Равносильные уравнения, правила преобразований
п.1. Понятие равносильных уравнений
Равносильными называют уравнения, имеющие одни и те же корни.
Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.
Каждое из уравнений имеет один и тот же корень x=1
$\implies$ уравнения равносильны
$x_1 = 3 и x_2 = -2$
Первое уравнение имеет два корня, а второе – только один корень
$\implies$ уравнения неравносильны
Оба уравнения не имеют решений
$\implies$ уравнения равносильны
п.2. Правила преобразования уравнений
При решении уравнения его стараются заменить более простым равносильным уравнением. При этом используют следующие правила.
Правила преобразования уравнений
- 1. В любой части уравнения можно раскрывать скобки и приводить подобные.
- 2. Любое слагаемое в уравнении можно перенести из одной части в другую, изменив его знак.
- 3. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.
В результате этих преобразований всегда получаем уравнение, равносильное данному.
п.3. Примеры
Пример 1. Решите уравнение $ \frac <1><5>x = 12 — 7x$
$ \frac <1><5>x = 12 — 7x \iff \frac <1><5>x + 7x = 12 \iff 7 \frac <1><5>x = 12 \iff x = 12:7 \frac <1> <5>\iff$
$ x = 12 \cdot \frac <5> <36>= \frac <5> <3>=1 \frac <2> <3>$
Пример 2. Решите уравнение $ \frac <3x> <7>— \frac
$ \frac <3x> <7>— \frac
Пример 3. Решите уравнение $7x — \frac <2> <5>=\frac 15 (3x+14)$
$7x — \frac 25 = \frac 15 (3x + 14) | \times 5 \iff 35x — 2 = 3x + 14 \iff 35x — 3x = 14 + 2 \iff$
$ \iff 32x = 16 \iff x = \frac <16> <32>= \frac 12$
Ответ: x = \frac 12
Пример 4. Решите уравнение $\frac <5x-1> <2>— \frac <3x+4> <8>= \frac
$\frac <5x-1> <2>— \frac <3x+4> <8>= \frac
$ \iff 15x=2 \iff x= \frac <2> <15>$
Пример 5. При каких значениях a равносильны уравнения
Найдём корень первого уравнения
$3(x-1)=5-x \iff 3x-3=5-x \iff 3x+x=5+3 \iff 4x=8 \iff x=2$
Подставим во второе
$a \cdot 2=2+a \iff 2a-a=2 \iff a=2$
При a=2 оба уравнения имеют один корень x=2.
Равносильные уравнения, преобразование уравнений
Некоторые преобразования позволяют нам перейти от решаемого уравнения к равносильным, а также к уравнениям-следствиям, благодаря чему упрощается решение первоначального уравнения. В данном материале мы расскажем, что из себя представляют эти уравнения, сформулируем основные определения, проиллюстрируем их наглядными примерами и поясним, как именно осуществляется вычисление корней исходного уравнения по корням уравнения-следствия или равносильного уравнения.
Понятие равносильных уравнений
Равносильными называются такие уравнения, имеющие одни и те же корни, или же те, в которых корней нет.
Определения такого типа часто встречаются в различных учебниках. Приведем несколько примеров.
Уравнение f ( x ) = g ( x ) считается равносильным уравнению r ( x ) = s ( x ) , если у них одинаковые корни или у них обоих нет корней.
Уравнения с одинаковыми корнями считаются равносильными. Также ими считаются два уравнения, одинаково не имеющие корней.
Если уравнение f ( x ) = g ( x ) имеет то же множество корней, что и уравнение p ( x ) = h ( x ) , то они считаются равносильными по отношению друг к другу.
Когда мы говорим о совпадающем множестве корней, то имеем в виду, что если определенное число будет корнем одного уравнения, то оно подойдет в качестве решения и другому уравнению. Ни одно из уравнений, являющихся равносильными, не может иметь такого корня, который не подходит для другого.
Приведем несколько примеров таких уравнений.
Например, равносильными будут 4 · x = 8 , 2 · x = 4 и x = 2 , поскольку каждое из них имеет только один корень – двойку. Также равносильными будут x · 0 = 0 и 2 + x = x + 2 , поскольку их корнями могут быть любые числа, то есть множества их решений совпадают. Также равносильными будут уравнения x = x + 5 и x 4 = − 1 , каждое из которых не имеет ни одного решения.
Для наглядности рассмотрим несколько примеров неравносильных уравнений.
К примеру, таковыми будут x = 2 и x 2 = 4 , поскольку их корни отличаются. То же относится и к уравнениям x x = 1 и x 2 + 5 x 2 + 5 , потому что во втором решением может быть любое число, а во втором корнем не может быть 0 .
Определения, данные выше, подойдут и для уравнений с несколькими переменными, однако в том случае, когда мы говорим о двух, трех и более корнях, более уместно выражение «решение уравнения». Таким образом, подытожим: равносильные уравнения – это те уравнения, у которых одни и те же решения или их совсем нет.
Возьмем примеры уравнений, которые содержат несколько переменных и являются равносильными друг другу. Так, x 2 + y 2 + z 2 = 0 и 5 · x 2 + x 2 · y 4 · z 8 = 0 включают в себя по три переменных и имеют только одно решение, равное 0 , во всех трех случаях. А пара уравнений x + y = 5 и x · y = 1 равносильной по отношению друг к другу не будет, поскольку, например, значения 5 и 3 подойдут для первого, но не будут решением второго: при подстановке их в первое уравнение мы получим верное равенство, а во второе – неверное.
Понятие уравнений-следствий
Процитируем несколько примеров определений уравнений-следствий, взятых из учебных пособий.
Следствием уравнения f ( x ) = g ( x ) будет уравнение p ( x ) = h ( x ) при условии, что каждый корень первого уравнения будет в то же время корнем второго.
ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 3. Контрольные вопросы и задания. Номер №3
Какие уравнения называются равносильными? Сформулируйте свойства уравнений. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению:
5 x − 1 = 3 ;
0,2 x = 1,1 ;
3 x − 4 x + 6 = 0 .
Решение
Уравнения, имеющие одни и те же корни называют равносильными.
Свойства уравнений:
1 ) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2 ) Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Равносильные уравнения:
5 x − 1 = 3 и 5 x = 4 ;
0,2 x = 1,1 и x = 1,1 : 0,2 ;
3 x − 4 x + 6 = 0 и 3 x − 4 x = − 6 .
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/ravnosilnye-uravnenija-preobrazovanie-uravnenij/
http://reshalka.com/uchebniki/7-klass/algebra/makarychev/177