Какое уравнение называется показательным привести примеры

Показательные уравнения

О чем эта статья:

6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = a х . Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: a х = b, где a > 0, a ≠ 1.

Конечно, далеко не все задачи выглядят так просто, некоторые из них включают тригонометрические, логарифмические и другие конструкции. Но для решения даже простых показательных уравнений нужно вспомнить из курса алгебры за 6–7 класс следующие темы:

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = a x , где a > 0 и a ≠ 1. У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх — 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как «кси»), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

1. вычисляется значение f(х) выражения
2. отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
3. вычисляется значение выражения f(х) в точке
4. проверяется условие
5. если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
6. если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
7. для нового отрезка проверяется условие
8. если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Методы решения показательных уравнений

Показательные уравнения — определение

Показательными в алгебре называют уравнения с неизвестным, которое записано в показателе степени.

Простейшее показательное уравнение в теории имеет вид:

Здесь a > 0 , a ≠ 1 .

Пример формулы простейшего показательного уравнения:

При решении показательных уравнений многие математики советуют привести их к следующему виду:

После преобразования необходимо решить уравнение:

Виды показательных уравнений

Существуют разные типы показательных уравнений, как и неравенств. К примеру, самым простым из них является:

Знак перед b определяет количество корней показательного уравнения:

• при b ≤ 0 решения отсутствуют x ∈ ∅ ;
• когда b > 0 , x = log a b .

Показательным является уравнение в кратком виде:

В этом случае, неизвестная определяется таким образом:

1. При b ≤ 0 ⇒ x ∈ ∅ .
2. При b > 0 ⇒ f x = log a b .

Показательное уравнение может быть записано таким способом:

Данное уравнение является равносильным следующему уравнению:

Другой вариант записи показательного уравнения:

φ x f x = φ x g x

В этом случае возможны следующие решения:

• при φ x = 1 все части данного уравнения являются равными для каких-либо f x , g x ;
• при φ x > 0 , φ x ≠ 1 такое уравнение равносильно уравнению f x = g x ;
• при φ x = 0 уравнение равносильно f x > 0 , g x > 0 .

Записанное показательное уравнение является равносильным совокупности систем:

φ x = 1 , x ∈ R , φ x > 0 , φ x ≠ 1 , f x = g x , φ x = 0 , f x > 0 , g x > 0 .

Существуют показательные уравнения, которые допускается привести к квадратным. Как пример:

A · a 2 x + B · a x + C = 0

В этом случае A отлично от нуля, B и C являются какими-либо числами, a>0 и не равно единице.

В процессе решения подобных показательных уравнений требуется выполнить замену:

При этом t должно быть больше нуля. Получим:

A · a f x + B · a — f x + C = 0

Здесь A, B, a являются какими-либо числами, отличными от нуля. При этом а отлично от единицы, C определяется, как произвольное действительное число. Умножим все части уравнения на a f x > 0 , чтобы свести его к квадратному уравнению:

A · a f x 2 + B + C · a f x = 0

Выполним обратную замену a f x = t , t > 0 и запишем квадратное уравнение:

A t 2 + C t + B = 0

Следующим видом показательных уравнений являются однородные.

Однородные показательные уравнения первой степени являются такими уравнениями, которые записаны в виде:

Свести подобное уравнение к показательному a f x = b несложно. Достаточно обе части равенства разделить на a f x > 0 (или b f x > 0 ) :

a f x b f x = 1 ⇒ a b f x = 1 ⇒ f x = 0

Однородным показательным уравнением второй степени называют уравнение в виде:

A · a 2 f x + B · a f x · b f x + C · b 2 f x = 0

Подобные уравнения решают, согласно стандартному алгоритму. В первую очередь следует сократить обе части уравнения на a 2 f x > 0 , либо на b 2 f x > 0 . Таким образом, выражение примет следующий вид:

A · a 2 f x + B · a f x · b f x + C · b 2 f x = 0 , : b 2 f x > 0

A · a 2 f x b 2 f x + B · a f x · b f x b 2 f x + C = 0

A · a b 2 f x + B · a b f x + C = 0

Если заменить a b f x = t , где t больше нуля, то получится квадратное уравнение:

A t 2 + B t + C = 0

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковому основанию

В процессе решения показательных уравнений a x = b обычно b заменяют какой-то степенью числа а. В результате уравниваются основания. Важно правильно определить общий множитель, и решение значительно упроститься.

При идентичных основаниях, но отличающихся показателях степени, умножение чисел предполагает сложение степеней, а в процессе деления степени вычитаются.

Рассмотрим правило на примере решения показательного уравнения, содержащего корень:

Заметим, что для чисел 64 и 8 общим множителем является число 2. Запишем степени:

Подставим полученные значения и преобразуем уравнение:

( 1 2 12 ) — x = 1 2 3

1 2 — 12 x = 1 2 2 3

( 1 2 ) — 12 x = ( 1 2 ) 2 3

В результате получилась дробь.

Попробуем решить следующее показательное уравнение. Здесь будет преобразована каждая часть выражения:

( 0 , 5 ) x 2 × 4 x + 1 = 64 — 1

Вычислим, каким должно быть общее основание:

0 , 5 = 1 2 = 2 — 1

В результате получим:

( 2 — 1 ) x 2 × ( 2 2 ) x + 1 = ( 2 6 ) — 1

2 — x 2 × 2 2 x + 2 = 2 — 6

2 — x 2 2 x + 2 = 2 — 6

— x 2 + 2 x + 2 = — 6

Заметим, что для данного показательного уравнения имеется пара решений: -2 и 4

Метод решения показательных уравнений через приведение к одинаковой степени

Не всегда при решении показательных уравнений получается использовать предыдущий метод. В некоторых случаях можно упростить задачу с помощью преобразования показателей степени. Данная методика имеет место лишь в том случае, когда в выражении используются операции умножения или деления.

Умножить числа, которые отличаются основаниями, но имеют идентичные степенные показатели, можно путем умножения лишь оснований. Степень при этом не меняется:

a x b x = ( a b ) x

Потренируемся использовать записанное правило. Решим пример:

5 2 x — 4 = 49 2 — x

В этом случае можно заметить отсутствие общих множителей в обеих частях выражения. Это не позволит найти общее основание и преобразовать уравнение. Тогда поработаем с показателями:

5 2 x — 4 = 49 2 — x

5 2 x — 4 = 7 4 — 2 x

5 2 x — 4 = 1 7 2 x — 4

Закрепить принцип решения показательных уравнений с помощью приведения к одинаковой степени можно на следующем примере:

Приведем части уравнения слева и справа к одному показателю степени. С помощью свойства степенных функций преобразуем правую часть:

2 x — 2 = 1 5 x — 2

Затем следует умножить полученное выражение на 5 x — 2 :

2 x — 2 × 5 x — 2 = 1

Примеры решения показательных уравнений

Найти корни уравнения:

Заметим, что здесь b = 25 > 0 . Таким образом:

Руководствуясь свойствами логарифма, преобразуем выражение:

x = log 5 5 2 = 2 · log 5 5 = 2 · 1 = 2

x 2 x + 1 = x 3 x — 4

Заметим, что данное уравнение равносильно системе:

x = 1 , x ∈ R , x > 0 , x ≠ 1 , 2 x + 1 = 3 x — 4 , x = 0 , 2 x + 1 > 0 , 3 x — 4 > 0

⇒ x = 1 x ∈ 0 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ , — x = — 5 , x = 0 , x > — 1 2 , x > 4 3 ⇒

⇒ x = 1 x ∈ 0 ; 1 ∪ 1 ; + ∞ , x = 5 , x = 0 , x > 4 3 ,

Ответ: x 1 = 1 , x 2 = 5

Требуется найти решения уравнения:

2 x — 3 · 4 x = 2 16 x

В первую очередь преобразуем все части равенства так, чтобы основанием было число 2:

Решим приведенное уравнение:

3 x — 3 = 1 2 — 4 x ⇒ 7 x = 7 2 ⇒ x = 1 2 .

Найти корни уравнения:

5 x — 2 · 5 x — 2 = 23

Здесь требуется вынести число 5 в самой маленькой степени, то есть в степени ( х — 2 ). В процессе разделим каждое из слагаемых на этот множитель:

5 x — 2 · 5 x — x — 2 — 2 = 23 ⇒ 5 x — 2 · 5 x — x + 2 — 2 = 23 ⇒ 5 x — 2 · 25 — 2 = 23 ⇒

⇒ 5 x — 2 · 23 = 23 ⇒ 5 x — 2 = 1

x — 2 = log 5 1 ⇒ x — 2 = 0 ⇒ x = 2

С учетом, что 1 = a 0 , уравнение 5 x — 2 = 1 допустимо записать таким образом:

5 x — 2 = 1 ⇒ 5 x — 2 = 5 0 ⇒ x — 2 = 0 ⇒ x = 2

Необходимо решить уравнение:

4 x + 1 — 3 · 2 x = 10

Здесь необходимо привести выражение к единому основанию:

4 x · 4 — 3 · 2 x — 10 = 0 ⇒ 4 · 2 2 x — 3 · 2 x — 10 = 0 ⇒ 4 · 2 x 2 — 3 · 2 x — 10 = 0

Заменим 2 x = t , при этом t больше нуля. Получим:

4 t 2 — 3 t — 10 = 0

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

D = — 3 2 — 4 · 4 · — 10 = 9 + 160 = 169 = 13 2

t 1 = 3 + 13 2 · 4 = 16 8 = 2

Если выполнить обратную замену, то получится простейшее показательное уравнение 2 x = 2 :

Найти корни уравнения:

3 x + 3 2 — x = 10

3 x + 3 2 · 3 — x = 10 .

Умножим уравнение на 3 x > 0 . Получим:

3 x 2 + 9 = 10 · 3 x ⇒ 3 x 2 — 10 · 3 x + 9 = 0

Заменим 3 x = t , при этом t больше нуля. Получится квадратное уравнение:

t 2 — 10 t + 9 = 0

Согласно теореме Виета, решениями такого уравнения являются:

Выполним обратную замену:

3 x = 9 , 3 x = 1 ⇒ 3 x = 3 2 , 3 x = 3 0

Ответ: x 1 = 2 , x 2 = 0

Вычислить корни уравнения:

В этом случае целесообразно разделить уравнение, то есть все его части, на 3 x + 1 > 0 :

x + 1 = log 2 3 1 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = — 1

Требуется решить уравнение:

4 x + 6 x = 2 · 9 x

В этом случае следует перенести все слагаемые в левую часть. Затем можно выполнить тождественные преобразования:

2 2 x + 2 · 3 x — 2 · 3 2 x = 0

2 x 2 + 2 x · 3 x — 2 · 3 x 2 = 0 , : 3 2 x > 0

2 3 x 2 + 2 3 x — 2 = 0

Выполним замену 2 3 x = t , где t не равно нулю. В итоге получится квадратное уравнение:

Решения данного уравнения:

t 1 = — 2 0 ∉ , t 2 = 1

Обратная замена даст нам показательное уравнение в простейшем виде: