Какое уравнение предложил шредингер для описания движения микрочастицы

ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕ́НИЕ

ШРЁДИНГЕРА УРАВНЕ́НИЕ, осн. урав­нение не­ре­ля­ти­ви­ст­ской кван­то­вой ме­ха­ни­ки. Пред­ло­же­но Э. Шрё­дин­ге­ром в 1926 для опи­са­ния дви­же­ния мик­ро­час­тиц. Име­ет та­кое же зна­че­ние, как урав­не­ние дви­же­ния Нью­то­на в клас­сич. ме­ха­ни­ке и Мак­свел­ла урав­не­ния в клас­сич. элек­тро­ди­на­ми­ке. Ш. у. опи­сы­ва­ет из­ме­не­ние во вре­ме­ни $t$ со­стоя­ния кван­то­во­го объ­ек­та (сис­те­мы), ха­рак­те­ри­зуе­мо­го вол­но­вой функ­ци­ей $ψ$ . В об­щем слу­чае Ш. у. име­ет вид: $$i\hbar\frac<∂ψ><∂t>=\hat H ψ,$$ где $\hat H$ – га­миль­то­ни­ан сис­те­мы, $\hbar$ – по­сто­ян­ная План­ка. Для час­ти­цы мас­сы $m$ , дви­жу­щей­ся под дей­ст­ви­ем си­лы, по­ро­ж­дае­мой по­тен­циа­лом $V$ ( $x$ , $y$ , $z$ , $t$ ), Ш. у. за­пи­сы­ва­ет­ся в ви­де: $$i\hbar\frac<∂ψ><∂t>=-\frac<\hbar^2><2m>Δψ+V(x,y,z,t)ψ,$$ где $Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2$ – опе­ра­тор Ла­п­ла­са, $x$ , $y$ , $z$ – де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты. Это урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся вре­мен­ны́м Ш. у. Ес­ли $V$ не за­ви­сит от вре­ме­ни, то вол­но­вая функ­ция удов­ле­тво­ря­ет ста­цио­нар­но­му Ш. у. Для кван­то­вых сис­тем, дви­же­ние ко­то­рых про­ис­хо­дит в ог­ра­ни­чен­ной об­лас­ти про­стран­ст­ва, Ш. у. су­ще­ст­ву­ет толь­ко для не­ко­то­рых дис­крет­ных зна­че­ний энер­гии и ка­ж­до­му зна­че­нию энер­гии $ℰ_n$ со­от­вет­ст­ву­ет своя вол­но­вая функ­ция $ψ_n$ .

Уравнение Шредингера

Благодаря толкованию волн, изложенному де Бройлем, и соотношению неопределенностей Гейзенберга можно придти к тому, каким должно быть уравнение движения в рамках теории квантовой механики. Это должно быть равенство, которое описывает движения микрочастиц в силовом поле и из которого были бы видны волновые свойства частиц, наблюдаемые экспериментально. Также оно должно являться уравнением по отношению к волновой функции, поскольку вероятность, с которой частица пребывает в некоторый момент времени в объеме d V в области с координатами x y z , описывается с помощью именно этой величины. Поскольку нужное уравнение иллюстрирует волновые свойства частиц, то он должно само быть волновым уравнением (точно так же, как и уравнение, описывающее электромагнитную волну).

История появление теории

В 1962 г. Шредингер сформулировал положение, позже названное основным уравнением в нерелятивистской квантовой механике, или волновым уравнением Шредингера.

Эрвин Шредингер ( 1887 — 1961 , Австрия) был одним из физиков-теоретиков, которые основали квантовую механику. Он является автором трудов по статистической физике, квантовой теории, биофизике, а также общей теории относительности. Сформулировал основы теории движения микрочастиц – волновой механики (волновая теория Шредингера), а также квантовой теории возмущений (похожий метод в квантовой механике). Лауреат Нобелевской премии.

Отличительной особенностью уравнения Шредингера является то, что оно постулируется, а не выводится. Его истинность подтверждена экспериментально, следовательно, оно может считаться законом природы.

В наиболее общем виде его записывают так:

— h 2 m ∇ 2 Ψ + U ( x , y , z , t ) Ψ = i h ∂ 2 Ψ ∂ t 2 .

Здесь m обозначает массу частицы, i 2 — мнимую единицу, ∇ – так называемый оператор Лапласа, равный ∇ 2 Ψ = ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + ∂ 2 Ψ ∂ y 2 + ∂ 2 Ψ ∂ z 2 , Ψ – искомую волновую функцию, а выражение U ( x , y , z , t ) соответствует потенциальной энергии частицы в определенной точке силового поля.

Описание движения частицы в потенциальном поле

Если поле, в котором происходит движение частицы, является потенциальным, то функция U не будет иметь явно выраженной зависимости от времени, и ей можно придать смысл потенциальной энергии. Тогда решить уравнение Шредингера можно разделением на сомножители: один из них будет зависеть только от времени, а второй – только от координаты точки.

Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z ) e — i E h t .

Параметр E обозначает полную энергию частицы. Если поле стационарное, то значение E остается постоянным. Подставив это значение в выражение выше, мы можем убедиться в его справедливости. При этом у нас получится формула Шредингера для стационарных состояний:

— h 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ = E Ψ .

∇ 2 Ψ + 2 m h 2 ( E — U ) Ψ = 0 .

Также данное выражение может быть записано в следующем виде:

Преобразование уравнения выполнено с использованием оператора Гамильтона H ^ . Его можно найти, сложив значения операторов — h 2 2 m ∇ 2 + U = H ^ . Гамильтониан – это оператор потенциальной энергии E .

Квантовая механика использует различные операторы также и в качестве других переменных, особенно динамических. Существуют операторы импульса, момента импульса, координат и т.д.

Уравнение Шрёдингера

Дуальная корпускулярно-волновая природа квантовых частиц описывается дифференциальным уравнением.

Согласно фольклору, столь распространенному среди физиков, случилось это так: в 1926 году физик-теоретик по имени Эрвин Шрёдингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о странных новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шрёдингер, вы что, не видите, что всё это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шрёдингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Тут необходимо сделать пояснение. В нашем обыденном мире энергия переносится двумя способами: материей при движении с места на место (например, едущим локомотивом или ветром) — в такой передаче энергии участвуют частицы — или волнами (например, радиоволнами, которые передаются мощными передатчиками и ловятся антеннами наших телевизоров). То есть в макромире, где живём мы с вами, все носители энергии строго подразделяются на два типа — корпускулярные (состоящие из материальных частиц) или волновые. При этом любая волна описывается особым типом уравнений — волновыми уравнениями. Все без исключения волны — волны океана, сейсмические волны горных пород, радиоволны из далеких галактик — описываются однотипными волновыми уравнениями. Это пояснение нужно для того, чтобы было понятно, что если мы хотим представить явления субатомного мира в терминах волн распределения вероятности (см. Квантовая механика), эти волны также должны описываться соответствующим волновым уравнением.

Шрёдингер применил к понятию волн вероятности классическое дифференциальное уравнение волновой функции и получил знаменитое уравнение, носящее его имя. Подобно тому как обычное уравнение волновой функции описывает распространение, например, ряби по поверхности воды, уравнение Шрёдингера описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы.

Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Когда Шрёдингер впервые опубликовал свои результаты, в мире теоретической физики разразилась буря в стакане воды. Дело в том, что практически в то же время появилась работа современника Шрёдингера — Вернера Гейзенберга (см. Принцип неопределенности Гейзенберга), в которой автор выдвинул концепцию «матричной механики», где те же задачи квантовой механики решались в другой, более сложной с математической точки зрения матричной форме. Переполох был вызван тем, что ученые попросту испугались, не противоречат ли друг другу два в равной мере убедительных подхода к описанию микромира. Волнения были напрасны. Сам Шрёдингер в том же году доказал полную эквивалентность двух теорий — то есть из волнового уравнения следует матричное, и наоборот; результаты же получаются идентичными. Сегодня используется в основном версия Шрёдингера (иногда его теорию называют «волновой механикой»), так как его уравнение менее громоздкое и его легче преподавать.

Однако представить себе и принять, что нечто вроде электрона ведёт себя как волна, не так-то просто. В повседневной жизни мы сталкиваемся либо с частицей, либо с волной. Мяч — это частица, звук — это волна, и всё тут. В мире квантовой механики всё не так однозначно. На самом деле — и эксперименты это вскоре показали — в квантовом мире сущности отличаются от привычных нам объектов и обладают другими свойствами. Свет, который мы привыкли считать волной, иногда ведёт себя как частица (которая называется фотон), а частицы вроде электрона и протона могут вести себя как волны (см. Принцип дополнительности).

Эту проблему обычно называют двойственной или дуальной корпускулярно-волновой природой квантовых частиц, причем свойственна она, судя по всему, всем объектам субатомного мира (см. Теорема Белла). Мы должны понять, что в микромире наши обыденные интуитивные представления о том, какие формы может принимать материя и как она себя может вести, просто неприменимы. Сам факт, что мы используем волновое уравнение для описания движения того, что привыкли считать частицами, — яркое тому доказательство. Как уже отмечалось во Введении, в этом нет особого противоречия. Ведь у нас нет никаких веских оснований полагать, будто то, что мы наблюдаем в макромире, должно с точностью воспроизводиться на уровне микромира. И тем не менее дуальная природа элементарных частиц остается одним из самых непонятных и тревожащих аспектов квантовой механики для многих людей, и не будет преувеличением сказать, что все беды начались с Эрвина Шрёдингера.