Какое из уравнений является характеристическим для данного

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть a_i(x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y’ = r·e rx , y» = r 2 ·e rx ,…, y ( n ) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем

Пример №1 . Для уравнения y»-3y’ + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 — 3r + 2 = 0 равны r₁ = 1, r₂ = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y₁ = e x , y₂ = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C₁e x + C₂e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r₁ имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r₁ = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
a_n(x)·r n +a_n-1(x)·r n-1 + . + a_n-α(x)·r α =0
так как в противном случае r не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
a_n(x)·y (n) +a_n-1(x)·y (n-1) + . + a_n-α(x)·y α =0
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим

Пример №2 . Для уравнения y»’-4y»+4y’ = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y₁ = 1, y₂ = e 2 x , y₃ = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C₁ + C₂e 2 x + C₃xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня r_j = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число r_k = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции y_j l =x l ·e (a+b·i)x и y_k l =x l ·e (a-b·i)x , l=0,1. α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Найдено 12 изображений:

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ в математике, 1) Х. у. матрицы — алгебр. ур-ние вида

из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно X — характеристический многочлен. В раскрытом виде X. у. записывается так:

венными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все Хи действительны, у действительной кососимметричной матрицы все X* чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитар-

X. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к X. у.; отсюда и второе название для X. у. — вековое уравнение.

2)Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

-алгебр, ур-ние, к-рое получается из да ного дифференциального ур-ния пос. замены функции y и её производных с ответствующими степенями величины т. е. ур-ние

составленной из коэфф. ур-ний данной системы.

Характеристи́ческое уравне́ние. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь a₁, b₁ — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение.Если ввести обозначение d i /dt i = p i так, что d i Z(t)/dt i = p i Z(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(p)F(t), где L(p) и S(p) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(p) = p n + a₁p n ‑1 + + a_n-1p + a_n называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(p) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения Х. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни Х. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). Х. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней Х. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе Х. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. Х. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости летательного аппарата и его управляемости.

Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954;

Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Определения и понятия теории дифференциальных уравнений

С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.

Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.

Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 -го, 2 -го и 5 -го порядков:

1 ) y ‘ + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R

Уравнения в частных производных 2 -го порядка:

1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 — ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )

С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .

Интегрирование дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.

Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.

Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.

В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.

Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.

Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ‘ = x .

У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.

Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ‘ = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ‘ = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .

Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.

Общее решение ДУ

Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.

Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.

Общее решение дифференциального уравнения y ‘ = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .

Частное решение ДУ

Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.

Для ДУ y ‘ = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ‘ = x 3 3 + 2 3 ‘ = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .

К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:

• задачи Коши;
• задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
• краевые задачи.

Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:

f ( x 0 ) = f 0 ; f ‘ ( x 0 ) = f 1 ; f ‘ ‘ ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n — 1 ) ( x 0 ) = f n — 1

где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n — 1 — это некоторые числа.

Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.

Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:

f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )

При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.

Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.

В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами

Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .

Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.