Метод интервалов, решение неравенств
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение квадратного неравенства
Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.
Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.
Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.
Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.
Квадратное неравенство выглядит так:
 |
где x — переменная,
Квадратное неравенство можно решить двумя способами:
- графический метод;
- метод интервалов.
Решение неравенства графическим методом
При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.
Как дискриминант влияет на корни уравнения:
- D = 0. Если дискриминант равен нулю, тогда у квадратного уравнения есть один корень;
- D > 0. Если дискриминант больше нуля, тогда у квадратного уравнения есть два различных корня;
- D 2 + bx + c.
Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.
Если нужно найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.
Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.
Обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart сделает сложные темы понятными, а высокий балл на экзаменах — достижимым!
Решение неравенства методом интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.
Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.
Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней. 
Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.
Если неравенство со знаком 2 + 4x — 5, его корнями являются числа -5 и 1, они разбивают числовую ось на три промежутка: (-∞, -5), (-5, 1) и (1, +∞).
Определим знак трехчлена x 2 + 4x — 5 на промежутке (1, +∞). Для этого вычислим значение данного трехчлена при некотором значении x из этого промежутка. Можно брать любое значение переменной, главное — чтобы вычисления были простыми. В нашем случае, возьмем x = 2. Подставим его в трехчлен вместо переменной x:
- 2 2 + 4 * 2 — 5 = 4 + 8 — 5 = 7.
7 — положительное число. Это значит, что любое значение квадратного трехчлена на интервале (1, +∞) будет положительным. Так мы определили знак плюс.
Определим знаки на оставшихся двух промежутках. Начнем с интервала (-5, 1). Из этого интервала можем взять x = 0 и вычислить значение квадратного трехчлена при этом значении переменной:
- 0 2 + 4 * 0 — 5 = 0 + 0 — 5 = -5.
Так как -5 — отрицательное число, то на этом интервале все значения трехчлена будут отрицательными. Так мы определили знак минус.
Осталось определиться со знаком на промежутке (-∞, -5). Возьмем x = -6, подставляем:
- (-6) 2 + 4 * (-6) — 5 = 36 — 24 — 5 = 7.
Следовательно, искомый знак — плюс.
Можно расставить знаки быстрее, если запомнить эти факты:
Плюс или минус: как определить знаки
Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:
если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,
если a 0, последовательность знаков: +, +,
если a 2 — 7 не имеет корней и на промежутке (−∞, +∞) его значения отрицательны, так как коэффициент при x 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.
- Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
- Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
- Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D
Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство методом интервалов: x^2 — 5x + 6 ≥ 0.
Разложим квадратный трехчлен на множители.
Неравенство примет вид:
Проанализируем два сомножителя:
Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.
Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.
Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.
В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.
Отобразим эти данные на чертеже:
2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.
- (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0
Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.
Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.
Если (х — 3) * (х — 2) > 0:
Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.
Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.
Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.
Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3
Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения — 5x — 9 = 0?
Алгебра | 5 — 9 классы
Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения — 5x — 9 = 0.
Выберите один ответ : a.
$-5x-9=0\\-5x=9\\x=-\frac95 23 нояб. 2020 г., 04:16:16 | 5 — 9 классы
Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ)?
Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, пожалуйста не только ответ).
1. При каких значениях «а» уравнение 4 + 3х = а — 5 имеет отрицательный корень?
1. При каких значениях «а» уравнение 4 + 3х = а — 5 имеет отрицательный корень?
2. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству 1 / 6х < ; 3.
Пишите подробный ответ!
Найдите наибольшее целое число, удовлетворящее неравенству — 4х> ; корень из 69?
Найдите наибольшее целое число, удовлетворящее неравенству — 4х> ; корень из 69.
Решите неравенство : |3 — 2х|> ; = (больше или равно) 1?
Решите неравенство : |3 — 2х|> ; = (больше или равно) 1.
В ответ запишите наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству.
Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения : 3 + 4х = 0 1) х — 1, 3)х> ; 1 4) х> ; — 3?
Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения : 3 + 4х = 0 1) х — 1, 3)х> ; 1 4) х> ; — 3.
Решите неравенство?
Выберите правильный ответ с пояснением.
Найдите все целые чмсла, удовлетворяющие неравенству?
Найдите все целые чмсла, удовлетворяющие неравенству.
Найдите промежуток удовлетворяющий данному неравенству?
Найдите промежуток удовлетворяющий данному неравенству.
Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения , удовлетворяющие неравенству tg x < ; 0?
Решите уравнение Найдите все корни этого уравнения , удовлетворяющие неравенству tg x < ; 0.
Укажите наиболее целое число, удовлетворяющее неравенству 2x меньше минус корень из 51?
Укажите наиболее целое число, удовлетворяющее неравенству 2x меньше минус корень из 51.
На странице вопроса Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения — 5x — 9 = 0? из категории Алгебра вы найдете ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно, вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где можно обсудить тему с помощью обратной связи.
Y + 3 / (у — 1) = (2у + 3) / (у — 1) y + 3 / (у — 1) — (2у + 3) / (у — 1) = 0 y(y — 1) / (y — 1) + 3 / (у — 1) — (2у + 3) / (у — 1) = 0 (y(y — 1) + 3 — (2y + 3)) / (y — 1) = 0 (y² — 1 + 3 — 2y — 3) / (y — 1) = 0 (y² — 2y — 1 + 0) / (y — 1) = 0 y(y — ..
1. найдем значение х при которых знаменатель равен 0 Х не равен 1 Далее сокращаем равные члены обеих частей уравнения У = 2У У — 2У = 0 — У = 0 У = 0 2. Задание через построение графика.
X + y = 18 x — y = 2 / + — — — — — — — — — — — — — — — — x + y + x — y = 18 + 2 2x = 20 x = 10 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — y = 18 — x y = 18 — 10 y = 8 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — / x, y / = / 10, 8 / = = = = = = = = = =..
Перед иксом стоит минус следовательно — х ^ 2 не может быть положительна так как квадрат дает плюс поэтому + 2 и — 2.
Х = 2 х = — 2 Ответ : 2, — 2.
Y = 2x + 3 Если x = — 1 ; y = 1 ; если x = 0 ; y = 3 ; если x = 1 ; y = 5 ; если x = 2 ; y = 7 Остальные точки будут находиться симметрично оси координат.
Спасибо за легкую задачу : ) ОДЗ x≠0 .
Y = x² / 2 x 0 + — 1 + — 2 + — 3 + — 4 + — 5 + — 6 — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — y 0 0. 5 2 4. 5 8 12. 5 18.
Решение неравенств
Шаг 1. Введите неравенство
Подробно решает любые неравенства онлайн с возможностью изобразить неравенство на рисунке.
Примеры
Неравенства с модулем
С кубом (неравество третьей степени)
С кубическим корнем
С натуральным логарифмом
Иррациональные с квадратным корнем
С четвёртой степенью
Решение с целыми числами
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
http://algebra.my-dict.ru/q/1448003_kakomu-neravenstvu-udovletvoraet-koren-uravnenia-5x/
http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/neravenstva/