

Литература
1. Bar-On Y. M., Phillips B., Milo R. The biomass distribution on Earth // Proceedings of National Academy of Sciences USA. In print. DOI: 10/1073/pnas.1711842115.
2. Foerster H. von, Mora P., Amiot L. Doomsday: Friday, 13 November, A. D. 2026. At this date human population will approach infinity if it grows as it has grown in the last two millennia // Science. 1960; 132: 1291–1295.
3. Капица С. П. Общая теория роста человечества: Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. М., 1999.
4. Kapitza S. P. Global population blow-up and after: the demographic revolution and information society. Hamburg, 2006.
5. Pollard J. H. Mathematical models for the growth of human populations. Cambridge, 1973.
6. May R. M. Chaos and the dynamics of biological populations // Proceedings of the Royal Society of London A. 1987; 413: 27–44.
7. Cohen J. How many people can the world support? N.Y., 1995.
8. Haub C., Yanagisita M. World population data sheet. Population Reference Bureau. Washington, 1995.
9. McLaren D. Population growth — should we be worried? // Population and Environment: Journal Interdisciplinar Studies. 1996; 17(3): 243–259.
10. Esper J., Cook E. R., Schweingruber F. H. Low-frequency signals in long tree-ring chronologies for reconstructing past temperature variability // Science. 2002; 295: 2250–2253.
11. Moberg A., Sonechkin D. M., Holmgren K. et al. Highly variable Northern Hemisphere temperatures reconstructed from low- and high-resolution proxy data // Nature. 2005; 433: 613–617.
12. Mann M. E., Zhang Z., Hughes M. K. et al. Proxy-based reconstructions of hemispheric and global surface temperature variations over the past two millennia // Proceedings of National Academy of Sciences USA. 2008; 105: 13252–13257. DOI: http://dx.doi.org/10.1073/pnas.0805721105.
13. Бялко А. В. Динамика послевоенного мира // Природа. 1995; 5: 18–25.
14. Byalko A. V., Kauffman G. B. Predicting Our Global Future // The Chemical Educator. 2012; 17: 195–202.
15. Бялко А. В. Биткойн и климат // Природа. 2018; 2: 88–89.

* Заметим, кстати, что цена биткойна в 2017 г. также продемонстрировала уникальное гиперболическое поведение. Но, достигнув своего максимума 19 декабря, она сейчас упала до уровня одной его трети. Поскольку биржевые стоимости безынерционны, то аналогия цены биткойна с численностью мирового населения не приводит к существенным выводам.

Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования
( Mathematical model of population growth, economics, technology and education
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А.
(A.V.Korotaev, A.S.Malkov, D.A.Khalturina)

ИПМ им. М.В.Келдыша РАН

Москва, 2005

Аннотация
Настоящая работа посвящена описанию математической модели развития человечества, охватывающая период последних двух тысячелетий. Модель состоит из трех нелинейных дифференциальных уравнений, но, несмотря на малое число переменных и параметров, с высокой точностью, описывает динамику важнейших факторов человеческой эволюции – демографию, экономику, технологию и образование.
Abstract
The paper concerns a mathematical model of human society development involving last two millennia. The model includes three nonlinear differential equations and despite its relative simplicity, it describes the dynamics of paramount factors of social evolution, such as demography, economics, technology and education, to high precision.
Введение
Человеческое общество – это сложная неравновесная развивающаяся система. Сложность, многофакторность и противоречивость социальной эволюции приводят исследователей к закономерному выводу о том, что любое упрощение, редукция, упущение из виду всего многообразия факторов неизбежно ведет к неверному пониманию изучаемых процессов. Мнение о том, что в истории развития общества не может быть простых общих законов, крепко укоренилось в научных воззрениях, особенно среди представителей гуманитарных наук, непосредственно сталкивающихся в своей деятельности со всем многообразием и непредсказуемостью социальных процессов. Подобные воззрения, однако, – прямой путь к социальному агностицизму, признанию бессмысленности самого изучения общества, ведь задача научного анализа в том и состоит, чтобы выделить основные действующие силы и установить фундаментальные законы, отбросив детали и несущественные отклонения от общих правил. Таким образом, сам научный подход содержит в себе заметную долю редукционизма. Тем не менее человеческое общество действительно слишком сложная система. Возможно ли описать его развитие какими-либо достаточно простыми законами? Современные достижения в области математического моделирования дают однозначный ответ: «Можно». Социальная эволюция действительно подчиняется строгим и достаточно простым макрозаконам.
Математические методы и демография
Грандиозные успехи и бурное развитие физики по сравнению с другими науками во многом было связано с тем, что удалось произвести синтез математических методов и предметного знания. Несмотря на то, что еще в античном мире физические концепции уже отличались достаточно высоким уровнем, именно в новое время внедрение математики позволило гораздо глубже проникнуть в сущность физических законов и предопределило научно-техническую революцию. Однако данный синтез требовал соблюдения важного условия. Математика оперирует с числами, а значит, и мир физики должен был быть переведен на язык чисел. Требовались эффективные методы измерения физических величин, введение шкал и мер. Начиная с измерения простейших величин – длина, масса, время – физики научились измерять заряд, вязкость, индуктивность, спин и многие другие необходимые для построения физической теории величины.
Аналогичным образом конструктивный синтез социальных наук и математики требует введения адекватных способов измерения социальных величин. Так же как и в физике, некоторые величины поддаются относительно несложной оценке, тогда как измерение других требует длительной работы и даже построения вспомогательных моделей.
Одной из наиболее доступных для непосредственного измерения социальных величин является численность людей. Поэтому неудивительно, что именно область демографии привлекает исследователей, давая надежды на успех в построении количественной теории. Примечательно, что и проникновение математических методов в биологию во многом проходило под флагом описания популяционной динамики животных.
Однако несмотря на измеримость данных и, более того, на очевидность формулы, вытекающей из закона сохранения и описывающей демографическую динамику:
, (1)
где N – число людей, B – число рождений и D – число смертей в единицу времени, на микроуровне оказывается, что и число рождений, и число смертей зависят от многих других социальных параметров, и в том числе от «человеческого фактора» – принятия решений отдельными людьми, слабо поддающегося формализации.
Кроме того, формула (1) не учитывает перемещения людей в пространстве, а следовательно она должна быть расширена:
,
где вектор J соответствует миграционному потоку. В этом случае задача еще больше усложняется, поскольку миграционные процессы еще сильнее подвержены влиянию внешних факторов.
Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, этические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.
Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, не вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже.
Биологические процессы рождения и смерти характерны не только для людей, но и для любых животных. Поэтому вполне естественным шагом является попытка описания демографических моделей с применением хорошо зарекомендовавших себя популяционных моделей, использующихся в биологии [11].
Базовой моделью, описывающей динамику популяции животных, является логистическая модель, предложенная Ферхюльстом [39]:
, (2)
которое можно также представить в виде
, (3)
где первая скобка соответствует числу рождений B , а вторая – числу смертей D в формуле (1), а r , K , a ₁ , a ₂ , b – положительные коэффициенты, связанные соотношениями
r = a ₁ – a ₂ и ,
Логика уравнения (3) такова: рождаемость a ₁ является постоянной, таким образом, число рождений B = a ₁ N пропорционально численности популяции, естественная смертность a ₂ также считается постоянной, а квадратичная добавка bN 2 в выражении для полной смертности D = a ₁ N + bN 2 возникает из-за ограниченности ресурса, не позволяющей популяции бесконечно расти. Коэффициент b называют коэффициентом внутривидовой конкуренции.
В итоге, динамика популяции, описываемой логистическим уравнением, имеет следующий вид. Вначале, когда численность животных мала, наблюдается экспоненциальный рост с показателем r = a ₁ – a ₂ . Затем, по мере заполнения экологической ниши, рост замедляется и, в конечном счете, численность популяции выходит на постоянный уровень K .
Значение параметра K , называемого емкостью экологической ниши популяции, принципиально. Эта величина определяет равновесное состояние в динамике популяции при заданных ресурсных ограничениях и определяет пределы ее роста.
Другой известной популяционной моделью является модель Лотки-Вольтерра [2], известная как «хищник-жертва». Она описывает динамику популяций двух взаимодействующих видов, один из которых является основной пищей для другого, и состоит из двух уравнений вида (1):
, (4)
где x – численность жертв, y – численность хищников, A , B , C , D – коэффициенты.
Данная модель, аналогично (2), предполагает, что число рождений жертв пропорционально их численности. Число смертей хищников также пропорционально их численности. Что же касается смертности жертв и рождаемости хищников, то тут имеет место системный эффект. Считается, что жертвы в основном гибнут из-за контакта с хищником, а рождаемость хищников зависит от наличия пищи – жертв. В модели предполагается, что в среднем число контактов жертв и хищников пропорционально численности обеих популяций, что и дает выражение Bxy для количества смертей жертв и Cxy – для числа рождений хищников.
Данная модель демонстрирует циклическую динамику. Рост численности жертв приводит к росту хищников, рост хищников вызывает сокращение жертв, сокращение жертв ведет к сокращению хищников, а при малом количестве хищников жертвы вновь начинают бурно размножаться.
Описанные популяционные модели имеют чрезвычайно широкое применение в биологических исследованиях. Разумно предположить, что и для человека, коль скоро он также имеет биологическую природу, должны выполняться подобные соотношения или их аналоги.
В глубокой древности, когда человек мало отличался от животного, по всей видимости, модели (2)–(4) могли бы быть применены в полной мере. Однако с появлением у человека новой среды обитания – социальной, прямое применение описанных моделей уже не вполне адекватно. В частности, модель (2) предполагает заданную внешними условиями емкость экологической ниши (которая в социальных моделях часто называется потолком несущей способности земли), однако опыт развития человечества показывает, что на протяжении всей истории этот потолок постоянно поднимался, следуя собственным законам развития, и, следовательно, он не может считаться постоянным и задаваемым внешними условиями. Человек способен преобразовывать эти условия.
Что же касается модели (4), то в прямом смысле она вообще неприменима, так как человек на ранних этапах эволюции научился эффективно обороняться от хищников и, следовательно, не может являться «жертвой» в модели, а с другой стороны, он научился не зависеть от колебаний численности жертв, на которые он охотится, следовательно, он не может быть и «хищником», поскольку хищники в модели очень чувствительны к изменению числа жертв.
Тем не менее модель (4) может находит новое, нетрадиционное применение в демографических моделях. В частности, она может быть применена для описания колебаний численности населения, обнаруженных практически у всех аграрных обществ [7]. В роли жертвы выступает население, а в роли хищника – социальная нестабильность, войны, голод, эпидемии, вероятность возникновения которых увеличивается по мере того, как растущее население приближается к потолку несущей способности.
Демографические циклы сами по себе являются очень интересным предметом математического исследования. В последнее время эта тема активно разрабатывается [5], [33], [38] и др.
Гиперболический рост населения Земли и модель С.П. Капицы
Модели демографических циклов хорошо согласуются с историческими данными и описывают динамику населения на временных масштабах порядка столетий, однако если рассмотреть тот же демографический процесс, но на гораздо большем масштабе – если проследить динамику человечества на протяжении всего времени его существования, то перед нами предстанет совсем иная картина. Численность человечества растет по гиперболическому закону.
Впервые этот феномен был отмечен в 1960 году фон Форрестером, Мора и Эмиотом [21]. Они провели статистическую оценку демографических данных и обнаружили, что кривая роста населения Земли лучше всего аппроксимируется кривой
, (5)
где C и t ₀ – константы, причем t ₀ – соответствует 13 ноября 2026 года. Согласно этой формуле в этот день численность человечества должна уйти в бесконечность.
Противоестественность такого вывода, вытекающего из четко прослеживаемой за многие тысячи лет человеческой истории тенденции, вызвала большое внимание к данной работе и попытку объяснения таких парадоксальных наблюдений. В самой статье Форстер с соавторами также пытается найти объяснения столь неожиданным эмпирическим наблюдениям. Он начинает теоретические построения, отталкиваясь от уравнений (1) и (3), вполне объяснимых с точки зрения популяционной динамики, однако не описывающих процесс роста населения Земли. Для того чтобы модель могла описать этот процесс, Форстер обращается к бурно развивающейся в его время теории игр и предлагает рассматривать процесс развития человечества как игру двух игроков – человека и природы. В данном случае все человечество представляет собой одну коалицию, которое ведет игру тем эффективнее (снижение естественных рисков, улучшение условий жизни), чем больше численность населения, формирующей эту коалицию. Моделирование подобной ситуации он предлагает реализовать с помощью введения нелинейности в виде
,
где a ₀ , k – константы, которые должны быть определены из эксперимента. Собственно анализ экспериментальных данных Форстера определяет значения a ₀ = 5,5 10 -12 и k = 0,99 , что дает гиперболическое уравнение для роста населения:
,
которое, считая k равным единице, более кратко записывается как (5).
Характерно то, что работа [8] вышла в свет в 1960 году, в то время, когда гиперболическая зависимость выражалась наиболее явно. Начиная с шестидесятых годов XX века реальная динамика народонаселения Земли стала все больше отходить от гиперболической кривой, и к настоящему времени темпы роста населения резко понизились (рис.1). Наблюдается то, что получило название глобального демографического перехода. Форстер с соавторами опубликовал статью буквально накануне резкого перелома 1960-1970 годов, в течение которых наблюдались максимальное за всю историю значение темпов прироста населения – 2,19 % в год, сменившееся последующим резким падением. Тем не менее Форстер предвидел снижение темпов роста и фактическое изменение закона роста человечества, действовавшего на протяжении всей его истории. Он явно пишет о необходимости снижения рождаемости, по крайней мере в два раза по сравнению с уровнем 1960 года ( 3.45%) во избежание серьезных катаклизмов. Курьезно, но уже через три года прогноз начал стремительно сбываться и прежний рост разрыва между смертностью и рождаемостью сменился резким сокращением. В дальнейшем мы покажем, что именно закономерное сокращение рождаемости, обусловленное новым режимом развития, является основным двигателем демографического перехода.
Несмотря на разрешение парадокса бесконечного роста, научный интерес к глобальной демографии не ослаб, наоборот, вместо одной загадки – «почему в течение всей истории наблюдался гиперболический рост народонаселения?» появилась еще и вторая: «почему сейчас, за микроскопическое, по историческим масштабам, время происходит нарушение закона, действовавшего тысячи и тысячи лет?»
Наиболее фундаментальными работами в области глобальной демографии, описывающими демографические процессы и дающими ответы на оба поставленных вопроса, по праву считаются работы С.П. Капицы [3, 4].
В отличие от демографических моделей, строящихся на биологических предположениях типа (1), (2), что рост населения пропорционален самому населению, то есть, по сути, в предположении, что рождаемость и смертность мало меняются со временем:
, (6)
где a – константа, Капица предлагает использовать квадратичную зависимость для скорости роста:
, (7)
где C – константа.
Уравнения вида (7) хорошо изучены [10] и их решения известны как режимы с обострением. Характерная черта таких уравнений состоит в том, что в некоторый конечный момент времени t ₀ решение уходит в бесконечность.
Что же касается самого уравнения (7), то его решением как раз и будет полученная эмпирически формула (5), где t ₀ зависит от начальных условий. Таким образом, уравнение (7) удовлетворительно описывает эмпирическую зависимость (5) и может выступать в роли модели демографического процесса.
Однако если трактовка линейного уравнения (6) достаточно прозрачна и вытекает из усреднения биологических процессов, то квадратичный рост (7) требует своего объяснения и обоснования.
С.П. Капица видит причину квадратичной зависимости в том, что человечество представляло собой единую систему, внутри которой происходят парные взаимодействия по обмену информацией и скорость роста отдельных частей существенно зависит от общего размера всей системы. Именно информационные взаимодействия, по мнению С.П. Капицы, являются основным механизмом, отличающим человека от остальных животных, для которых характерен линейный закон (6).
Таким образом, С.П. Капица дает объяснение квадратичному росту населения Земли. Что касается второй загадки – демографического перехода, то для описания этого явления С.П. Капица модифицирует модель следующим образом.
Поскольку рост человечества, согласно уравнению (7), зависит исключительно от размера популяции и не зависит ни от каких внешних условий и ресурсных ограничений, то логика диктует искать причину демографического перехода также внутри человека, поскольку никакие ресурсные ограничения не могли на протяжении тысячелетий остановить процесс роста, да и в нынешнее время переход происходит не из-за ресурсного кризиса, так как подушевой доход постоянно растет. Для Капицы особо важным параметром видится характерное время жизни человека τ = 42 года, определяемое «внутренней предельной способностью системы человечества и человека к развитию».
Этот параметр появляется в различных статистических оценках, в частности, Капица отмечает, что демографический переход происходит за характерное время, равное удвоенному τ.
Если подставить в квадратичное уравнение роста (7) решение (5), то его можно записать в виде
. (8)
В свою очередь, для того чтобы описать демографический переход, Капица вводит в это уравнение параметр τ:
_{. (9)}
Полученное уравнение уже не дает обострения – ухода решения в бесконечность. Напротив, при такой модификации численность населения стабилизируется на уровне 10‑12 миллиардов человек, что согласуется с прогнозами демографов.
Более того, уравнение (9) позволяет получить аналитическую формулу для численности населения:
, (10)
где t ₁ – параметр, равный 2000 году нашей эры – середине демографического перехода.
Работы Капицы убедительно показали, что рост населения Земли можно описать математически, фактически не вводя никаких дополнительных переменных, то есть, по сути, не привлекая никаких дополнительных факторов. Этот эффект дает основания для провозглашения «демографического императива» – признания первостепенной и самодостаточной роли демографии в истории развития человеческого общества.
Тем не менее ни основное уравнение (7), ни его модификация (9), описывающая эффект демографического перехода, не раскрывают сути действующих законов, оставаясь на феноменологическом уровне констатацией обнаруженной эмпирической закономерности. Изящность демографического императива делает привлекательным подобный подход, но она же и невольно мистифицирует полученные результаты. С математической точки зрения имеющиеся демографические данные – это реализация некоторого процесса, интегральная кривая, а уравнения (7) и (5) эквивалентны, поскольку одно является дифференциальной формой записи другого.
Однако, несмотря на математическую эквивалентность обоих выражений, различие в форме записи диктует различие в их интерпретации. Так, если уравнение (7), в которое входит единственная переменная N , создает предпосылку для провозглашения демографического императива, то уравнение (5) – является отправной точкой для эсхатологических выводов, наиболее явно сформулированных в названии самой первой работы [21], обратившей внимание на факт гиперболического роста населения Земли. Название этой работы « Doomsday : Friday , 13 th November , A . D . 2026» (Конец света: пятница, 13 ноября 2026 года от Рождества Христова), выдвигает совсем иной тезис – развитие человечества связывается отнюдь не с принципиальной ролью демографии, а с фиксированной временной точкой, входящей в уравнение (5) как t ₀ . Чтобы подчеркнуть роль временной сингулярности, то же уравнение можно записать в эквивалентной форме:
. ( 11 )
Но тогда по аналогии с выводом из уравнения (7) можно сказать, что на рост населения не влияет ничего, кроме загадочной даты 13 ноября 2026 года.
Таким образом, обнаруженная эмпирическая закономерность и даже ее удачная математическая интерполяция сами по себе не дают понимания фундаментальных законов. По всей видимости, абсолютизация одного фактора (демографии или сингулярности во времени), действительно является примером чрезмерной редукции, игнорированием других не менее важных факторов развития. Поскольку и излишняя редукция, и полный отказ от какой-либо редукции ведут к одному и тому же результату – мистификации и стоящему за ней агностицизму. Выход из этой ситуации может быть только один – необходимо найти золотую середину. Степень упрощения системы должна быть ровно таковой, чтобы количество включенных факторов было с одной стороны минимально необходимым для описания наблюдаемых эмпирических закономерностей, а с другой стороны – достаточным для того, чтобы входящие в модель зависимости предполагали четкую и понятную, согласующуюся с повседневной логикой интерпретацию.
Модель роста населения Земли и технологии М. Кремера
Демографический императив С. П. Капицы имеет своим следствием достаточно смелое утверждение о том, что рост численности населения на протяжении десятков тысяч лет зависел только от самой численности населения и, судя по адекватности описания, даваемого формулой (7), никак не связан ни с какими другими внешними факторами, такими, как, в частности, факторы окружающей среды, производственные силы, ресурсные ограничения. Таким образом, логично заключить, что рост численности населения, обусловленный, что важно, четким детерминированным законом, не имеет той материалистической основы, которую принято предполагать в моделях популяционной динамики – потолок несущей способности среды (2). С.П. Капица совершенно справедливо отмечает, что происходящий демографический переход никак не связан с ресурсными ограничениями. Наблюдаемое сейчас быстрое снижение темпов роста населения наблюдается на фоне роста ресурсной базы.

Рис.1. Темпы роста населения Земли
Действительно, если рассмотреть график темпов роста населения, то в глаза бросается стремительное падение темпов роста, произошедшее за последние несколько десятков лет – микроскопическое по историческим масштабам время. Общий вид графика, его колебательный характер, может подтолкнуть к мысли, что, вполне возможно, нынешнее падение темпов роста – это проявление одного из циклов, которых за историю было немало и что это временное явление, которое в скором будущем сменится столь же стремительным ростом. Однако это логичное заключение имеет серьезный изъян. В действительности, нынешнее падение темпов роста коренным образом отличается от спадов и колебаний прошлого. Это не очередное колебание, это – переход на новый, не типичный для всей прежней истории, режим развития. Если все предыдущие спады были вызваны прежде всего увеличением смертности вследствие различных катаклизмов – войн, голода, эпидемий, и по мере завершения этих бедствий человечество быстро восстанавливалось и выходило на прежнюю траекторию, то нынешнее падение вызвано качественно отличными причинами – резким снижением рождаемости. Это снижение связано не с приближением к потолку несущей способности среды, а с причинами, заключенными в самом человеке. С.П. Капица подчеркивает информационный аспект развития общества, доминанту психологии и поведенческих функций над ресурсными и прочими материальными факторами.
Убедительность данного подхода, опирающегося на строгую математическую теорию, на логичные выводы из уравнения (7), показывающего феноменальное совпадение с эмпирическими данными, тем не менее, встречает достаточное сопротивление в среде исследователей, традиционно придерживающихся примата материального перед идеальным. Многовековая экономическая традиция, связывающая любые изменения в социуме прежде всего с ресурсно-производственными изменениями, естественным образом видит рост населения не самопричинным явлением, а всего лишь следствием развития экономических отношений и роста производительности труда. Основное положение было сформулировано еще в XVIII веке Томасом Мальтусом [31]. Его можно сформулировать следующим образом:
«На протяжении большей части существования человечества рост его численности на каждый данный момент времени был ограничен потолком несущей способности земли, обусловленным наблюдаемым в данный момент времени уровнем развития жизнеобеспечивающих технологий».
В той или иной форме данное положение использовалось многими более поздними исследователями [15], [19], [20], [23], [26], [27], [35]. Таким образом, многочисленные работы на стыке экономики и демографии отдают главную роль именно экономико-технологическому фактору, предполагая демографическую составляющую подчиненной, что коренным образом противоречит идее демографического императива и выдвигает императив экономический.
Примечательно, что, как и теория С.П. Капицы, данное направление опирается и на эмпирические данные, и на математические модели, также дающие замечательное совпадение с демографическими данными, но по-своему их трактующие.
Наиболее математизированной и разработанной работой в этой области представляется работа Майкла Кремера [27] « Population Growth and Technological Change : One Million B . C . to 1990». (Рост населения и технологические изменения: от одного миллиона лет до нашей эры до 1990 года). В этой работе представлены сразу несколько моделей, с разных сторон описывающих процесс взаимного роста численности населения и уровня технологии.
Простейшая модель, предлагаемая Кремером, предполагает, что производство продукта зависит от двух факторов: уровня технологии и численности населения. У М. Кремера для величин используются обозначения Y – производимый продукт, p – численность населения, A – уровень технологии и т.п., мы же при описании запишем его модель в обозначениях, используемых в предложенной нами модели и более близких к обозначениям С.П. Капицы, не искажая при этом сути уравнений М. Кремера.
Кремер считает, что совокупный производимый человечеством продукт равен
,
где G – общий продукт, T – уровень технологии, V – используемые земельные ресурсы, 0 α V в результате нормализации приравнивается к единице (что также спорно, поскольку используемые для производства территории серьезно расширялись со временем). В любом случае, уравнение для производимого продукта в результате имеет вид:
, (13)
где r , α – некоторые константы.
М. Кремер использует положение Мальтуса (12), переформулировав его следующим образом: «В упрощенной модели будем считать, что численность населения мгновенно приближается к равновесному уровню ». Величина в его модели соответствует уровню населения, при котором оно производит на душу населения равновесный продукт , такой, что население увеличивается, если подушевой продукт выше , и уменьшается, если подушевой продукт меньше .
Равновесный уровень населения , таким образом, равен
. ( 1 4)
Таким образом, уравнение для численности населения фактически не является динамическим. В модели М. Кремера динамика заложена в уравнение для технологического роста, который, как отмечалось в широкой среде исследователей-экономистов, рассматривается как первичный фактор развития человечества, в частности, вызывающий рост населения. М. Кремер уделяет большое внимание этому фактору, анализируя различные гуманитарные концепции и математические модели роста технологии.
Наряду с другими исследователями [13], [14], [22] он исходит из Босерупианского [18] предположения о том, что рост населения подталкивает людей к разработке новых технологий, и, в конечном счете, рост технологии пропорционален населению. Данный тезис ранее выдвигался С. Кузнецом [28] и Саймоном [37] в формулировке «Большее население означает большее количество потенциальных изобретателей». Кремер уточняет его: [27, c.685]
«Простая модель предполагает, что при прочих равных, вероятность изобретения чего-либо одним человеком не зависит от численности населения. То есть среди большего населения будет пропорционально больше людей, достаточно удачливых и сообразительных, чтобы предложить новые идеи».
Математически данное положение М. Кремер выражает как
, (16)
где b – средняя продуктивность работы одного изобретателя.
Как ни странно, но материалистическое предположение о ведущей роли экономики и развития производственных сил в развитии человеческого общества, в конечном счете, сводится к уравнению, которое явно апеллирует к сознательной деятельности человека, его способности к поиску технических решений. Понятно, что попытка формализовать и вывести законы процесса открытий новых законов неизбежно вызывает град критики. Весьма сомнительным, в частности, кажется введение постоянной средней продуктивности работы изобретателя. Одни изобретения являются судьбоносными, другие – вспомогательными, а подавляющая часть мелких усовершенствований вообще не привносит сколь-либо существенных изменений в общий технологический уровень. И хотя мы имеем достаточно примеров эффективного осреднения, например осреднения, позволяющие говорить о температуре или давлении идеального газа, в этих случаях мы сталкиваемся с вполне определенными законами распределения, для которых осреднение имеет смысл. В любом случае введение любого осреднения требует четкого математического обоснования и явной эмпирической верификации. Таким образом, несмотря на материальные основы экономики, ключевой фактор инноваций опять же, по выражению Ф. Фукуямы, «лежит в области духа».
Тем не менее то, что изобретения происходят в сознании людей и являются следствием творчества, не означает, что можно легко закрыть вопрос о каком-либо изучении данной темы, провозгласив, что человеческое сознание слишком сложно для описания и никому никогда не удастся в него проникнуть, а тем более описать формально. Тот факт, что новые технологии появляются в результате акта творчества, отнюдь не значит, что технический прогресс имеет субъективную природу. У него есть вполне объективные, не зависящие от человеческого сознания причины.
Рост технологического уровня вовсе не ограничивается актом изобретения. Для того чтобы оно утвердилось и внесло вклад в общий технологический уровень, необходимо также, чтобы оно победило в конкурентной борьбе с возникшими ранее технологиями, допускало внедрение и тиражирование – то есть было адекватно существующим технологиям, а также оно должно пространственно распространиться. Таким образом, если изобретение дает слишком малые преимущества по сравнению с текущим уровнем, то оно, скорее всего, не утвердится в конкурентной борьбе, которая обладает большой инерцией, а если же оно слишком революционно, то у него также малые шансы на утверждение, поскольку общий уровень технологии слишком низок для его обслуживания. Так было с изобретениями Леонардо да Винчи, так получилось с пилотируемой космонавтикой, которая не оправдала ожиданий бума космических путешествий в конце XX века, то же можно сказать и о многих изобретениях древности, не дошедших до нас, поскольку они не были поддержаны существующим на тот момент уровнем технологии. В итоге успех имеют те инновации, которые продвигают технологический уровень на величину, одновременно не слишком малую и не слишком большую по сравнению с текущим уровнем.
Таким образом, озарение изобретателя – это только флуктуация, во многом случайная мутация, которая затем проходит более суровый и объективный отбор, жестко связанный с текущим уровнем технологии. При этом интенсивность флуктуаций – число изобретений и (что не менее важно) попыток их внедрения, также является важным фактором наряду с технологическим уровнем.
Эти объективные, не зависящие от сознания человека механизмы, фактически и определяют общий смысл соотношения (16).
В любом случае сам М. Кремер понимает уязвимость столь простого описания развития технологии. Действительно, хотя очевидна зависимость роста от текущего уровня и от интенсивности изобретений, эта зависимость вовсе не обязана быть линейной (если обратное не доказано эмпирически). Поэтому Кремер апеллирует к уравнению роста технологии С. Джонса [25]:
,
где – показатель, не равный единице и связывающий текущий уровень технологии со скоростью ее прироста. С математической точки зрения, в случае если > 1, с ростом технологии наблюдается ускорение относительных темпов роста, то есть, по сути, увеличение относительной производительности одного изобретателя, если же c .689], что вполне возможно, что все-таки = 1, то есть модель (16) верна, ссылаясь на долгосрочные экономические тренды роста технологии [36].
Наконец, дабы охватить все возможные зависимости, Джонс предлагает также ввести степенную зависимость для численности населения, получая наиболее общее уравнение:
. ( 1 7)
Таким образом, в общем случае относительная производительность одного изобретателя зависит и от текущего уровня технологии, и от количества других изобретателей.
Опираясь на данное уравнение, М. Кремер модифицирует свою модель и дает оценки для параметров , .
В результате общая модель, учитывающая рост населения и технологии, удовлетворительно описывает гиперболический рост населения, но, даже несмотря на искусственное снижение темпов роста, связанное с тем, что A – разница между рождаемостью и смертностью как функция от g – доход на душу населения, который в модели рассчитывается как g = G / N , то есть общий продукт G , полученный по формуле (13) и поделенный между N членами популяции.
Рис.2. Зависимость рождаемости от доходов в модели Кремера
Из графика видно, что если продукт, приходящийся на одного человека, меньше, чем критическое значение , то наблюдается депопуляция, если он больше, но ненамного, то идет рост населения, если же общество становится достаточно богатым, то рост населения резко сокращается, поскольку богатые семьи не склонны иметь много детей.
Благодаря введению такой нелинейной функции у М. Кремера возникает возможность описания демографического перехода. Однако полученная в результате модель обладает рядом недостатков:
1. Введение функции A ( g ) ведет к дополнительному усложнению модели, поскольку для ее описания нужно вводить в модель несколько новых параметров, которые, наряду с , и другими коэффициентами следует эмпирически оценивать, то есть модель из двух уравнений оказывается перегружена коэффициентами, что не всегда оправдано, так как не все посылки легко верифицируемы.
2. Модель демографического перехода, включающая функцию A ( g ), хотя и опирается на правдоподобные допущения о том, что большие заработки соответствуют меньшей рождаемости, а низкие заработки – высокой рождаемости, не может быть принята. Против этой модели явно говорит нынешняя ситуация в России – резкое снижение уровня доходов вовсе не вызвало всплеска рождаемости, как это предсказывает функция A ( g ).
Таким образом, необходимо искать иные, хотя, вероятно, и близкие причины демографического перехода. Возможно, для адекватного описания процесса придется увеличить число динамических переменных и рассмотреть динамику еще одного показателя наряду с численностью населения и уровнем технологии. Добавление еще одной переменной не обязательно должно вызвать нежелательное усложнение модели, поскольку оно может привести к сокращению числа параметров и упрощению зависимостей.
Любопытно также отметить, что опять же, несмотря на материальный экономический императив работы М. Кремера, причины демографического перехода он видит в человеческом факторе – сознательном ограничении рождаемости при высоком уровне доходов.
В итоге работа М. Кремера дала очень серьезное и правдоподобное описание гиперболического роста населения Земли, опиралась она прежде всего на экономические механизмы и дала при этом не худшие результаты, чем теория С.П. Капицы. Однако в той части, где она касалась демографического перехода, ее объяснение все еще нельзя считать достаточным, даже несмотря на сильное усложнение модели и введение нескольких дополнительных параметров.
Модель роста жизнесберегающих технологий А.В. Подлазова
Таким образом, если причины гиперболического роста к настоящему времени оказались достаточно хорошо объяснены, то механизм глобального демографического перехода пока остается загадкой. Попытка объяснить это явление, найти объективные причины пределов роста была предпринята в работах А.В. Подлазова [8], [9], [34].
В них фактически проведен синтез обеих описанных теорий. С одной стороны, он, подобно М. Кремеру, видит причины гиперболического роста в совместном процессе роста человечества и технологии. С другой стороны, причину демографического перехода, как и С.П. Капица, он ищет в самом естестве человека, его биологических параметрах и продолжительности жизни.
В безразмерных величинах модель гиперболического роста можно записать в виде
, (18)
, (19)
где N – численность населения, а P – уровень технологии. Хотя для уровня технологии мы использовали переменную T , для модели А.В. Подлазова технология будет обозначаться как P , поскольку М. Кремер и А.В. Подлазов понимают смысл технологии по-разному.
Уравнение (19) является аналогом уравнения (15). А уравнение (17) – очевидным дополнением к (18) для того, чтобы выполнялась эмпирическая зависимость (5). Она отражает тот факт, что емкость ниши пропорциональна уровню технологии (М. Кремер говорит о ресурсной нише, А.В. Подлазов – о технологической), и, следовательно, численность населения N будет следовать за емкостью ниши P :
, (20)
где c – константа.
В отличие от М. Кремера, для которого технологии – это средство производства продукта (13), А.В. Подлазов видит роль технологий иначе. Он вводит понятие жизнесберегающие технологии. Роль технологий он видит в предотвращении смерти и продлении жизни безотносительно того, каким образом это достигается – за счет производства пищи или за счет религиозных норм морали.
Таким образом, само понятие жизнесберегающих технологий является оптимальным для демографических исследований, поскольку оно явным образом связано с параметром смертности D в формуле (1), которую можно расписать в виде:
, (21)
где k_b и k_d – коэффициенты рождаемости и смертности, из которых А.В. Подлазов полагает k_b постоянным и равным – коэффициенту рождаемости на начало фазы роста, а коэффициент смертности k_d – переменным, существенно зависящим от уровня жизнесберегающих технологий, собственно и определяемых как
, (22)
причем в силу отсутствия роста на стадии, предшествующей стадии роста, А.В. Подлазов считает, что .
Таким образом, уравнение (21) дает следующую формулу:
, (23)
а с учетом (19) имеем
, (24)
где , и – постоянные, очевидно, что с учетом равенства уравнение (24) эквивалентно уравнению (7).
Любопытно провести аналогии между соотношениями (24) и (3). Они отличаются лишь знаком квадратичного члена, однако это различие в одном случае приводит к стагнации населения, а в другом – ведет к взрывообразному росту. Тем не менее уравнения вида (24) не являются специфичными только для описания численности населения, такие уравнения используются и в биологии, когда между членами популяции существует взаимопомощь.
Что же касается ограничения гиперболического роста, то А.В. Подлазов видит причину демографического перехода в том, что невозможно до бесконечности понижать коэффициент смертности. Таким образом, уровень P ограничивается биологическим пределом человеческого организма, что дает ограничение P _∞ ≈ 0,05 год ‑1 . При этом стадию демографического перехода А.В. Подлазов предлагает описывать уравнением
(25)
Таким образом, демографический переход, по мнению А.В. Подлазова, неизбежен и связан не с какими-то ни было ресурсными ограничениями, а исключительно с внутренними особенностями человеческого организма.
Итак, А.В. Подлазову, вслед за М. Кремером, удалось объяснить механизм гиперболического роста с позиций развития технологий. При этом он ввел понятие жизнесберегающих технологий, тесно связанных с демографической смертностью. Что касается демографического перехода, то, по мнению А.В. Подлазова, он связан с бессмысленностью увеличения уровня жизнесберегающих технологий, так как внутренний ресурс человеческого организма не востребует такого увеличения.
Работа А.В. Подлазова, безусловно, является шагом вперед в области теоретической демографии. Введенное понятие жизнесберегающих технологий позволяет проводить ввести единую шкалу измерения для различных и плохо сопоставимых технологических нововведений. Например, с помощью этой меры можно сравнить роль экономики, религии, политики, образования в едином масштабе. Однако, несмотря на подобные перспективы, практическое использование этой меры на данный момент затруднено, поскольку выделение влияния различных факторов на смертность само по себе является сложной, пока не решенной задачей. При этом в свете описания глобального демографического процесса важность адекватного измерения уровня технологии очевидна.
Другим важным недостатком модели А.В. Подлазова является противоречащее действительности суждение о том, что демографический переход связан с невозможностью уменьшения смертности. Демографические данные четко указывают на то, что переход связан с резким уменьшением рождаемости. Действительно, в (23) А.В. Подлазов постулирует постоянный уровень рождаемости, что для стадии демографического перехода неприемлемо. Выходом из такой контрафактической ситуации могло бы стать признание А.В. Подлазовым смысла жизнесберегающих технологий не как технологий, ограничивающих смертность, а как технологий, увеличивающих разницу между рождаемостью и смертностью, однако и такое объяснение не согласуется с его предположениями, поскольку в этом случае на стадии стабилизации населения эта разница должна стать равной нулю, что мало согласуется с понятием уровня технологии. Наконец, не проработанным у А.В. Подлазова остается переход от формулы (19) к формуле (25), то есть переход с режима роста на режим демографического перехода.
Итак, можно подытожить нынешнее состояние науки в области теоретической демографии следующим образом.
– Причина гиперболического роста близка к объяснению с позиций роста технологического уровня.
– Причины демографического перехода, связанного, судя по данным, с резким снижением рождаемости, не получили нефеноменологического объяснения, хотя и описаны математическими моделями, апеллирующими к внутренней природе человека и характерным временам его биологической жизни.
Таким образом, необходимо решить следующие задачи:
– Определить, какую величину следует рассматривать в качестве уровня технологии и каким образом ее можно измерять.
– Операционализировать зависимость (20), показав ее связь с общепринятыми научными положениями в области демографии и популяционной динамики.
– Объяснить явление демографического перехода и описать его механизм, если потребуется, с привлечением дополнительных показателей развития человечества.
Производительность труда как показатель уровня технологии
Обсуждаемые выше модели с математической точки зрения хорошо описывают гиперболическую зависимость (5), однако нередко они оперируют общими теоретическими соображениями, не подкрепленными численными данными, вводят плохо измеримые показатели. Поэтому чрезвычайно важно свести теоретические построения с наблюдаемыми эмпирическими данными. Понятно, что в нынешних условиях, когда имеющиеся данные малочисленны и не всегда заслуживают доверия, построение опирающейся на них модели необходимо проводить чрезвычайно осторожно, однако иного пути нет.
Работы М. Кремера и А.В. Подлазова предполагали, что численность населения и уровень технологии существенно связаны друг с другом. Однако в явном виде связь между этими показателями была представлена только на теоретическом уровне. Предложенные зависимости (16) и (19) исходят из общих соображений, не в полной мере опирающихся на эмпирическую базу, кроме того, уравнения (16) и (19) по-разному трактуют понятие «уровень технологии».
Таким образом, первой задачей является определиться с пониманием «уровня технологии», которое в дальнейшем мы будем использовать в модели. По нашему мнению, наиболее естественным измеримым интегральным показателем, соответствующим понятию «уровень технологии», является производительность труда.
При всех тонкостях измерения данного показателя, в рамках макромодели мы будем измерять его простым образом:
, (26)
где T – производительность труда, в рамках нашей модели понимаемая как уровень технологии, G – мировой ВВП, N – численность населения.
Очевидно, что производительность труда не является одинаковой для разных регионов мира, но макроуровень, на котором проводится моделирование, допускает введения таких обобщенных показателей, подобно тому, как модели С.П. Капицы, М. Кремера и А.В. Подлазова не учитывают неравномерности распределения населения и берут общую численность населения в виде интегрального показателя.
Выбор производительности труда в качестве «уровня технологии» является вполне естественным. Причем мы рассматриваем производительность труда не локально – как эффективность производства тех или иных конкретных благ, а интегрально, как эффективность производства всех благ в данную эпоху. Таким образом, во введенное нами понятие уровня технологии неявно входят не только собственно производственные технологии, но и политические, социальные, религиозные, образовательные и прочие технологии, в конечном счете приводящие к увеличению ВВП. Следует заметить, что наше понятие T в (26) близко по смыслу к понятию уровня технологии М. Кремера, хотя он отдельно не делает акцент на том смысле, которое он вкладывает в используемый им в (13) показатель T .
Эмпирическое подтверждение связи численности населения и уровня технологии
Следующим шагом является обоснование использования введенного нами показателя T при моделировании глобального демографического процесса и построения модели, опирающейся на общепринятые в демографической науке уравнения.
Как отмечалось, одним из наиболее общих положений в популяционной динамике является использование логистического уравнения Ферхюльста (2). Оно описывает динамику популяции в условиях ресурсного ограничения и замечательно работает для многих биологических видов – от микроогранизмов до крупных животных. Что касается его применимости к описанию демографического процесса, то эмпирические данные по квадратичному росту населения (4) и постоянный рост потолка несущей плотности Земли, казалось бы, делают уравнение (2) неприменимым для описания роста численности населения.
Тем не менее есть предпосылки к использованию этого уравнения, поскольку в его пользу явно говорит мальтузианский тезис (15), а также то, что потолок несущей способности Земли вполне можно описывать переменой, зависящей от объема производимого продукта и, следовательно, от уровня технологии (26).
Если обобщить эти выводы, то их можно записать в виде:
, (27)
где r , w – коэффициенты.
Уравнение имеет вид (2) и строится из тех соображений, что потолок несущей способности Земли ограничен уровнем существующей технологии. При возникновении относительной перенаселенности население возвращается к сбалансированной численности – как правило, за счет войн и эпидемий, при недонаселенности возникает быстрый рост в условиях пониженной конкуренции и население стабилизируется на уровне потолка, пока какое-нибудь, возможно малое, воздействие не отклонит его, вызывая очередное колебание.
Скорость выхода на уровень потолка несущей способности как сверху – военные конфликты и эпидемии – так и снизу – восстановление после этих бедствий, зависит от способности людей оперативно уничтожать и восстанавливать друг друга и инфраструктуру. В этом предположении коэффициент r , отвечающий за скорость выхода на потолок несущей способности, также должен зависеть от уровня технологии. В простейшем случае линейной зависимости можно представить следующую модель роста населения:
, (28)
где v и w – постоянные коэффициенты. В подобной формулировке отношение T к w приобретает вполне четкий смысл – это количество людей, которое может прокормить Земля при заданном уровне технологии T .
Модель (28), будучи также объединена с уравнением (16), асимптотически дает гиперболический рост. При задании начальных условий, для которых население сильно отличается от заданного уровнем технологии потолка несущей способности, население очень быстро выходит на него и затем следует за этим потолком, который в свою очередь растет ускоренными темпами.
Таким образом, модели популяционной динамики не теряют своей актуальности и в описании демографических процессов, особенно процессов, идущих на сравнительно малых временных масштабах. Действительно, моделирование демографических циклов и колебаний вокруг тренда под воздействием дестабилизирующих факторов может быть хорошо описано с позиций уравнения (27) и его модификаций. Однако при описании макродинамики такого рода быстрые процессы выхода на траекторию, вдоль которой система движется относительно медленно, вообще часто не выделяются в отдельные уравнения. Согласно теореме Тихонова [12], в системе уравнений дифференциальное уравнение для переменной, имеющей значительно меньшее характерное время изменения по сравнению с другими переменными, может быть заменено алгебраическим (при условии, что характер решения не меняется при устремлении малого параметра при производной к нулю). В работах М. Кремера и А.В. Подлазова фактически использовалось это положение теоремы Тихонова, а также неявно задавалось ограничение (27) численности населения уровнем технологии: М. Кремер (14), А.В. Подлазов (20).
Что же касается более медленных изменений, то для их описания следует использовать модели, учитывающие другой порядок характерных скоростей.
Так с учетом того, что население быстро выходит на квазистационарную траекторию, ресурсные ограничения выступают в качестве членов другого порядка малости:
, (29)
то есть как ограничения, связанные с необходимостью излишка, обеспечивающего устойчивый рост тренда, вокруг которого совершаются колебания. Уравнение (29) перепишем в виде
, (30)
где a и m – коэффициенты. Данное уравнение также имеет вполне популяционную трактовку: прирост наблюдается в случае, когда производится продукта больше, чем необходимо для выживания. Коэффициент m играет роль «прожиточного минимума» – доли произведенного ресурса, строго направляемого на поддержание достигнутой численности населения. Прирост возможен только если наблюдается разница между продуктом, произведенным и потраченным на одного человека. Согласно модели T – производительность труда, а m – минимально необходимый продукт на одного человека, таким образом, разность ( T – m ) – это ресурс на душу населения, который может быть потрачен на дополнительные цели – размножение, науку, искусство, развлечения и пр.
Таким образом, целесообразно ввести переменную
, (31)
имеющую смысл излишков на душу населения, которые могут быть использованы на дополнительные цели помимо поддержания достигнутой численности населения.
С учетом данной поправки можно записать следующую модель:
, (32)
, (33)
где a и b – константы. Уравнение (32) является записью уравнения (30) с учетом (31), а уравнение (33) является уравнением роста технологии, поскольку, очевидно, с учетом предположения о постоянстве m в (31), имеет место равенство
. (34)
Уравнения (33), (19) и (16), с математической точки зрения, абсолютно идентичны, и, как нетрудно убедиться, в сочетании с (32) или, что то же, (18) дадут гиперболический рост переменной N , однако существенным различием является понимание переменных, отражающих технологический смысл. Напомним, что T в уравнении (16) – это, по сути, коэффициент при производственной функции Кобба–Дугласа, не вполне четко декларированный М. Кремером, P в уравнении (19) – это уровень жизнесберегающих технологий, используемых А.В. Подлазовым, которые также не имеют четкого операционализированного определения и способов измерения, в то время как S в (33) – это излишек на одного человека, производимый при данном уровне технологии, определяемом как квазистационарная производительность труда и измеряемом как отношение мирового ВВП к населению Земли.
Понятно, что введение дополнительных переменных и показателей может быть оправданным только тогда, когда это введение дает какое-то новое качество. На наш взгляд, введение новых понятий и модификация уравнений должны служить цели более адекватного описания действительности и эмпирических данных.
Для подтверждения уравнений (32) и (33) целесообразно использовать данные по динамике мирового ВВП.

Рис.3. Мировой ВВП и численность населения Земли
Прямоугольниками обозначены точки, соответствующие 1 и 1000 н.э., для которых имеется разброс оценок.
За последние 2000 лет (существуют оценки и для более ранних периодов, которые не противоречат формуле, но мы их не рассматриваем, поскольку их достоверность должна быть еще должным образом обоснована) мировой ВВП (источники: [6], [29], [30], [40]) хорошо описывается формулой
, (35)
где , γ – константы. (на Рис 3. γ = ; = 221,15; ВВП измерялся в международных долларах 1995 года) Этот факт дает основание рассматривать систему (32) – (33) с позиций эмпирических данных. Можно сделать предположение относительно значения m в (31). Поскольку в силу сделанных выше предположений рост населения и технологии в (31) и (32) наблюдается только в том случае, если S > 0 , то изначальный крайне маленький прирост у предков человека мы можем считать нулевым, то есть S ₀ = 0, что значит, что производительность труда у предков человека была в точности равна их минимальным потребностям: , что значит, что
. (36)
можно оценить как «изначальный уровень технологии» и как константу в (31).
Нетрудно убедиться, что сделанные предположения, формулы (32)–(33), их решения и эмпирические данные по росту населения и ВВП не противоречат друг другу. Исходя из (31), (26), (35) и (36) получаем эмпирическое выражение
, (37)
которое одновременно удовлетворяет решению системы (32)–(33), дающему гиперболический рост населения мира и уровня технологии.
Следует также отметить, что при достаточно большой численности населения Земли линейным членом в (35) можно пренебречь и считать, что T ≈ S
N . В частности, в 2000 году T составляет порядка 6000 долларов на человека в год, в то время как m – всего порядка 200-300. В результате для современной эпохи соотношения G = γ N 2 и T = γ N , выполняются c очень хорошей точностью.
Таким образом, понятие «уровень технологии», введенное как квазистационарная производительность труда, является хорошо операционализированной и относительно легко измеримой величиной, адекватной описанию глобального демографического процесса. Что важно, для этой величины удается найти эмпирическое подтверждение результатов модели (32)–(33).
Механизмы демографического перехода
Предложенные нами объяснение и модель гиперболического роста населения Земли не отличаются кардинально от предлагаемых ранее моделей роста населения и технологии, отличие состоит в операционализации понятия «уровень технологии» и эмпирическом обосновании предложенных моделей.
Что же касается демографического перехода, то проведенный выше обзор концепций и моделей показывает, что исследователи гораздо менее едины во мнении относительно его причин и механизмов, и, хотя в большинстве своем, они связывают его не с ресурсными ограничениями, а с особенностями, заложенными в самом человеке, взгляд на эти особенности также сильно разнится. С.П. Капица связывает причину перехода с ограниченностью характерных времен развития человека и человечества, Кремер видит причину в уменьшении рождаемости в обеспеченных семьях, А.В. Подлазов связывает переход с неспособностью жизнесберегающих технологий увеличить продолжительность жизни свыше биологического предела. Видны также и различия на уровне подходов: если М. Кремер пытается описать реальный механизм перехода, то С.П. Капица и А.В. Подлазов скорее ищут не сам механизм снижения рождаемости, а причину смены режима глобального развития человечества, они пытаются объяснить, в чем состоит исключительность нынешнего состояния, почему демографический переход происходит именно сейчас за микроскопическое по историческим масштабам время и именно на том уровне развития, который достигнут на данный момент.
В предлагаемой нами ниже модели мы ставим задачей объяснить и микромеханизм перехода, и причину уникальности этого явления. Первое, с чем необходимо определиться – это с историческим диапазоном, в рамках которого модель претендует на описание действительности.
Достаточная проработанность демографической тематики и представительность оценок численности населения человечества, относящихся к глубокой древности, создает предпосылки для описания глобального демографического процесса, начиная с миллиона лет до н.э. по настоящее время.
Несмотря на заманчивость глобальных теорий, мы сознательно ограничим область рассмотрения. Поскольку кроме численности населения, для которой имеются удовлетворительные оценки на протяжении миллиона лет, мы используем и другие показатели (в частности мировой ВВП), значительно хуже представленные статистически, то область применимости модели естественным образом ограничена областью имеющихся статистических данных. Это не значит, что модель неприменима для более раннего времени, не представленного статистически, но в любом случае для обоснования этого требуются дополнительные исследования и оценки.
Более или менее достоверные имеющиеся данные по ВВП относятся к периоду с начала нашей эры по нынешнее время, причем начиная с 1970 года [40] они известны с большой точностью по каждому году. Таким образом, предлагаемая модель претендует на описание демографического и экономико-технологического роста за период с начала нашей эры по нынешнее время. Прогностические возможности модели также ограничиваются временами порядка столетия, о чем будет отдельно сказано ниже.
Как отмечалось в комментарии к рис. 1., уникальность нынешнего резкого спада темпов роста населения состоит в том, что он впервые за всю предыдущую историю человечества связан с резким снижением рождаемости в мировом масштабе. Все предыдущие спады происходили из-за увеличения смертности вследствие голода, войн и эпидемий. По сравнению со всем предыдущим этапом развития человечества именно наше время знаменует переход к качественно новому демографическому режиму.
Таким образом, модель демографического перехода должна выявить факторы, вызывающие этот переход, и, прежде всего, факторы резкого понижения рождаемости.
Грамотность – основной фактор снижения рождаемости
Для определения основных факторов снижения рождаемости разумно обратиться к эмпирическим данным. Анализ большой статистической выборки убедительно показывает, что рост уровня образования населения в ходе модернизации, наряду с развитием медицинских технологий и системы социального обеспечения, является ведущим фактором снижения рождаемости [16], [17], [24], [32]. Сразу же отметим, что развитие медицинских технологий не только снижает рождаемость, но и, очевидно, смертность, однако это – отдельная тема, которая будет обсуждена ниже. По сравнению с обществами, уже завершившими демографический переход, к которым относится и Россия, влияние образования и здравоохранения на рождаемость особо велико для стран третьего мира. При этом появление и распространение новых медицинских технологий возможно только в результате развития сферы образования. Образование, с одной стороны, позволяет населению ознакомиться со средствами регуляции рождаемости, а с другой – меняет ценностные ориентации людей, что отражается и на репродуктивных установках.
Показатель грамотности, т.е. процент грамотных в обществе (стране, мире и т.д.) является хорошим интегральным показателем развития образовательных процессов. Дж. Бонгаартсом [17] было показано, что уровень грамотности женщин является надежным предиктором снижения рождаемости.
Таблица 1. Регрессионная модель факторов рождаемости в мире в 1995 г.
Грамотность среди женщин, %
Кол-во врачей на 1000 чел.
Урбанизация (% населения, проживающего в городах)
Примечание: R = 0,837; R 2 = 0,701; α = 2 × 10 ‑ 11 .
Недостатком подхода Дж. Бонгаартса является то, что в ходе своего регрессионного теста он включил ожидаемую продолжительность жизни в ряд гипотетических факторов рождаемости, что несколько снизило объяснительную ценность его модели. В частности, согласно его результатам, большая продолжительность жизни понижала рождаемость. Безусловно, продолжительность жизни сама по себе может быть коррелятом, но никак не фактором снижения рождаемости. Проведем собственный кросс-национальный тест факторов рождаемости с помощью пошагового метода множественной регрессии (источник данных: [1]).
Пояснение к таблице 1:
Линейная регрессия позволяет представить зависимость между зависимой (напр., Y ) и независимой (напр., Х) переменной с помощью линейного уравнения:
где A – константа, а B – коэффициент, которые и вычисляются с помощью линейной регрессии. В статистических пакетах множитель B , как правило, обозначается как «Не стандартизированный коэффициент «.
Множественная регрессия – это разновидность, как правило, линейной регрессии, направленная на изучение влияния нескольких независимых переменных (факторов) на зависимую и позволяющая вывести уравнение вида: Y = A + B ₁ X ₁ + B ₂ X _{2 +} B ₃ X _{3 …} .
При этом в уравнение вставляются только те переменные, которые оказались значимыми предикторами зависимой переменной, т.е. те переменные, показатель значимости α для которых меньше 0,05 [1] . В нашем случае переменная «Урбанизация» оказалась незначимым предиктором рождаемости, а переменные «Грамотность среди женщин» и «Количество врачей на 1000 чел» – значимыми.
Для определения того, какой из статистически значимых предикторов рождаемости является наиболее сильным, воспользуемся стандартизированным коэффициентом β. Этот показатель указывает на важность независимых переменных, вовлеченных в регрессионное уравнение. Он принимает значения от +1 до – 1. Значение + 1,0 означает полную («функциональную») положительную связь между признаками. В этом случае увеличение значения величины Х сопровождается однозначно определенным увеличением значения величины У. Значение – 1,0 означает полную («функциональную») отрицательную связь между зависимой и независимой переменными. В этом случае увеличение значения величины Х сопровождается однозначно определенным уменьшением значения величины У. В «мире людей» закономерности, описываемые функциональными зависимостями, почти не встречаются. В данной регрессионной модели самым сильным предиктором рождаемости является женская грамотность, т.к. коэффициент β для нее самый высокий (-0,600). Коэффициент β для переменной «Количество врачей на 1000 человек» боле, чем в два раза ниже (- 0,239).
Коэффициент R 2 указывает на разброс значений вокруг линии регрессии, т.е. на то, сколько процентов вариации данных предсказывает регрессия. Данная трехфакторная модель объясняет более 70% всей дисперсии данных.
Регрессионный анализ показывает, что женская грамотность является ведущим фактором снижения рождаемости в ходе модернизации (необходимо отметить, что женская, мужская и общая грамотность являются тесно связанными друг с другом параметрами). Другими важными, хотя и в меньшей степени, показателями являются количество врачей на душу населения и урбанизация. Очевидно при этом, что уровень здравоохранения серьезно зависит от уровня образования как с точки зрения обучения врачей, так и с точки зрения востребованности защиты здоровья населения (поскольку образование человека делает его более «дорогостоящим», то его жизнь, очевидно, требует большей защиты, что подталкивает развитие здравоохранения). Что касается урбанизации, то она, несомненно, является важным составляющим модернизации и, в частности, стимулирует рост грамотности в среде жителей городов, но в этом смысле она действует на снижение рождаемости опосредованно, а не напрямую. Поэтому можно считать показатель грамотности оптимальным интегральным показателем модернизационных процессов, являющихся факторами снижения рождаемости.
Снижение рождаемости, обусловленное грамотностью населения, избавлено от недостатков объяснения М. Кремера, считавшего, что высокие доходы понижают рождаемость. Не возникает противоречия между низким уровнем рождаемости в России и других постсоветских странах Восточной Европы и резким понижением их уровня жизни. С другой стороны, предложенное нами объяснение перехода является более широким, чем объяснение М. Кремера, в том смысле, что грамотные люди в среднем зарабатывают больше, чем неграмотные. Таким образом, объяснение М. Кремера работает только в период стабильности, в то время как объяснение низкой рождаемости через грамотность работает как в стабильные, так и в кризисные периоды.
В итоге для описания демографического перехода разработанная нами модель (32)–(33) должна быть расширена, чтобы учесть важнейший фактор понижения рождаемости – грамотность населения. В результате модификации модель (32)–(33) выглядит следующим образом:
, (38)
, (33)
, (39)
где L – доля грамотного населения, a , b , c – константы. Влияние грамотности на демографический переход выражается добавлением в (32) множителя (1 – L ) и получении уравнения (38). Такое изменение имеет тот смысл, что даже несмотря на отсутствие ресурсного ограничения, рождаемость снижается с ростом грамотности. Что касается того факта, что смертность при модернизации также снижается, то уравнение (38) учитывает и этот факт, поскольку в (38) рассматривается именно прирост – разность между рождаемостью и смертностью, а при приближении грамотности к 100% нулевым становится именно прирост.
Введенное дополнительное уравнение для роста грамотности (39) имеет тот смысл, что рост уровня грамотности пропорционален доле грамотного населения L (потенциальные учителя), доле неграмотного населения (1 – L ) (потенциальные ученики) и наличию излишков S , которые могут использоваться на образовательные программы (кроме того, S связано с уровнем технологий T , в том числе образовательных, увеличивающих скорость обучения). С математической точки зрения уравнение (39) аналогично логистическому уравнению [39], где насыщение достигается при уровне грамотности L = 1 , а S отвечает за скорость выхода на этот потолок.
Несмотря на общую логичность модификации модели, ее вид (38)–(39) должен быть дополнительно обоснован. Поскольку очевидно, что при тех же логических заключениях о зависимости прироста населения от грамотности, увеличения грамотности при росте числа потенциальных учителей и т.п. модель может быть представлена в виде:
,
,
,
где φ ₁, φ ₂, φ ₃, φ ₄, φ ₅, φ ₆, φ ₇, φ ₈ – некоторые положительные степени, совсем не обязательно равные единице.
Что касается коэффициентов φ ₁ , φ ₂ , φ ₄ , φ ₅ , то в пользу того, что они могут быть положены единичными, говорит тот факт, что вдали от демографического перехода они удовлетворительно описывают гиперболический рост и хорошо ложатся на эмпирические данные (рис.3). В пользу определения остальных коэффициентов также должны сказать эмпирические данные.
Легко заметить, что в случае если φ ₁ = φ ₆ = 1, φ ₂ = φ ₇ , φ ₃ = φ ₈ , делением первого уравнения на третье получается уравнение
,
решение которого определяет связь между L и N в виде
, (40)
где λ – константа.
Для проверки данной гипотезы обратимся к историческим данным. На рис. 4 представлены данные по совместному росту грамотности и населения земли в двойном логарифмическом масштабе. В этом масштабе степенным зависимостям соответствуют прямые линии.

Рис.4. Уровень грамотности и численность населения Земли
Прямоугольниками обозначены точки соответствующие 1 и 1000 н.э., для которых имеется разброс оценок
Из графика видно, что степенная зависимость (40) достаточно хорошо описывает имеющиеся данные. Следует дополнительно отметить, что, к сожалению, исторических данных по уровню грамотности чрезвычайно мало и известны они с гораздо меньшей точностью, чем ВВП, и тем более численность населения. В частности, есть основания считать, что имеющиеся данные на 1 год н.э. занижены, а на 1000 год – несколько завышены. Тем не менее, с точки зрения оценки таких показателей, как образование и культура, по всей видимости, уровень грамотности – это единственный, хотя и плохо, но все-таки измеряемый исторический показатель. Его ведущая роль как фактора демографического перехода еще больше подчеркивает его важность и целесообразность использования в глобальных моделях наряду с данными по населению и ВВП. Безусловно, следует критически относиться к данным по грамотности не только из-за их малочисленности и низкой точности, но и потому что то, что мы понимаем под грамотностью сейчас и то, что считалось грамотностью тысячелетия назад, может быть не вполне сопоставимо. А потому их количественное использование в одной модели и вывод на один график, при том, что качество может быть отлично, не вполне адекватно. Тем не менее абсолютно такой же упрек с полным правом можно предъявить и к данным по численности населения, и к данным по ВВП. Поскольку количественное измерение в одной шкале современных людей и наших предков, живших миллион лет назад, или измерение стоимости современных высокотехнологичных продуктов и стоимости продукта, произведенного древними людьми, также не вполне адекватно.
В любом случае имеющиеся данные (рис.4) говорят в пользу использования соотношения (40), а следовательно, и в пользу положения φ ₁ = φ ₆ = 1, φ ₂ = φ ₇ , φ ₃ = φ ₈ , которое в свете того, что степень φ ₂ была ранее оценена как единица, может быть записано в виде: φ ₁ = φ ₆ = φ ₂ = φ ₇ = 1, φ ₃ = φ ₈ . Что же касается равенства единице значения φ ₃ , то в пользу этого говорит хорошее соответствие эмпирических данных с данными (рис.5 – 10), полученными при расчете модели (38)–(33)–(39). Конечно, более тонкая «подстройка» модели с помощью параметров φ _1…8 могла бы улучшить соответствие, однако при той точности, которая доступна, «тонкая подстройка» теряет смысл, поскольку неизвестны точки, к которым следует подстраивать решение. В любом случае в такой общей модели следует стремиться сократить количество параметров, не улучшающих решение на качественном уровне.
Результаты расчета модели (38)–(33)–(39) с параметрами: a = 1,085∙10 -5 ($ × год) -1 , b = 6,51 ∙10 -12 (чел∙год) -1 , с = 8,2∙10 -6 ($∙год) -1 , = 420 $ и с начальными данными в 1 году н.э.: N ₀ = 170000000 чел, S ₀ = 17,47 $ , L₀ = 0,052 , где L – безразмерная величина (от 0 до 1), знак «$» соответствует международному доллару 1995 года., приведены на следующих графиках.
Полученные результаты (сплошная линия) по росту населения Земли хорошо описывают гиперболический рост и первую фазу демографического перехода к настоящему времени, что касается прогноза, то модель дает несколько отличные результаты по сравнению с прогнозами ООН (светло-серые маркеры). По результатам модели вторая фаза перехода будет проходить более резко, чем то предсказывает ООН. Более гладкого перехода можно было бы добиться введением φ ₃ = φ ₈ ≠ 1 , однако, с одной стороны, прогноз ООН – это прогноз, опирающийся на свои модели, которые также огрубляют действительность, а с другой – представительность и точность имеющихся сейчас исторических данных не могут на должном уровне ни подтвердить, ни опровергнуть гипотезу φ ₃ = φ ₈ = 1 . С появлением новых данных модель можно будет скорректировать.
Рост ВВП ярко демонстрирует еще более крутой рост, чем рост численности населения, и математически описывается формулой (35). Несмотря на то, что ВВП явно не входит в систему уравнений модели, на данном графике точки расчетной кривой вычисляются по формулам (31) и (26).
Графики в двойном логарифмическом масштабе «убирают» визуальную компоненту гиперболического роста и делают результаты более наглядными, хотя, конечно, и отклонения в этом масштабе выглядят более существенными, чем на графиках (рис.5 – 7).

Рис. 5. Рост населения Земли

Рис.6. Рост мирового ВВП

Рис.7. Рост уровня грамотности

Рис.8. Рост населения Земли в двойном логарифмическом масштабе

Рис.9. Рост мирового ВВП в двойном логарифмическом масштабе

Рис.10. Рост уровня грамотности в двойном логарифмическом масштабе
Комментируя графики, нужно отметить, что, несмотря на локальные отклонения, модель (38)–(33)–(39) достаточно хорошо описывает имеющиеся эмпирические данные при том, что в нее входят всего три коэффициента. Причем масштабированием можно свести два из них к единицам – в этом случае в модель будет входить только один коэффициент, равный показателю степени в уравнении (40). Таким образом, несмотря на крайнюю простоту модели, она, тем не менее, с хорошим соответствием описывает совместную динамику сразу трех важнейших показателей глобального процесса развития человечества.
Заключение
В работе были проанализированы существующие математические концепции глобальной демографии. Первой и наиболее глубокой работой в этой области была работа С.П. Капицы, прекрасно описавшая и гиперболический рост, и демографический переход на феноменологическом уровне. С точки зрения поиска реальных механизмов гиперболического роста наиболее перспективным представляется подход, основанный на рассмотрении совместного роста населения Земли и технологии. С другой стороны, имеющиеся математические объяснения демографического перехода остаются на феноменологическом уровне. Объяснение М. Кремера с точки зрения экономики апеллирует к важному факту резкого снижения рождаемости, но видит корни в экономических причинах, что, как показывают примеры кризисов, являющихся хорошим тестом для выявления корреляций, не вполне адекватно.
В настоящей работе было проведено эмпирическое обоснование демографико-технологического подхода к описанию гиперболического роста населения Земли и была предложена модель демографического перехода, включающая три важных показателя – численность населения, уровень технологии и уровень грамотности. При ее простоте и малом количестве параметров модель с высокой точностью описывает совместную динамику всех трех показателей в рассматриваемом интервале с начала нашей эры по нынешнее время.
1. База данных «World 95». SPSS 2004. World95 Database. Chicago, IL: SPSS Inc.
2. Вольтерра В., Математическая теория борьбы за существование, М.Наука, 1976
3. Капица С. П. Математическая модель роста населения мира. Математическое моделирование 4/6: 65–79. 1992.
4. Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на земле. М.: Наука. 1999.
5. Малков С.Ю. Математическое моделирование исторических процессов // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие / Под ред. Г.Г.Малинецкого, С.П.Курдюмова. — М.: Наука, 2002. С.291-323.
6. Мельянцев В. А. 1996. Восток и Запад во втором тысячелетии. М.: МГУ.
7. Нефедов С.А. О демографических циклах в истории средневекового Египта [ http :// hist 1. narod . ru / Science / Egipt / EgiptSV . htm ]; О демографических циклах в истории Ирака и Ирана ( VII — XIII вв.) [ http :// hist 1. narod . ru / Science / Babilon / Irak . htm ] и др.
8. Подлазов А. В. Основное уравнение теоретической демографии и модель глобального демографического перехода. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №88. 2001.
9. Подлазов А. В. Теоретическая демография как основа математической истории. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №73. 2000.
10. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. — М.:Наука,1999.- 255с.:
11. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002
12. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Мат. Сб. т. 32, №3, 1952
13. Aghion, P., and P. Howitt. A model of Growth through Creative Destruction. Econometrica 60: 323–52. 1992.
14. Aghion, P., and P. Howitt. Endogenous Growth Theory. Cambridge, MA: MIT Press. 1998.
15. Artzrouni, M., and J. Komlos. Population Growth through History and the Escape from Malthusian Trap: A Homeostatic Simulation Model. Genus 41: 21–39. 1985.
16. Bongaarts, J. Completing the Fertility Transition in the Developing World: The Role of Educational Differences and Fertility Preferences. Population Studies 57: 321–35. 2003.
17. Bongaarts, J. The end of the fertility transition in the developing world. Policy Research Division Working Paper no. 161. New York: Population Council. 2002.
18. Boserup, E. The Conditions for Agricultural Growth: The Economics of Agrarian Change under Population Pressure. Chicago, IL: Aldine. 1965.
19. Braudel, F. Capitalism and Material Life, 1400–1800. New York, NY: Harper and Row. 1973.
20. Cameron, R. A Concise Economic History of World. New York, NY: Oxford University Press. 1989.
21. Foerster, H. von, P. Mora, and L. Amiot. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132:1291–5. 1960.
22. Grossman, G., and E. Helpman. Innovation and Growth in the Global Economy. Cambridge, MA: MIT Press. 1991.
23. Habakkuk, H. J. English Population in the Eighteenth Century. Economic History Review 6: 117–33. 1953.
24. Hollingsworth, W. G. Ending the Explosion: Population Policies and Ethics for a Humane Future. Santa Ana, CA : Seven Locks Press; 1996.
25. Jones, C. R&D Based Models of Economic Growth, unpublished, Massachusetts Institute of Technology, 1992.
26. Komlos, J., and S. Nefedov. A Compact Macromodel of Pre-Industrial Population Growth. Historical Methods 35:92–4. 2002.
27. Kremer, M. Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990. The Quarterly Journal of Economics 108: 681–716. 1993.
28. Kuznets, S. Population Change and Aggregate Output. in Demographic and Economic Change in Developed Countries. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1960.
29. Maddison, A. Monitoring the World Economy, 1820–1992. Paris: OECD. 1995.
30. Maddison, A. Monitoring the World Economy: A Millennial Perspective. Paris: OECD. 2001.
31. Malthus, T. Population: The First Essay. Ann Arbor, MI: University of Michigan Press. 1978.
32. McMichael, T. Human Frontiers, Environments, and Desease. Past Patterns, Uncertain Futures. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2001.
33. Nefedov, S. A. A Model of Demographic Cycles in Traditional Societies: The Case of Ancient China. Social Evolution & History 3(1): 69–80. 2004.
34. Podlazov A.V. Theory of the Global Demographic Process. // proceedings of the international conference “Mathematical Modeling of Social and Economical Dynamics”, Moscow, 2004.
35. Postan, M. M. Same Economic Evidence of Declining Population in the Later Middle Ages. Economic History Review. 2 nd ser. 2:130–67. 1950.
36. Romer, P. Increasing Returns and Long-Run Growth, Journal of Political Economy, XCIV (1986), 1002-37
37. Simon, J. The Economics of Population Growth. Princeton: Princeton University Press. 1977.
38. Turchin, P. Historical Dynamics: Why States Rise and Fall , Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003
39. Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, Corr. Math. Et Phys. 10, 113-121, 1838
40. World Bank. World Development Indicators. Washington, DC: World Bank. 2004.
[1] Статистическая значимость (α ) означает вероятность того, что результаты данного теста могли появиться в результате случайности. Если, например, статистическая значимость некой корреляции равна 0,01 (или что эта корреляция значима на уровне 0,01), то вероятность того, что подобная корреляция могла появиться в результате случайности, при отсутствии реальной закономерной связи между признаками равна 0,01 (т.е., существует один шанс из ста, что наблюдаемая корреляция является результатом случайности). В таком случае вероятность довольно низка, и гипотеза о наличии связи между признаками может считаться нашедшей подтверждение. Исторически сложилось, что в качестве порогового уровня статистической значимости принимается 0,05 (
1 шанс из двадцати). Т.е. если мы получили показатель значимости менее 0,05, то соответствующая гипотеза считается успешно прошедшей статистическую проверку, если же этот показатель более 0,05, то соответствующая гипотеза считается неподтвержденной.

источники:
http://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/434938/Mirovoe_narodonaselenie_i_variatsii_klimata
http://keldysh.ru/papers/2005/prep13/prep2005_13.html

Какими уравнениями аппроксимируется динамика численности народонаселения

Какими уравнениями аппроксимируется динамика численности народонаселения

Введение

Существующие математические модели и их критический анализ

Математические модели на основе модификаций исходного уравнения динамики численности населения

Фактические данные по ограничению численности населения в мире

Формализация процесса ограничения численности населения в мире

Заключение

Список использованных источников

Мировое народонаселение и вариации климата

Об авторе

Рост мирового народонаселения

Сравнение данных по народонаселению и их аппроксимаций

Индекс народонаселения и вариации климата

События истории на фоне климата и народонаселения

Причины запаздывания отклика на вариации климата

Нарастающие противоречия динамики народонаселения и потепления климата

Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования ( Mathematical model of population growth, economics, technology and education Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А. (A.V.Korotaev, A.S.Malkov, D.A.Khalturina)

Москва, 2005

Аннотация

Abstract

Введение

Математические методы и демография

Гиперболический рост населения Земли и модель С.П. Капицы

Модель роста населения Земли и технологии М. Кремера

Модель роста жизнесберегающих технологий А.В. Подлазова

Производительность труда как показатель уровня технологии

Эмпирическое подтверждение связи численности населения и уровня технологии

Механизмы демографического перехода

Грамотность – основной фактор снижения рождаемости

Заключение

Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования
( Mathematical model of population growth, economics, technology and education
Preprint, Inst. Appl. Math., the Russian Academy of Science)

Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А.
(A.V.Korotaev, A.S.Malkov, D.A.Khalturina)