Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы а

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Найдено 12 изображений:

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ в математике, 1) Х. у. матрицы — алгебр. ур-ние вида

из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно X — характеристический многочлен. В раскрытом виде X. у. записывается так:

венными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все Хи действительны, у действительной кососимметричной матрицы все X* чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитар-

X. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к X. у.; отсюда и второе название для X. у. — вековое уравнение.

2)Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

-алгебр, ур-ние, к-рое получается из да ного дифференциального ур-ния пос. замены функции y и её производных с ответствующими степенями величины т. е. ур-ние

составленной из коэфф. ур-ний данной системы.

Характеристи́ческое уравне́ние. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь a₁, b₁ — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение.Если ввести обозначение d i /dt i = p i так, что d i Z(t)/dt i = p i Z(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(p)F(t), где L(p) и S(p) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(p) = p n + a₁p n ‑1 + + a_n-1p + a_n называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(p) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения Х. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни Х. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). Х. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней Х. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе Х. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. Х. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости летательного аппарата и его управляемости.

Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954;

Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

13.4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Пусть А = [arsl представляет собой квадратную матрицу гс-го порядка, а I — единичная матрица такого же порядка. Характеристической матрицей для А называется матрица

an — Я а12 • — а1п А —Я1 = «21 а22 — Я . • • 2 п -anl ап2 •• апп — где Я — любой множитель или параметр.

Определитель | А — Я1| матрицы, если его написать в развернутом виде, представляет собой многочлен степени п относительно Я, коэффициенты которого составлены из элементов матрицы [ars]. Член, имеющий наивысшую степень относительно Я, равен (—1)ПЯП, а свободный член равен | А|. Труднее выразить в общем виде коэффициенты при Яп-1, Яп

2, . ит. д. (см. упражнение 3). Если мы приравняем этот характеристический многочлен нулю, получим уравнение степени п относительно Я, корни которого Ях> Я2, . Яп могут быть как вещественными числами, так и попарно сопряженными комплексными числами. Мы получаем таким образом характеристическое уравнение квадратной матрицы А, и его корни называются характеристическими, или скрытыми, корнями, а иногда собственными значениями матрицы А.

Определение. Характеристическим уравнением квадратной матрицы А гс-го порядка называется уравнение

характеристические корни (или собственные значения) которого будут Ях, Я2, . Яп.

Если Яг — характеристический корень этого уравнения, так что | А — ЯД| = 0, то матрица А — ЯД является особенной. Следовательно (см. 13.1), ее строки и столбцы линейно зависимы, и можно подобрать такую систему чисел, из которых не все равны нулю, что если представить их в виде вектора-столбца

Вектор кг называется собственным вектором, соответствующим собственному значению Яг.

Свободным членом характеристического уравнения является |А|. Если матрица А неособенная, то | А| Ф 0, и ни один из характеристических корней не равен нулю. Если же матрица А особенная, то по меньшей мере один из характеристических корней равен нулю. Развивая эту мысль, мы должны доказать, что если ранг матрицы А равен г, то имеется г ненулевых и п — г нулевых характеристических корней.

Пример (а). Матрица А= —1 особенная.

ее ранг равен 2. Характеристическое уравнение этой матрицы после упрощений приводится к многочлену Xs—6А,2Ц-9А = 0, корни которого равны 3, 3 и 0. Существование- одного нулевого корня свидетельствует о том, что ранг матрицы А на единицу меньше 3*

При рассмотрении этого вопроса мы воспользуемся понятием подобных матриц. Будем рассматривать только квадратные матрицы w-го порядка. Матрицы А и В называются подобными, если можно подобрать такую неособенную матрицу Р, что В = РАР»1. Идея доказательства заключается в том, чтобы установить подобие матрицы А и некоторой диагональной матрицы X, а затем показать, что диагональные элементы матрицы X суть характеристические корни матрицы А. Выполнить это довольно сложно; в самом деле,, не всегда осуществима такая «диагонализация» матрицы А. Приведем доказательство для частного случая, взятое из книги Мёрдока [10].

Одну из посылок доказать легко: если матрица А ранга г подобна диагональной матрице X, диагональные элементы которой суть Х2, . то тогда эти элементы представляют собой характеристические корни матрицы А, причем г из них отличны от нуля. Это доказательство распадается на две части.

I. Подобные матрицы имеют один и тот же ранг и одинаковые характеристические корни.

Доказательство. Для подобных матриц А и В (ранг которых одинаков,, см. раздел 12.9) В^РАР»1, и поскольку PIP ^PP ^ I, то

В —XI — PAP»1 — X PIP»1 — Р (А — АЛ) Р1.

Далее, |Р’Ч = 1/|Р|, так что

|В — Я1| = |Р||А—АЛ|| Р»11 = | А — А, 11,

что и требовалось доказать.

Доказательство. Матрица (X — XI) также является диагональной, по ее диагонали расположены элементы (Хг — Х), <К2—Х)>. (Хп — Х). Значит,, характеристическим уравнением этой матрицы будет

что и требовалось доказать.

Из I и II следует, что если матрицы А и X (обе ранга г) подобны,, то матрица А имеет те же характеристические корни, что и матрица X, то есть (А1, Х2, . Хп). Но ранг матрицы X равен г только в том случае,, если г и только г чисел X отличны от нуля.

Задача состоит в том, чтобы «диагонализовать» матрицу А. Рассмотрим здесь только один частный случай — матрица А симметрическая, так что А’ = А. Тогда все характеристические корни матрицы А оказываются вещественными числами. Это представляет значительное упрощение, поскольку отпадают трудности, связанные с наличием комплексных элементов во взятых нами матрицах. Доказывается этот вывод следующим образом. Пусть симметрическая матрица А имеет характеристический корень к = а + ф, а сопряженный ему обозначим через А/ = а — ф. Тогда |А —Л1| = 0. Составим матрицу:

В = (А-Ы) (A-^’I) = A2-2aA + (a2 + P2)I=:(A-aI)2 + p2I,

которая является квадратной матрицей, составленной из вещественных чисел. Эта матрица особенная, поскольку из |А — Я1| = 0 следует, что | В | = 0. Значит, в соответствии с пунктом I раздела 13.2, Вх = 0 для некоторого ненулевого вектора х, а значит, х’Вх = х’0 = 0. Вместе с тем

х’Вх = х’ (А — a I)2 х + х’ Р2 їх.

Легко* видеть, что первое слагаемое правой части, будучи квадратичной формой, неотрицательно; второе слагаемое |32х’1х = (32х’х, разлагая по элемента^ вектора х, можно представить в виде $*(x\ + xl + .. . +Яп). Значит, если х есть ненулевой вектор, то х’Вх = 0 только в том случае, если равны нулю как первое слагаемое, то есть [ А — al | = 0, так и второе слагаемое, то есть (3 = 0. Следовательно, к = а и представляет собой вещественное число, что и требовалось доказать.

Обозначим вещественные характеристические корни симметрической матрицы А через к1У . кп и построим, используя их, диагональную матрицу.

Для любой симметрической матрицы А можно подобрать такую ортогональную матрицу Р, что Р

АР представляет собой диагональную матрицу X, построенную на характеристических корнях матрицы А. Из Р

гАР = Х следует, что А=Р^Р-1, и что матрица А подобна диагональной матрице X; наша задача тогда решена. Доказывается приведенное выше положение следующим образом.

Пусть ненулевой вектор хг является собственным вектором, соответствующим характеристическому корню kr- матрицы А, то есть (А— А,г1)хг = 0. Следовательно,

Axr = krxr (r = 1, 2, . (1)

Составим из векторов хг (г = 1, 2, . п), взятых в качестве столбцов, матрицу Р. Тогда п уравнений (1) представятся одним матричным уравнением

Транспонируем обе части уравнения (2); поскольку матрицы А и к симметрические, то есть А’ = А и к’ = к, получаем

Следовательно, правые части уравнений (2) и (3) равны между собой:

а это возможно только в том случае, если РР’ = 1, или Р’ = Р-1. Значитг матрица Р ортогональная, и уравнение (2) можно представить в виде:

что и требовалось доказать.

Всю совокупность полученных результатов можно теперь объединить в следующем предложении: Симметрическая матрица А /г-го порядка и ранга г имеет п вещественных характеристических корней, образующих диагональные элементы диагональной матрицы X, подобной матрице А:

А = РЯА»1, где Р — некоторая ортогональная матрйца\ г характеристических корней отличны от нуля, а п — г нулевые. Продемонстрируем это на следующем примере.

Г 2 -1 -П Матрица А=| —1 2 —1 I симметрическая, ее ранг равен 2;

характеристические корни этой матрицы [см. выше, пример (а)] равны 3, 3 и 0« Рассмотрим матрицу P, ортогональность которой доказана в примере (б) раздела 12.9: Дважды выполнив операцию умножения на А, а затем результат на Р, получим

Р = 1 1 1 » Г 1 і 0

1 /з 1 , так что Р’ —P г = /2 1 /2 1 у 2

1 /6 1/3 J L/S /з /3 , матриц, т.

[ 3 0 0 1 _ 0 3 0 \=х.

о о о J Эта диагональная матрица образована из характеристических корней ^матрицы А« Значит, матрица А преобразована в подобную ей диагональную матрицу X ,с помощью операции

где Р—приведенная выше ортогональная матрица. Отметим, что характеристическому корню 3 соответствует тако,й собственный вектор x = (xv х2, х3), что

Г-1 -і -її (А—ЗІ) х = I —1 —1 —1 х=0.

L—і -і -і J После операции умножения каждый из элементов полученной матрицы оказывается равным —(яі+^г+яз); следовательно, он должен быть равен нулю. Значит, х = (1, —1,0) и х= (1, 1, —2) являются собственными векторами матрицы А. Нужно искать два значения собственных векторов, так как существуют два характеристических корня, равные 3 (кратность равна двум). Возьмем два приведенных выше значения собственных векторов, элементы которых пропорциональны соответственно элементам первого и второго столбцов матрицы Р. Третьему характеристическому корню матрицы А (нулю) соответствует собственный вектор (1, 1, 1), элементы которого пропорциональны элементам третьего столбца матрицы Р.

А)»1 положительна в том

Значительный интерес представляют и квадратные матрицы другого вида, все элементы которых неотрицательны (А>0). Такими матрицами часто пользуются в экономике. Пусть неотрицательная матрица А является и неразложимой — в том смысле, как это понимается в пункте V раздела 12.9. Тогда матрица (И — А) или характеристическое уравнение для матрицы А, обладает рядом свойств, установленных Дебрэ и Герштейном [4]. Если — наибольший из характеристических корней матрицы А, то он и наибольший из корней уравнения |Я1 — А| = 0, первый член которого равен Хп. Следовательно, *если X > Хт, то | XI — А | > 0. Дебрэ и Герштейн первыми сумели показать, что все главные квадратные подматрицы матрицы \Х I — А|, то есть такие подматрицы, в которых опущены столбцы и строки одних и тех же номеров, имеют положительные значения определителей в том и только в том

случае, если X > Хт.

Задачи и упражнения

1. Найти характеристические корни матриц

2. Показать, что характеристические корни симметрической пеособепной матрицы j^J * J равны 1 и —1 и что, следовательно, она подобна матрице Х = ^J .

На этом основании показать, что ортогональная матрица Р в равенстве А = РА,Р-1 имеет следующий вид:

Р== 1 1 , Y2 /2 1 1 L/2 /2J 3. Пусть A = [ars] — любая квадратная матрица третьего порядка. Показать, что | А — XI |= — А3+/?!А,2—Рък^-Рз’

а32 а33 а31 Л33

Представить полученный результат в общем виде для квадратной матрицы А любого порядка п.

4. Матрица А является ортогональной (АА’ = 1). Показать, что А-Х1

=0, а следовательно,

Доказать, что если |А — ХД|=0, То справедливо и осли X—характеристический корень ортогональной матрицы, то характеристическим корнем является и І/Х.

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ

ХАРАКТЕРИСТИ́ЧЕСКОЕ УРАВНЕ́НИЕ, ал­геб­ра­ич. урав­не­ние $$\begin a_<11>-λ & a_ <12>& . & a_ <1n>\\ a_ <21>& a_<22>-λ & . & a_ <2n>\\ . & . & . & . \\ a_ & a_ & . & a_-λ \\ \end=0;\tag<*>$$ оп­ре­де­ли­тель в ле­вой час­ти Х. у. по­лу­ча­ет­ся из оп­ре­де­ли­те­ля квад­рат­ной мат­ри­цы $A=||a_||^n_1$ вы­чи­та­ни­ем ве­ли­чи­ны $λ$ из диа­го­наль­ных эле­мен­тов. Этот оп­ре­де­ли­тель яв­ля­ет­ся мно­го­чле­ном по­ряд­ка $n$ от­но­си­тель­но ве­ли­чи­ны $λ$ , ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­че­ским мно­го­чле­ном мат­ри­цы $A$ . Х. у. мож­но за­пи­сать в ви­де $$(–λ)^n+S_1(–λ)^+S_2(–λ)^+ . +S_n=0,$$ где $S_1=a_<11>+a_<22>+. +a_$ – т. н. след мат­ри­цы $A$ , $S_2$ – сум­ма всех гл. ми­но­ров 2-го по­ряд­ка, т. е. оп­ре­де­ли­те­лей ви­да $\begin a_ & a_ \\ a & a_\\ \end$ , $i , и т. д., а $S_n$ – оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы $A$ . Кор­ни Х. у. $λ_1$ , $λ_2$ , $. $ , $λ_n$ на­зы­ва­ют­ся соб­ст­вен­ны­ми чис­ла­ми или соб­ст­вен­ны­ми зна­че­ния­ми мат­ри­цы $A$ , они иг­ра­ют важ­ную роль при изу­че­нии мат­р иц и ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний . У дей­с т­ви­тель­ной сим­мет­рич­ной мат­ри­цы, а так­же у эр­ми­то­вой мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ дей­ст­ви­тель­ны, у дей­ст­ви­тель­ной косо­сим­мет­рич­ной мат­ри­цы все чис­ла $λ_k$ чис­то мни­мые, для дей­ст­ви­тель­ной ор­то­го­наль­ной мат­ри­цы, а так­же для уни­тар­ной мат­ри­цы все чис­ла $∣λ_k∣ =1$ .