Какое из данных уравнений является следствием другого?
Математика | 10 — 11 классы
Какое из данных уравнений является следствием другого?
(x + 2)(x + 1) ^ 2 = 3(x + 1) ^ 2 и x + 2 = 3.
(х + 1) ^ 2 следствие (х + 2)(х + 1) ^ 2 = 3.
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Назовите еще три делителя этого числа.
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие уравнения не имеют решений?
Какие уравнения не имеют решений?
В каких уравнениях решением является любое число?
Даны два уравнения : 3x + 10 = — 2 и 2 — x = — 2 для какого из них число — 4 является корнем ?
Даны два уравнения : 3x + 10 = — 2 и 2 — x = — 2 для какого из них число — 4 является корнем ?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Назовите еще три делителя этого числа.
Какое из данных чисел не является делителем числа 504?
Какое из данных чисел не является делителем числа 504.
Постройте, прямую а и проведите к ней перпендикуляр с?
Постройте, прямую а и проведите к ней перпендикуляр с.
Какими будут являться друг другу прямые a и c.
Сформулируй задачу , решением которой является данное уравнение 120÷x = 1?
Сформулируй задачу , решением которой является данное уравнение 120÷x = 1.
Какое из данных чисел : √25, √250000, √2, 5 являются иррациональными?
Какое из данных чисел : √25, √250000, √2, 5 являются иррациональными?
Вы находитесь на странице вопроса Какое из данных уравнений является следствием другого? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
1. Понятие уравнения и его корней
Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной x записывают так: f (я) = g (я).
Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны.
2х = —1 — линейное уравнение; х 2 — 3х + 2 = 0 — квадратное уравнение; чJx + 2 = x — иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня).
Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.
x = 2 — корень уравнения \/x + 2 = x, так как при x = 2 получаем верное равенство: -\Д = 2, то есть 2 = 2.
2. Область допустимых значений (ОДЗ)
Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций f (x) и g (x), стоящих в левой и правой частях уравнения.
Для уравнения л/x + 2 = x ОДЗ: x + 2 1 0, то есть x 1 —2, так как область определения функции f (x) = yj x + 2 определяется условием: x + 2 1 0, а область определения функции g (x) = x — множество всех действительных чисел.
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.
При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения (см. пункт 5 этой таблицы).
► Возведем обе части уравнения в квадрат:
(x + 2) = x 2 , x + 2 = x 2 , x 2 — x — 2 = 0, x1 = 2, x2 = —1. Проверка. x = 2 — корень (см. выше); x = —1 — посторонний корень (при х = —1 получаем неверное равенство 1 = —1). Ответ: 2. 2 = х областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x 2 и g (x) = x имеют области определения R.
Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.
Например, в уравнении л/x — 2 + \/1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-
мой -! из которой получаем систему -! не имеющую решений.
[1 — x 10, [x 2 — 1 = 0. Но тогда верно, что (х — 1)(х + 1) = 0. Последнее уравнение имеет два корня: х = 1 и х = —1. Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень х = 1 удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?
Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторонних корней рассмотрены в таблице 7 на с. 54.) Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один о р и е н т и р: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.
Схема применения этих ориентиров дана в таблице 6. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения
Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком ^, но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями- следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.
С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом 0).
В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.
Два уравнения называются равносильными на некотором множе-
стве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то
есть каждый корень первого уравнения является корнем второго
и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем
первого.
Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения х + 3 = 0 и 2х + 6 = 0 — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень х = —3 и других корней не имеют, таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе.
При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения:
то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень х = 1, а уравнение (4) — два корня: х = 1 и х = —1. Таким образом, на множестве всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень х = —1, которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равно
сильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень х = 1 и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень х = 1. Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.
Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее
все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы). Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.
Например, для уравнения \Ix + 2 = x ОДЗ задается неравенством х + 2 1 0. Когда мы переходим к уравнению х + 2 = х 2 , то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение х 2 , стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно (х 2 1 0), таким образом, и равное ему выражение х + 2 также будет неотрицательным: х + 2 1 0. Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения (х + 2 1 0) учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения yjx + 2 = x к уравнению х + 2 = х 2 ОДЗ заданного уравнения можно не записывать в решение.
Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий.
Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый о р и — ентир для выполнения равносильных преобразований уравнений.
По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и наоборот — каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму (с. 49).
Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при
выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым о р и — ен т и р ом для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 6.)
Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований урав-
——- = 0, достаточно учесть его ОДЗ: х + 1 Ф 0 и условие равенства
дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.
Запись решения в этом случае может быть такой:
= 0. ► ОДЗ: х + 1 Ф 0. Тогда х 2 —1 = 0. Отсюда х = 1 (удовлетворяет
условию ОДЗ) или х = —1 (не удовлетворяет условию ОДЗ). Ответ: 1. 2 + л/ x — 2 = 6x + >/ x — 2. Перенесем из правой части уравнения в левую слагаемое \tx — 2 с противоположным знаком и приведем подобные члены.
Получим х 2 — 6х = 0, х1 = 0, х2 = 6
к уравнению, ОДЗ которого шире, чем ОДЗ заданного уравнения;
Приведение обеих частей уравнения к общему знаменателю (при сокращении знаменателя)
4 + 7 = 4 x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей (х + 2)(х + 3).
4 (х + 3) + 7 (х + 2) = 4,
Возведение обеих частей иррационального уравнения в квадрат
yj2x +1 =Vx. 2х + 1 = х,
б) выполнение преобразований, при которых происходит неявное умножение на нуль;
Умножение обеих частей уравнения на выражение с переменной
х 2 + х + 1 = 0. Умножим обе части уравнения на х —1.
(х — 1)(х 2 + х + 1) = 0. Получим х 3 — 1 = 0, х = 1
Как получить правильное (или полное) решение
Пример правильного (или полного) решения
при решении уравнения
х1 = 0 не является корнем заданного уравнения
Выполнить проверку подстановкой корней в заданное уравнение
x 2 + V x — 2 = 6x + >/ x — 2.
► х 2 — 6х = 0, х1 = 0, х2 = 6. Проверка показывает, что х1 = 0 — посторонний корень, х2 = 6 — корень.
Ответ: 6. x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6
► 4 (x + 3) + 7 (x + 2) = 4;
11x = —22, x = —2. Проверка показывает, что х = -2 — посторонний корень. Ответ: корней нет. 2 + х + 1 = 0.
► D = —3 2 = (2х + 1) 2 . Получим 3х 2 + 6х = 0, х1 = 0, х2 = —2
2. Потеря корней
Явное или неявное сужение ОДЗ заданного уравнения, в частности выполнение преобразований, в ходе которых происходит неявное деление на нуль
1. Деление обеих частей уравнения на выражение с переменной
Поделив обе части уравнения на х, получим
2. Сложение, вычитание, умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ заданного уравнения
Если к обеим частям уравнения прибавить \[x, то получим уравнение
x 2 + yfx = 1 + yfx, у которого только один корень х = 1
Какое из данных уравнений является следствием другого?
Математика | 10 — 11 классы
Какое из данных уравнений является следствием другого?
(x + 2)(x + 1) ^ 2 = 3(x + 1) ^ 2 и x + 2 = 3.
(х + 1) ^ 2 следствие (х + 2)(х + 1) ^ 2 = 3.
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Назовите еще три делителя этого числа.
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие из данных фигур являются ломаными?
Какие уравнения не имеют решений?
Какие уравнения не имеют решений?
В каких уравнениях решением является любое число?
Даны два уравнения : 3x + 10 = — 2 и 2 — x = — 2 для какого из них число — 4 является корнем ?
Даны два уравнения : 3x + 10 = — 2 и 2 — x = — 2 для какого из них число — 4 является корнем ?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Даны числа 13 и 3965 а)какое из двух чисел является делителем другого числа?
Назовите еще три делителя этого числа.
Какое из данных чисел не является делителем числа 504?
Какое из данных чисел не является делителем числа 504.
Постройте, прямую а и проведите к ней перпендикуляр с?
Постройте, прямую а и проведите к ней перпендикуляр с.
Какими будут являться друг другу прямые a и c.
Сформулируй задачу , решением которой является данное уравнение 120÷x = 1?
Сформулируй задачу , решением которой является данное уравнение 120÷x = 1.
Какое из данных чисел : √25, √250000, √2, 5 являются иррациональными?
Какое из данных чисел : √25, √250000, √2, 5 являются иррациональными?
Вы находитесь на странице вопроса Какое из данных уравнений является следствием другого? из категории Математика. Уровень сложности вопроса рассчитан на учащихся 10 — 11 классов. На странице можно узнать правильный ответ, сверить его со своим вариантом и обсудить возможные версии с другими пользователями сайта посредством обратной связи. Если ответ вызывает сомнения или покажется вам неполным, для проверки найдите ответы на аналогичные вопросы по теме в этой же категории, или создайте новый вопрос, используя ключевые слова: введите вопрос в поисковую строку, нажав кнопку в верхней части страницы.
http://ya-znau.ru/znaniya/zn/274
http://matematika.my-dict.ru/q/2231755_kakoe-iz-dannyh-uravnenij-avlaetsa-sledstviem/