Какое из уравнений соответствует графику функции

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Задания ОГЭ на анализ графиков
Начало

Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.

Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.

1. Изученные функции и их графики.
2. Задания на соответствие графика и формулы функции в случае функций разных видов.
3. Линейная функция. Прямая линия.
4. Квадратичная функция. Парабола.
5. Гипербола.

Изученные функции и их графики.

К концу учебного года в 9-ом классе вы успели изучить следующие функции:

\(y = kx+b\) — линейная функция. Графиком является прямая линия. Коэффициент \(k\) задаёт тангенс угла наклона к оси \(Ox\). Если \(k>0\), прямая наклонена под острым углом к оси, если \(k \(y = \dfrac\) График этой функции называется гиперболой. Его легко «узнать в лицо», потому что на данный момент это единственная хорошо изученная функция с разрывом. Так как на 0 делить нельзя, то график не может пройти через эту точку, иными словами, пересечь ось \(Oy\), поэтому состоит из двух отдельных ветвей. Коэффициент \(k\) показывает насколько далеко отстоят вершины ветвей гиперболы от начала координат, а знак коэффициента (знак перед дробью) показывает в каких четвертях расположены ветви гиперболы. Если \(k>0\), то в первой и третьей, если \(k \(y = ax^2+bx+c\) — квадратичная функция. Графиком функции является парабола. Коэффициент \(a\) задаёт направление. Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх, если \(a \(y = \sqrt\) По внешнему виду этот график похож на повёрнутую на 90 градусов половинку параболы. Это, действительно, она и есть, потому что квадратный корень является обратной функцией для квадратичной функции. Влияние коэффициентов \(a\) и \(b\) на положение графика заметно, прежде всего, по его сдвигу вдоль оси \(Ox\). График должен быть расположен так, чтобы его область определения совпадала с ОДЗ выражения, т.е. \(ax+b \ge 0.\)

Ещё подробнее повторить графики функций вы сможете, если перейдёте к сводной таблице и воспользуетесь помещенными там ссылками на другие статьи сайта и видео на youtube-канале Mathematichka.

Задания на соответствие графика и формулы функции.

Задачи, в которых приведены графики функций разных типов, я считаю самыми лёгкими в этом задании. Давайте рассмотрим несколько примеров, и вы в этом убедитесь.

Задача 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают

На рисунке всего один график прямая линия. Ищем среди формул ту, которая содержит \(x\) только в первой степени. Смотрим, чтобы в этой формуле не было квадрата и переменной в знаменателе. Такая формула только одна, это формула \(3)\; y=-2x\). Делаем вывод: графику Б) соответствует формула 3).

Среди формул только одна содержит \(x^2\) (формула 4), и только один график непрерывная кривая линия симметричная относительно вертикальной прямой, проведенной через её вершину. Это парабола – график В). Вывод: графику В) соответствует формула 4).

Остался один график с разрывом. Две отдельных ветви содержит график А) – гипербола. Но у нас две формулы с \(x\) в знаменателе. Придётся выбирать.
На графике А) ветви гиперболы расположены во второй и четвёртой координатных четвертях, где знаки координат \(x и y\) не совпадают, поэтому перед дробью в формуле гиперболы должен быть знак минус. Но оказалось, что этой приметы недостаточно, так как минус есть в обеих формулах.
Смотреть насколько близка вершина к центру координат здесь бесполезно, потому что не с чем сравнить. Остаётся только проверить по какой-нибудь точке. Легче всего по единичке.
Пусть \(x = 1\), тогда по формуле 1) получим \(y = -\dfrac<4> <1>= -4\), а по формуле 2) получим \(y = -\dfrac<2> <1>= -2\). Проводим на рисунке вертикальную линию \(x = 1\) до пересечения с графиком и смотрим значение \(y\). Получилось \(y = -4\), значит верна первая формула. Вывод: графику А) соответствует формула 1).

Ответ:

Ответы и решения некоторых задач временно скрыты. Это задачи для самостоятельного решения. Чтобы посмотреть ответы, воспользуйтесь соответствующими кнопками. Но предварительно попробуйте решить задачу самостоятельно.

Задача 2. Установите соответствие между функциями и их графиками.

На графике 1) линия с разрывом, следовательно в формуле есть \(x\) в знаменателе. Вывод: графику 1) соответствует формула А).

На графике 2) изображена прямая линия. Осталась только одна формула, где \(x\) в первой степени умножен на число \(\dfrac<3x> <2>= \dfrac<3><2>\cdot x\). Вывод: графику 2) соответствует формула В).

Два оставшихся графика нелинейны, т.е. кривые линии. Формула Б) представляет собой квадратный трёхчлен. Следовательно, график должен быть параболой. Мы знаем, что парабола симметрична относительно линии, проходящей через вершину. График 3) обладает этим свойством, а на графике 4) такую линию провести невозможно. Вывод: формула Б) соответствует графику 3).

Замечение. Проверку ответа можно сделать «по единичке», т.е. задать какое-либо значение \(x\), подставить его в формулы, вычислить значения \(y\) и найти соответствующие точки на графике. Но решить задание в буквальном смысле по единичке, т.е. подставить \(x = 1\) в формулу Б), а затем найти на графиках 3) и 4) ординаты точек с абсциссой 1, не получится. Потому что во всех случаях будет \(y = 2\). Выбор не состоится.

Ответ:

Задача 3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Координатные плоскости здесь представлены без клеточек. Проверить принадлежность точек не получится, выбираем только по внешнему виду графиков.

Прямая линия олна – А). Её формула 1) содержит просто \(x\).
Симметричная кривая на графике В) – парабола. Формула 2) содержит \(x^2\).
На среднем графике кривая линия похожа на перевёрнутую половинку параболы. Это график функции 3) квадратный корень.

Ответ:

Линейная функция. Прямая линия.

Задача 4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Все графики – прямые линии и все формулы имеют вид \(y = kx + b\). Выбираем по наклону к оси \(Ox\) и точке пересечения с осью \(Oy\).

На графике В) прямая никак не наклонена к оси \(Ox\), она ей параллельна. Следовательно, угол наклона равен 0, тангенс угла наклона равен 0, угловой коэффициент \(k=0\), и \(y = kx + b = 0\cdot x + b = 0 + b = b.\) Таким образом, формула, которая задаёт прямую, параллельную оси абсцисс, не должна содержать \(x\). Здесь такая формула под номером 3.

В двух оставшихся графиках наклон на глаз кажется примерно одинаковым. Поэтому начнём с точки пересечения с с осью \(Oy\). Вспомним, что для точек, расположенных на этой оси, \(x=0\), поэтому \(y = kx + b = k\cdot0 + b = 0 + b = b.\) Таким образом, высота точки пересечения графика с этой осью показывает значение коэффициента \(b\) в формуле функции. На первом графике пересечение при \(y=2\), подходит формула \(2)\; y = x+2.\) На втором – при \(y=0\), подходит формула \(1)\; y = 2x,\) так как \(2x = 2x+0.\)

Сделаем проверку по единичке для графиков А) и Б).
При \(x=1\) по формуле 2) получим \(y = 1 + 2 = 3\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;3) должна лежать на графике А).
При \(x=1\) по формуле 1) получим \(y = 2\cdot1 =2\). Если мы правильно установили соответствие, то точка с координатами (1;2) должна лежать на графике Б).
Отметим эти точки на указанных графиках. Точки «не промахнулись», значит задача решена верно.

Ответ:

Итак, все графики, которые задаются формулой \(y = b\), т.е. формулой, содержащей \(y\) и число, но не содержащей \(x\), представляют собой прямые линии, параллельные оси \(Ox\). Все графики, которые задаются формулой \(y = kx\), т.е. формулой, содержащей \(x\) в виде одночлена первой степени, представляют собой прямые линии, проходящие через начало координат. Эти выводы нужно запомнить на будущее не только, чтобы быстрее решать это задание ОГЭ, но и для задания на графики во второй части экзаменационного варианта.

Задача 5. Установите соответствие между функциями и их графиками.

Прямые на графиках 1) и 2) имеют одинаковый наклон. Одинаковый угловой коэффициент \(k = 2\) мы видим в формулах Б) и В). Методом исключения делаем вывод, что для графика 3) остаётся формула А).

Теперь, чтобы установить соответствие между графиками 1) и 2) и формулами Б) и В) смотрим на точку пересечения с осью \(Oy\). На первом графике она находится ниже оси абсцисс, что говорит о том, что в формуле коэффициент \(b\) имеет отрицательное значение. Смотрим: \(b = -6\) в формуле Б). Вывод: формула Б) соответствует графику 1), тогда формула В) соответствует графику 2).

Проверка по единичке: \[А)\; y = -2\cdot1+6 = 4\;\;\; Б)\; y = 2\cdot1-6 = -4\;\;\; В)\; y = 2\cdot1+6 = 8\]

Как и предполагалось, \(y = 4\) на графике 3), \(y = -4\) на графике 1) \(y = 8\) на графике 2).

Ответ:

Задача 6. На рисунке изображены графики функций вида \(y = kx+b.\) Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.

\[1)\; -1\;\;\; 2)\; -1,25\;\;\; 3)\; 3\;\;\; 4)\;0,8\] В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси \(Ox.\) На данный момент мы знаем, что тангенс определён в прямоугольном треугольнике, как отношение противолежащего катета к прилежащему. Поэтому, прежде всего, надо начертить прямоугольные треугольники такие, что их гипотенузы лежат на заданных прямых, а катеты проходят по клеточкам. Вершины этих треугольников обязательно должны находиться в узлах клеточек, иначе будет трудно определить длины катетов. Размер треугольника может быть произвольным, «приклеить» его к прямой можно в любом удобном месте.

Угол наклона прямой по определению отсчитывается от положительного направления оси абсцисс (оси \(Ox\)), поэтому в наших треугольниках противолежащий катет всегда параллелен оси \(Oy\) (считаем клеточки по вертикали), а прилежащий – оси \(Ox\) (считаем клеточки по горизонтали).
Если прямая образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, то угловой коэффициент будет со знаком минус. Поскольку линии клеток параллельны, то можно смотреть угол между прямой и правой частью горизонтальных линий сетки, как показано на рисунке.

Итак, вычисляем угловые коэффициенты по чертежу

\[А)\; k = \frac<4> <5>= 0,8; \;\;\; Б)\; k = -\frac<5> <4>= -1,25; \;\;\; В)\; k = \frac<3> <1>= 3; \;\;\; Г)\; k = -\frac<2> <2>= -1 \] и сравниваем с предложенными значениями. \[1)\;-1\;\;\; 2)\;-1,25\;\;\; 3)\; 3 \;\;\; 4)\;0,8.\]

Ответ:

На эту тему также можно посмотреть видеоуроки на странице Линейная функция или на youtube-канале Mathematichka.

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).