Какое движение называется равнопеременным уравнение равнопеременного движения

Равнопеременное движение

Рассмотрим прямолинейное движение тела вдоль оси (одномерный случай) и пусть при этом скорость тела изменяется.

Когда скорость изменяется, появляется ускорение. Ускорение, в свою очередь, тоже может меняться.

Если изменяется и ускорение, и скорость тела – движение сложное, например, колебательное;

Движение равнопеременное — если изменяется только скорость, а ускорение постоянное.

Термин «равнопеременное» применяют потому, что за одинаковые интервалы времени перемещение изменяется на одну и ту же величину.

При этом, если скорость увеличивается – движение называют равноускоренным, а если скорость уменьшается – равнозамедленным.

Примечание: Вместо слов «ускорение постоянное» можно произнести «ускорение не меняется», или «ускорение одно и то же».

Рекомендую предварительно ознакомиться с основными терминами для описания движения.

Будем выбирать направления для векторов скорости и ускорения относительно оси. Разберем несколько возможных вариантов.

Равноускоренное движение

Пусть при движении по прямой скорость тела увеличивается. Обратим внимание на перемещение тела.

Примечание: Движение равноускоренное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет увеличиваться на одну и ту же величину.

Этот факт иллюстрирует рисунок 1. Из рисунка видно: по сравнению с первой секундой, за вторую секунду пути перемещение увеличивается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Считаем, что векторы скорости и ускорения сонаправлены с осью, вдоль которой движется тело (рис. 2).

Примечание: Скорость увеличивается, когда вектор ускорения сонаправлен с вектором скорости.

В начальный и в конечный моменты времени скорости будут различаться.

Формулы можно записать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой и направления векторов известны.

Связь между начальной и конечной скоростью выглядит так:

\[ v = v_ <0>+ a \cdot t \]

Уравнение движения выглядит так:

\[ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Кроме уравнения движения теперь есть связь между скоростями. Поэтому, решая задачи, в которых скорость увеличивается, используем систему, состоящую из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>+ a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Примечание: Перемещение тела можно вычислить, не обладая информацией о времени движения, зная только начальную и конечную скорость тела и его ускорение. Об этом подробно написано в статье о формуле пути без времени.

Равнозамедленное движение

Пусть теперь тело движется по прямой и его скорость уменьшается. Рассмотрим перемещение тела.

Примечание: Движение равнозамедленное, значит, за одинаковые интервалы времени перемещение будет уменьшаться. При чем, на одну и ту же величину.

На рисунке 3 представлено изменение перемещения. Видно, что по сравнению с первой секундой, за вторую секунду перемещение уменьшается на небольшой отрезок, а за третью секунду – на два таких отрезка.

Примечание: Скорость будет уменьшаться, когда вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Пусть вектор скорости сонаправлен с осью, вдоль которой движется тело, а вектор ускорения – направлен против этой оси.

В начале и в конце пути скорости будут различаться.

Формулы можно записывать в скалярном виде, так как движение происходит вдоль одной прямой. Будем использовать знаки проекций векторов на ось.

Связь между скоростями выглядит так:

\[ v = v_ <0>— a \cdot t \]

А уравнение движения имеет такой вид:

\[ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Заменив перемещение разностью конечной и начальной координат \( S = x — x_<0>\), получим:

\[ x – x_ <0>= v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\]

Значит, когда скорость уменьшается, для решения задач нужно использовать систему из двух таких уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = v_ <0>— a \cdot t \\ S = v_ <0>\cdot t — a \cdot \frac <2>\end > \]

Расшифруем теперь, к примеру, словосочетание «прямолинейное равнозамедленное движение» — это движение по прямой, ускорение есть, оно не меняется. Скорость тела уменьшается, так как вектор ускорения направлен противоположно вектору скорости.

Примечание: Перемещение замедляющегося тела можно вычислить не используя время. Потому, что существует запись формулы пути без времени для случая, когда скорость тела уменьшается.

Скорость направлена против оси, а ускорение – по оси

Дополнительно рассмотрим случай, когда скорость и ускорение направлены в противоположные стороны, ускорение – по оси, а скорость – против оси (рис. 5).

А если тело продолжит движение, то начнет двигаться в обратную сторону и модуль его скорости начнет увеличиваться. Поэтому, такое движение будет равноускоренным и будет сонаправленным с вектором ускорения.

Когда скорость направлена против оси, ее проекция на ось отрицательна и в уравнение она войдет со знаком минус. Ускорение же, напротив, совпадает с направлением оси, поэтому, войдет в уравнение со знаком «+».

Запишем связь между скоростями:

\[ v = — v_ <0>+ a \cdot t \]

Уравнение движения для рассмотренного случая имеет такой вид:

\[ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\]

Для выбранного направления векторов в итоге получим такую систему уравнений:

\[ \large \boxed < \beginv = — v_ <0>+ a \cdot t \\ x – x_ <0>= — v_ <0>\cdot t + a \cdot \frac <2>\end > \]

Решая задачи на движение, иногда вычисляют мгновенную и среднюю скорости.

Термины «мгновенная скорость» и «средняя скорость» применяют для случаев, когда скорость изменяется – то есть, для неравномерного движения.

Мгновенная скорость

Мгновенная скорость – это скорость тела в какое-то мгновение. Когда скорость тела меняется, то в различные мгновения (моменты времени) скорости будут различаться.

Мгновенную скорость v вычисляют, вместо символа t подставляя в формулу интересующее нас время:

\[ v = v_ <0>\pm a \cdot t \]

Знак ускорения зависит его направления.

Средняя скорость

Средняя скорость тела – скорость, с которой нужно двигаться равномерно, чтобы пройти тот же путь за то же время.

Другими словами, средняя скорость помогает понять, с какой постоянной скоростью могло бы двигаться тело, чтобы пройти весь пройденный путь за такое же время.

Примечания:

1. Выражение «скорость постоянная» можно заменить словами «неизменная», «одна и та же».
2. Вместо фразы «за такое же время» в учебниках напишут «за выделенный интервал времени».
3. Если скорость изменяется, появляется ускорение.

Формула для расчета средней скорости:

\( S_<\text<весь>>(\text<м>) \) ​– полный путь, пройденный телом;

\( t_<\text<полное>> \left( c \right)\) – время, за которое тело прошло весь путь.

Равнопеременное движение.

Равнопеременным движением точки называется движение, при котором тело за равные промежутки времени изменяется одинаково.

Под равнопеременным движением понимают: равноускоренное движение (когда модуль скорости увеличивается, т. е. ускорение параллельно скорости — ), и равнозамедленное движение (когда модуль скорости уменьшается, т. е. ускорение антипараллельно скорости — ).

Ускорение и скорость при равнопеременном движении.

Ускорение равнопеременного движения — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости, численно равная отношению вектора изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Спроектировав ускорение и скорость на направление движения, получим следующий вид уравнения:

где υ₀ — скорость в начальный момент времени, принятый за нуль; υ – текущее значение скорости. При определении ускорения тела из состояния покоя (равноускоренное движение, где начальная скорость υ₀ = 0) формула имеет вид:

При равнозамедленном движении, когда нулю равна не начальная, а конечная скорость, формула принимает вид:

Из первой формулы можно вывести формулу скорости:

Равнопеременное движение точки в теоретической механике

Равнопеременное движение точки:

Если

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения

то и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным.

При движение точки называется равноускоренным, а приравнозамедленным.

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид (см. § 63 в учебнике Е. М. Никитина)

Здесь —расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; —начальная скорость и — касательное ускорение-величины численно постоянные, а s и t — переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: и трн переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения из (1) и (2)

после исключения t из (1) и (2)

В частном случае, когда начальные величины (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) — вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы формулы (5) —(8), причем

Задача №1

Шарик, размерами которого можно пренебречь, начинает скатываться по наклонной плоскости из состояния покоя. Через 20 сек после начала движения шарик находится от исходного положения на расстоянии 6 м.

Определить ускорение шарика и его скорость в конце 10-й и 20-й сек, а также расстояние, пройденное шариком за первые 10 шс.

1. Из условия задачи следует, что Пройденное за —20 сек расстояние = 6 м. Даны четыре величины. Требуется определить ускорение шарика (движение прямолинейное, значит определить нужно только скорости и расстояние

2. Найдем из формулы (7) скорость шарика, которую он приобретает в конце 20-й сек:

3. Найдем из формулы (6) ускорение шарика, которое он имеет, двигаясь по наклонной плоскости:

4. Теперь из этой же формулы (6) можно найти скорость в конце

10-й сек

5. Из формулы (5) находим расстояние, пройденное точкой за первые 10 сек:

Задачу можно решить в ином порядке. Сначала из формулы (5) определить ускорение

Затем из формулы (6) определить и, наконец, из формулы (5) найти

Задача №2

Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км/ч, увеличивает в течение 20 сек скорость до 90 км/ч. Определить, какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение рарноускоренным.

1. Здесь также четыре данных величины:

так как движение автомобиля рассматривается только на том участке траектории (дороги), где он движется с ускорением.

2. Из вспомогательной формулы (3), полагая в ней =0, найдем

3. Из формулы (2) найдем ускорение, полученное автомобилем:

Задачу можно решить несколько иным путем. Сначала из формулы (2) найти ускорение автомобиля, а затем из формулы (1) найти пройденное расстояние.

Задача №3

Имея скорость 20 м/сек, автомобиль въезжает на криволинейный участок дороги, имеющий радиус закругления 200 м. За 40 сек равнопеременного движения он проезжает расстояние 400 м.

Определить, с каким касательным ускорением движется автомобиль, какова его скорость в конце пройденных 400 м и каково полное ускорение на середине этого пути.

1. Изобразим участок дороги, по которой движется автомобиль (рис. 197): О — начало участка, В— конец участка и А—его середина.

Для равнопеременного движения в задаче имеется четыре основных данных: —0 (так как за начало отсчета движения принимаем точку кроме того, известен радиус закругления

2. Из формулы (3) найдем скоростьв конце участка дороги длиной (полагая, что

В конце рассматриваемого участка автомобиль останавливается, значит движение равнозамедленное *.

3. Найдем касательное ускорение автомобиля из формулы (2):

Получившееся отрицательное значение ускорения — подтверждение того, что движение автомобиля равнозамедленное.

4. Для того чтобы определить полное ускорение автомобиля в середине А участка ОВ, нужно сначала найти скорость — скорость автомобиля в момент прохождения им точки А.

Эту скорость найдем из уравнения (4), приняв 200 м:

5. Находим нормальное ускорение автомобиля в точке А:

6. И, наконец, находим полное ускорение автомобиля:

Ускорение получается отрицательным, значит движение равнозамедленное. ** В дальнейшем для определения а„ нужно иметь значение

* Решение задачи можно начать с определения касательного ускорения из
формулы (I), считая Тогда

7. Вектор полного ускорения направлен к вектору скорости

под углом Угол а можно найти при помощи его синуса:

Задача №4

Точка движется в горизонтальной плоскости по заданной траектории ОАВС (рис. 198, а). Начав движение из состояния покоя, точка проходит участок ОА = 300 м равноускоренно за 30 сек, а расстояние от А до В, равное 200 м, она проходит

равномерно с той же скоростью, которую имеет в конце участка ОА. Из В точка движется в С уже равнозамедленно и проходит это расстояние за 40 сек. Остановившись в С, точка находится в покое 20 сек, а затем возвращается обратно в О по той же траектории, двигаясь равномерно и затратив на это движение 30 сек.

Построить графики перемещения, скорости и касательного ускорения точки.

Определить полное ускорение точки в момент времени через 60 сек после начала движения.

1. На уяастке О А, длина которого 300 м, точка движется равноускоренно из состояния покоя и проходит этот участок за 30 сек:

2. Находим ускорение на участке О А из уравнения (5):

3. Скорость точки в конце участка О А находим из уравнения (6):

4. Следующий участок траектории АВ длиной =200 м точка проходит с постоянной скоростью = 20 м/сек. Определяем время затраченное на это движение:

Причем в конце участка АВ скорость Значит, движение на участке ВС точка начинает со скоростью = 20 м/сек и, двигаясь равнозамедленно, останавливается в = 0) через = 40 сек.

Длину участка ВС найдем по формуле (3), приняв

5. Ускорение аВс точки на участке ВС определяем из формулы (2):

6.В конце траектории точка находится в покое в течение времени

7. Затем точка движется обратно и проходит равномерно путь

за время

Скорость точки в этом движении

она направлена относительно скоростей первой части движения (например, относительно скоростей в обратную сторону.

8. На все движение точки по траектории ОАВС в одну и другую сторону вместе с остановкой в конце траектории С 3атрачено 130 сек, которые складываются из времени:

• = 30 сек — равноускоренного движения,
• — равномерного движения,
• — равнозамедленного движения,
• — стояния точки,
• — равномерного обратного движения.

9. Описанное выше движение точки изображаем графически, построив три графика: перемещений, скоростей и ускорений, расположенных один под другим (рис. 198, б, в, г).

Для построения графиков необходимо выбрать удобные масштабы для времени и остальных величин.

Рекомендуется графики, показанные на рис. 198, вычертить самостоятельно на отдельном листе бумаги в клетку. Масштабы по оси времени на всех трех графиках одинаковы. Масштаб времени / принят равным и поэтому на графике 130 сек изображаются отрезком, равным 45 мм; масштаб перемещенияи расстояние между началом траектории О и ее концом С, равное 900 м, изображается отрезком, равным 31 мм; масштаб скоростей 2,86 м/сек- мм (2,86 м/сек в 1 мм) и 20 м/сек изображаются отрезком, равным 7 мм, а 30 м/сек — длиной 10 мм; масштаб ускорений мм (0,25 м/сек2 в 1 мм) и 1 изображается отрезком, равным 4 мм, а 0,5 — длиной 2 мм.

При самостоятельном построении этих графиков следует все масштабы увеличить, например принять

10. После построения графиков определяем ускорение точки в момент времени Т=60 сек после начала движения (см. условие задачи). Для этого прежде всего на графике перемещения из точки О (начало осей координат) по оси времени откладываем отрезок

Этот отрезок определит на оси времени время Т = 60 сек (на самостоятельно построенном графике расстояние получится большим:

Из точки Т восставим перпендикуляр измерив его, получим значит

Если это расстояние отложить па траектории, то увидим, что точка в момент времени Т = 60 сек будет находиться на криволинейном участке траектории (положение с радиусом кривизны р=300 м. Значит ускорение движущейся точки складывается из касательного и нормального ускорений.

Скорость в момент времени Т = 60 сек находим из графика скорости:

.
Касательное ускорение а, находим из графика ускорений

Полное ускорение движущейся точки в момент времени Т = 60 сек

Векторы характеризующие кинематическое состояние точки в момент времени Т = 60 сек после начала движения, изображены на рис. 198, а.

Задача №5

С крыши высотного дома через каждые 0,5 сек отрываются и свободно падают одна за другой капельки воды.

Определить, через сколько времени после отрыва первой капли расстояние между этой и следующей за ней каплей достигает 7,6 м?

1. Эта задача отличается от предыдущей тем, что в ней рассматривается движение не одной, а сразу двух материальных точек.

2. Изобразим перемещение обеих точек (рис. 199). Первая капля за искомое время, сек успевает пролететь расстояние м. Вторая капля, начавшая падение через 0,5 сек, находится в падении сек и успевает за это время пролететь расстояние м.

3. Расстояние 7,6 м между каплями через сек после начала движения выразим в виде уравнения

Используя формулу (5), получим уравнения падения капель: для первой капли:

для .второй капли

4. Подставив в уравнение (а) значения из уравнений (б) и (в), получаем уравнение, содержащее лишь одно неизвестное

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:

Таким образом, через 1,8 сек после отрыва первой капли или через 1,8-0,5 = 1,3 сек после отрыва второй расстояние между ними будет составлять 7,6 м.

• Неравномерное движение точки по любой траектории
• Определение траектории, скорости и ускорения точки
• Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории
• Равномерное вращательное движение
• Равновесие пространственной системы сходящихся сил
• Определение положения центра тяжести тела
• Равномерное прямолинейное движение точки
• Равномерное криволинейное движение точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.